2. tilauksen pinnat: esimerkkejä

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Opiskelija kohtaa useimmiten toisen asteen pintoja ensimmäisenä vuonna. Aluksi tämän aiheen tehtävät voivat tuntua yksinkertaisilta, mutta korkeampaa matematiikkaa opiskellessa ja tieteelliseen puoleen syventyessä voit vihdoin lopettaa suuntautumisen siihen, mitä tapahtuu. Jotta näin ei tapahdu, on paitsi muistettava, myös ymmärrettävä, kuinka tämä tai tuo pinta saadaan, kuinka kertoimien muuttaminen vaikuttaa siihen ja sen sijaintiin suhteessa alkuperäiseen koordinaattijärjestelmään ja kuinka löytää uusi järjestelmä. (jossa sen keskipiste on sama kuin alkukoordinaatit ja symmetria-akseli on yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa). Aloitetaan alusta.

Määritelmä

GMT:tä kutsutaan 2. asteen pinnaksi, jonka koordinaatit täyttävät seuraavan muodon yleisen yhtälön:

F(x, y, z)=0.

On selvää, että jokaisella pintaan kuuluvalla pisteellä on oltava kolme koordinaattia jollain määrätyllä pohjalla. Vaikka joissain tapauksissa pisteiden lokus voi degeneroitua esimerkiksi tasoksi. Se tarkoittaa vain, että yksi koordinaateista on vakio ja on nolla koko hyväksyttävien arvojen alueella.

Yllä mainitun tasa-arvon täysi maalattu muoto näyttää tältä:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – jotkut vakiot, x, y, z – muuttujat, jotka vastaavat jonkin pisteen affiineja. Tässä tapauksessa vähintään yksi vakiotekijöistä ei saa olla nolla, eli mikään piste ei vastaa yhtälöä.}

V altaosassa esimerkeistä monet numeeriset tekijät ovat edelleen identtisiä nollan kanssa, ja yhtälö on huomattavasti yksinkertaistettu. Käytännössä pisteen pintaan kuuluvuuden määrittäminen ei ole vaikeaa (riittää korvata sen koordinaatit yhtälöön ja tarkistaa, onko identtisyys havaittu). Avainkohta tällaisessa työssä on tuoda jälkimmäinen kanoniseen muotoon.

Yllä kirjoitettu yhtälö määrittelee minkä tahansa (kaikki alla luetellut) toisen asteen pinnat. Tarkastelemme esimerkkejä alla.

Toisen tilauksen pintatyypit

Toisen kertaluvun pintojen yhtälöt eroavat vain kertoimien arvoista A_{nm. Yleisesti katsottuna tietyille vakioarvoille voidaan saada erilaisia pintoja, jotka luokitellaan seuraavasti:}

1. Sylinterit.
2. Elliptinen tyyppi.
3. Hyperbolinen tyyppi.
4. Kartiomainen tyyppi.
5. Parabolinen tyyppi.
6. Lentokoneet.

Jokaisella luetelluista tyypeistä on luonnollinen ja kuvitteellinen muoto: imaginaarimuodossa reaalipisteiden lokus joko rappeutuu yksinkertaisemmiksi kuvioiksi tai puuttuu kokonaan.

Sylinterit

Tämä on yksinkertaisin tyyppi, koska suhteellisen monimutkainen käyrä on vain pohjassa ja toimii ohjeena. Generaattorit ovat suoria viivoja, jotka ovat kohtisuorassa tasoon, jossa kanta sijaitsee.

Kaavio näyttää pyöreän sylinterin, elliptisen sylinterin erikoistapauksen. XY-tasossa sen projektio on ellipsi (tapauksessamme ympyrä) - ohjain ja XZ - suorakulmio - koska generaattorit ovat yhdensuuntaisia Z-akselin kanssa. Saadaksesi se yleisestä yhtälöstä, tarvitset antaa kertoimille seuraavat arvot:

Tavallisten symbolien x, y, z, x sijasta käytetään sarjanumeroa - sillä ei ole väliä.

Itse asiassa 1/a2ja muut tässä ilmoitetut vakiot ovat samoja kertoimia, jotka on ilmoitettu yleisessä yhtälössä, mutta on tapana kirjoittaa ne tässä muodossa - tämä on kanoninen esitys. Lisäksi käytetään vain tällaista merkintää.

Näin hyperbolinen sylinteri määritellään. Kaava on sama - hyperboli toimii ohjeena.

y2=2px

Parabolinen sylinteri määritellään hieman eri tavalla: sen kanoninen muoto sisältää kertoimen p, jota kutsutaan parametriksi. Itse asiassa kerroin on yhtä kuin q=2p, mutta se on tapana jakaa kahteen esitettyyn tekijään.

On olemassa toisenlainen sylinteri: kuvitteellinen. Mikään todellinen piste ei kuulu sellaiseen sylinteriin. Sitä kuvaa yhtälöelliptinen sylinteri, mutta yksikön sijaan on -1.

