Ympyrään piirretty nelikulmio. Nelikulmainen ABCD on piirretty ympyrään

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Matematiikan jakaminen algebraan ja geometriaan tekee opetusmateriaalista vaikeampaa. Uusia hahmoja ja niiden erikoistapauksia ilmestyy. Materiaalin ymmärtämiseksi hyvin on tarpeen tutkia käsitteitä, esineiden ominaisuuksia ja niihin liittyviä lauseita.

Yleiset käsitteet

Nelikulmio tarkoittaa geometristä kuviota. Se koostuu 4 pisteestä. Lisäksi 3 niistä ei sijaitse samalla suoralla. Määritetyt pisteet yhdistävät segmentit sarjaan.

Kaikki koulun geometrian kurssilla opitut nelikulmiot on esitetty seuraavassa kaaviossa. Johtopäätös: millä tahansa esineellä esitetystä kuvasta on edellisen kuvan ominaisuudet.

Nelikulmio voi olla seuraavan tyyppistä:

• Rinnakkaiskaavio. Sen vastakkaisten puolien samansuuntaisuus todistetaan vastaavilla lauseilla.
• Trapetsi. Nelikulmio, jolla on yhdensuuntaiset kantat. Kaksi muuta puoluetta eivät ole.
• Suorakulmio. Figuuri, jossa on kaikki 4 kulmaa=90º.
• Rhombus. Kuva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.
• Neliö. Yhdistää kahden viimeisen hahmon ominaisuudet. Sen kaikki sivut ovat yhtä suuret ja kaikki kulmat ovat oikeat.

Tämän aiheen päämääritelmä on ympyrään piirretty nelikulmio. Se koostuu seuraavista. Tämä on kuvio, jonka ympärille on kuvattu ympyrä. Sen tulee kulkea kaikkien kärkien läpi. Ympyrään piirretyn nelikulmion sisäkulmat laskevat yhteen 360º.

Jokaista nelikulmiota ei voida piirtää. Tämä johtuu siitä, että 4 sivun kohtisuorat puolittajat eivät välttämättä leikkaa yhdessä pisteessä. Tämä tekee mahdottomaksi löytää 4-kulmaista ympyrän keskustaa.

Erikoistapaukset

Jokaiseen sääntöön on poikkeuksia. Joten tässä aiheessa on myös erikoistapauksia:

• Suunkkaviivaa ei sellaisenaan voida piirtää ympyrään. Vain hänen erikoistapauksensa. Se on suorakulmio.
• Jos rombin kaikki kärjet ovat ympäröivällä suoralla, se on neliö.
• Kaikki puolisuunnikkaan kärjet ovat ympyrän rajalla. Tässä tapauksessa he puhuvat tasakylkistä kuviota.

Ympyrään piirretyn nelikulmion ominaisuudet

Ennen kuin ratkaiset yksinkertaisia ja monimutkaisia ongelmia tietystä aiheesta, sinun on tarkistettava tietosi. Ilman opetusmateriaalin tutkimista on mahdotonta ratkaista yhtä esimerkkiä.

Lause 1

Ympyrään piirretyn nelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180º.

Todiste

Annetaan: nelikulmio ABCD on piirretty ympyrään. Sen keskipiste on piste O. Meidän on todistettava, että _<A + _<C=180º ja _< B + _<D=180º.

On otettava huomioon esitetyt luvut.

1. _{<A on piirretty ympyrään, jonka keskipiste on pisteessä O. Se mitataan ½ BCD:n (puolikaaren) läpi.}
2. _{<C on merkitty samaan ympyrään. Se mitataan ½ BAD:n (puolikaaren) kautta.}
3. BAD ja BCD muodostavat kokonaisen ympyrän, eli niiden suuruus on 360º.
4. _<A + _{<C ovat puolet esitettyjen puolikaarien summasta.}
5. Siksi _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Samalla tavalla todiste _<B ja _{<D. Ongelmaan on kuitenkin toinen ratkaisu.}

1. Tiedetään, että nelikulmion sisäkulmien summa on 360º.
2. Koska _<A + _<C=180º. Vastaavasti _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Lause 2

(Sitä kutsutaan usein käänteiseksi) Jos nelikulmiossa _<A + _<C=180º ja _{<B +} <_{D=180º (jos ne ovat vastakkaisia), niin tällaisen hahmon ympärille voidaan kuvata ympyrä.}

Todiste

Nelikulmion ABCD vastakkaisten kulmien summa, joka on 180º, on annettu. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Meidän on todistettava, että ympyrä voidaan rajata ABCD:n ympäri.}

Geometrian kurssista tiedetään, että ympyrä voidaan piirtää 3 nelikulmion pisteen läpi. Voit esimerkiksi käyttää pisteitä A, B, C. Missä piste D sijaitsee? On 3 arvausta:

1. Hän päätyy ympyrän sisälle. Tässä tapauksessa D ei kosketa viivaa.
2. Ympyrän ulkopuolella. Hän astuu kauas ääriviivan yli.
3. Se käy ilmi ympyrästä.