Elliptinen tyyppi

Ellipsoidia voidaan venyttää pitkin yhtä akseleista (jonka pitkin se riippuu yllämainittujen vakioiden a, b, c arvoista; on selvää, että suurempi kerroin vastaa suurempaa akselia).

On myös kuvitteellinen ellipsoidi - edellyttäen, että koordinaattien summa kerrottuna kertoimilla on -1:

Hyperboloidit

Kun miinus näkyy jossakin vakiossa, ellipsoidiyhtälö muuttuu yksiarkkisen hyperboloidin yhtälöksi. On ymmärrettävä, että tämän miinuksen ei tarvitse sijaita ennen koordinaattia x₃! Se määrittää vain, mikä akseleista on hyperboloidin kiertoakseli (tai sen suuntainen, koska kun neliöön ilmestyy lisätermejä (esim. (x-2)^{2) kuvan keskipiste siirtyy, minkä seurauksena pinta liikkuu koordinaattiakselien suuntaisesti). Tämä koskee kaikkia toisen asteen pintoja.}

Lisäksi sinun on ymmärrettävä, että yhtälöt esitetään kanonisessa muodossa ja niitä voidaan muuttaa vaihtelemalla vakioita (merkki säilyy!); kun taas niiden muoto (hyperboloidi, kartio ja niin edelleen) pysyy samana.

Tämä yhtälö on jo annettu kaksiarkisella hyperboloidilla.

Kartiomainen pinta

Kartioyhtälössä ei ole yksikköä - yhtälö nollaan.

Vain rajattua kartiomaista pintaa kutsutaan kartioksi. Alla olevasta kuvasta näkyy, että kaaviossa on itse asiassa kaksi ns. kartiota.

Tärkeä huomautus: kaikissa tarkastelluissa kanonisissa yhtälöissä vakiot ovat oletusarvoisesti positiivisia. Muuten merkki voi vaikuttaa lopulliseen kaavioon.

Koordinaattitasoista tulee kartion symmetriatasoja, symmetriakeskipiste sijaitsee origossa.

Kuvitteellisessa kartioyhtälössä on vain plussia; se omistaa yhden todellisen pisteen.

Paraboloidit

Toisen kertaluvun pinnat avaruudessa voivat saada eri muotoja jopa samanlaisilla yhtälöillä. Esimerkiksi paraboloideja on kahdenlaisia.

x²/a²+y²/b^2=2z

Elliptinen paraboloidi, kun Z-akseli on kohtisuorassa piirustukseen nähden, projisoidaan ellipsiksi.

x²/a²-y²/b^2=2z

Hyperbolinen paraboloidi: osat, joiden tasot ovat yhdensuuntaisia ZY:n kanssa, tuottavat paraabeleja ja osat, joiden tasot ovat yhdensuuntaiset XY:n kanssa, tuottavat hyperboleja.

Leikkaavat tasot

On tapauksia, joissa 2. kertaluvun pinnat rappeutuvat tasoksi. Nämä tasot voidaan järjestää eri tavoin.

Mieti ensin risteäviä tasoja:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Tämä kanonisen yhtälön muunnos johtaa vain kahteen leikkaavaan tasoon (kuvitteellinen!); kaikki todelliset pisteet ovat sen koordinaatin akselilla, joka puuttuu yhtälöstä (kanonisessa - Z-akseli).

Rinnakkaiskoneet

y²=a²

Kun on vain yksi koordinaatti, 2. kertaluvun pinnat rappeutuvat rinnakkaisten tasojen pariksi. Muista, että mikä tahansa muu muuttuja voi korvata Y:n; silloin saadaan tasoja, jotka ovat yhdensuuntaisia muiden akselien kanssa.

y²=−a²

Tässä tapauksessa niistä tulee kuvitteellisia.

Yhteiset tasot

y2=0

Näin yksinkertaisella yhtälöllä tasopari rappeutuu yhdeksi - ne osuvat yhteen.

Muista, että kolmiulotteisen perustan tapauksessa yllä oleva yhtälö ei määrittele suoraa y=0! Siitä puuttuvat kaksi muuta muuttujaa, mutta se tarkoittaa vain, että niiden arvo on vakio ja yhtä suuri kuin nolla.

Rakennus

Yksi opiskelijan vaikeimmista tehtävistä on toisen asteen pintojen rakentaminen. On vielä vaikeampaa siirtyä koordinaattijärjestelmästä toiseen, kun otetaan huomioon käyrän kulmat suhteessa akseleihin ja keskipisteen siirtymä. Toistetaan, kuinka johdonmukaisesti määritetään piirustuksen tuleva näkymä analyyttisestitavalla.

Toisen tilauksen pinnan rakentamiseen tarvitset:

• tuo yhtälö kanoniseen muotoon;
• määritä tutkittavan pinnan tyyppi;
• konstrukti kerroinarvojen perusteella.

Alla on kaikki huomioon otettavat tyypit:

Kuvataan yksityiskohtaisesti yksi esimerkki tämäntyyppisestä tehtävästä.

Esimerkkejä

Oletetaan yhtälö:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60v+144=0}

Siirretään se kanoniseen muotoon. Erottelemme täydet neliöt, eli järjestämme käytettävissä olevat termit siten, että ne ovat summan tai erotuksen neliön laajennus. Esimerkki: jos (a+1)²=a²+2a+1, sitten a²+2a +1=(a+1)^{2. Suoritamme toisen leikkauksen. Tässä tapauksessa sulkuja ei tarvitse avata, koska se vain vaikeuttaa laskelmia, mutta on tarpeen ottaa pois yhteinen kerroin 6 (suluissa Y:n täysneliöllä):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Muuttuja z esiintyy tässä tapauksessa vain kerran - voit jättää sen toistaiseksi rauhaan.

Analysoimme yhtälön tässä vaiheessa: kaikkia tuntemattomia edeltää plusmerkki; kun jaetaan kuudella, jäljelle jää yksi. Siksi meillä on yhtälö, joka määrittää ellipsoidin.

Huomaa, että 144 laskettiin 150-6:ksi, minkä jälkeen -6 siirrettiin oikealle. Miksi se piti tehdä näin? Ilmeisesti tämän esimerkin suurin jakaja on -6, joten sillä jakamisen jälkeenyksi on jätetty oikealle, on tarpeen "lykätä" täsmälleen 6 arvosta 144 (se, että pitäisi olla oikealla, osoittaa vapaan termin läsnäolo - vakio, jota ei kerrota tuntemattomalla).

Jaa kaikki kuudella ja hanki ellipsoidin kanoninen yhtälö:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Aiemmin käytetyssä 2. kertaluvun pintojen luokittelussa huomioidaan erikoistapaus, kun kuvion keskipiste on koordinaattien origossa. Tässä esimerkissä se on offset.

Oletamme, että jokainen tuntematon sulkumerkki on uusi muuttuja. Eli: a=x-1, b=y+5, c=z. Uusissa koordinaateissa ellipsoidin keskipiste osuu yhteen pisteen (0, 0, 0) kanssa, joten a=b=c=0, mistä: x=1, y=-5, z=0. Alkukoordinaateissa kuvan keskipiste on pisteessä (1, -5, 0).

Ellipsoidi saadaan kahdesta ellipsistä: ensimmäinen XY-tasossa ja toinen XZ-tasossa (tai YZ - sillä ei ole väliä). Kertoimet, joilla muuttujat jaetaan, neliötetään kanonisessa yhtälössä. Siksi yllä olevassa esimerkissä olisi oikeampaa jakaa kahden, yhden ja kolmen juurella.

Ensimmäisen ellipsin sivuakseli, joka on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa, on kaksi. X-akselin suuntainen pääakseli on kahdesta kaksi juuria. Toisen ellipsin sivuakseli, joka on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa, pysyy samana - se on yhtä suuri kuin kaksi. Ja Z-akselin suuntainen pääakseli on yhtä kuin kaksi kolmen juurta.

Alkuperäisestä yhtälöstä kanoniseen muotoon muuntamalla saatujen tietojen avulla voimme piirtää ellipsoidin.

Yhteenveto

Kattaa tämän artikkelinaihe on melko laaja, mutta itse asiassa, kuten nyt näet, ei kovin monimutkainen. Sen kehitys itse asiassa päättyy siihen hetkeen, kun opettelet ulkoa pintojen nimet ja yhtälöt (ja tietysti miltä ne näyttävät). Yllä olevassa esimerkissä olemme käsitelleet jokaista vaihetta yksityiskohtaisesti, mutta yhtälön tuominen kanoniseen muotoon vaatii vain vähän tietoa korkeammasta matematiikasta, eikä sen pitäisi aiheuttaa vaikeuksia opiskelijalle.

Tulevan aikataulun analysointi olemassa olevasta tasa-arvosta on jo vaikeampi tehtävä. Mutta sen onnistuneen ratkaisun saavuttamiseksi riittää, että ymmärrät, kuinka vastaavat toisen asteen käyrät rakennetaan - ellipsit, paraabelit ja muut.

Degeneraatiotapaukset - vielä yksinkertaisempi osio. Joidenkin muuttujien puuttuessa ei pelkästään laskelmia yksinkertaisteta, kuten aiemmin mainittiin, vaan myös itse rakentaminen.

Heti kun osaat varmasti nimetä kaiken tyyppisiä pintoja, varioida vakioita ja kääntää kaavion johonkin muotoon - aihe hallitaan.

Menestystä opinnoissasi!