On oletettava, että D on ympyrän sisällä. Osoitetun kärjen paikka on D´:lla. Osoittautuu nelikulmio ABCD´.

Tulos on:_<B + _<D´=2p.

Jos jatkamme AD´ leikkauspisteeseen olemassa olevan ympyrän kanssa, jonka keskipiste on piste E, ja yhdistämme E:n ja C:n, saadaan sisäänkirjoitettu nelikulmio ABCE. Ensimmäisestä lauseesta seuraa yhtäläisyys:

Geometrian lakien mukaan lauseke ei kelpaa, koska _<D´ on kolmion CD´E ulkokulma. Vastaavasti sen pitäisi olla enemmän kuin _{<E. Tästä voimme päätellä, että D:n on oltava joko ympyrässä tai sen ulkopuolella.}

Samaan tapaan kolmas oletus voidaan osoittaa vääräksi, kun D´´ ylittää kuvatun kuvan rajan.

Kahdesta hypoteesista seuraa ainoa oikea. Vertex D sijaitsee ympyräviivalla. Toisin sanoen D on sama kuin E. Tästä seuraa, että kaikki nelikulmion pisteet sijaitsevat kuvatulla suoralla.

Näistäkaksi lausetta, seuraukset seuraavat:

Mikä tahansa suorakulmio voidaan piirtää ympyrään. Siitä on toinenkin seuraus. Ympyrä voidaan rajata minkä tahansa suorakulmion ympärille

Pusunsuunnikkaan, jonka lantio on yhtä suuri, voidaan piirtää ympyrään. Toisin sanoen se kuulostaa tältä: ympyrä voidaan kuvata puolisuunnikkaan ympärillä, jolla on yhtäläiset reunat

Useita esimerkkejä

Tehtävä 1. Nelisivu ABCD on piirretty ympyrään. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Täytyy löytää _{<ABD. Vastaus on kirjoitettava asteina.}

Päätös. Aluksi saattaa tuntua vaike alta löytää vastausta.

1. Sinun on muistettava tämän aiheen ominaisuudet. Nimittäin: vastakkaisten kulmien summa=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

Geometriassa on parempi pitää kiinni periaatteesta: löydä kaikki mitä voit. Hyödyllinen myöhemmin.

2. Seuraava vaihe: käytä kolmion summalausetta.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 35º – 35º 75º=70º}

_<ABD ja _{<ACD on kaiverrettu. Ehtojen mukaan ne luottavat yhteen kaareen. Näin ollen niillä on samat arvot:}

_<ABD=_<ACD=70º

Vastaus: _<ABD=70º.

Tehtävä 2. BCDE on ympyrään piirretty nelikulmio. _<B=69º, _<C=84º. Ympyrän keskipiste on piste E. Etsi - _<E.

Päätös.

1. Tarve löytää _{<E lauseen 1 mukaan.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Vastaus: _{< E=96º.}

Tehtävä 3. Annettu ympyrään piirretty nelikulmio. Tiedot näkyvät kuvassa. On tarpeen löytää tuntemattomat arvot x, y, z.

Ratkaisu:

z=180º – 93º=87º (lauseen 1 mukaan)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (lauseen 1 mukaan)

Vastaus: z=87º, x=82º, y=98º.

Tehtävä 4. Ympyrään on piirretty nelikulmio. Arvot näkyvät kuvassa. Etsi x, y.

Ratkaisu:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Vastaus: x=100º, y=109º.

Ongelmia itsenäiseen ratkaisuun

Esimerkki 1. Annettu ympyrä. Sen keskipiste on piste O. AC ja BD ovat halkaisijoita. _<ACB=38º. Täytyy löytää _{<AOD. Vastaus on annettava asteina.}

Esimerkki 2. Annettu nelikulmio ABCD ja sen ympärille piirretty ympyrä. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Etsi _{<CAD. Kirjoita vastauksesi asteina.}

Esimerkki 3. Annettu ympyrä ja sisäänkirjoitettu nelikulmio ABCD. Sen kaksi kulmaa ovat 82º ja58º. Sinun täytyy löytää suurin jäljellä olevista kulmista ja kirjoittaa vastaus muistiin asteina.

Esimerkki 4. Nelikulmainen ABCD on annettu. Kulmat A, B, C on annettu suhteessa 1:2:3. Kulma D on löydettävä, jos määritetty nelikulmio voidaan piirtää ympyrään. Vastaus on annettava asteina.

Esimerkki 5. Nelikulmainen ABCD on annettu. Sen sivut muodostavat rajatun ympyrän kaaria. Astearvot AB, BC, CD ja AD ovat: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Sinun pitäisi löytää _{<Annetusta nelikulmasta ja kirjoittaa vastaus ylös asteina.}