Kun tutkittiin toisen asteen yhtälön ominaisuuksia, asetettiin rajoitus - nollaa pienemmälle erottajalle ei ole ratkaisua. Heti määrättiin, että puhumme joukosta reaalilukuja. Matemaatikon utelias mieli on kiinnostunut - mikä on todellisia arvoja koskevan lausekkeen salaisuus?
Ajan mittaan matemaatikot ottivat käyttöön kompleksilukujen käsitteen, jossa miinus ykkösen toisen juuren ehdollinen arvo otetaan yksiköksi.
Historiallista taustaa
Matemaattinen teoria kehittyy peräkkäin, yksinkertaisesta monimutkaiseen. Selvitetään, miten "kompleksiluvun" käsite syntyi ja miksi sitä tarvitaan.
Muista ajoista lähtien matematiikan perustana on ollut tavallinen tili. Tutkijat tunsivat vain luonnolliset arvot. Yhteen- ja vähennyslasku oli yksinkertaista. Taloudellisten suhteiden monimutkaistuessa alettiin käyttää kertolaskua samojen arvojen lisäämisen sijaan. On käänteinen toimintakerto-jako.
Luonnollisen luvun käsite rajoitti aritmeettisten operaatioiden käyttöä. On mahdotonta ratkaista kaikkia jako-ongelmia kokonaislukuarvojen joukossa. Murtolukujen kanssa työskentely johti ensin rationaalisten arvojen käsitteeseen ja sitten irrationaalisiin arvoihin. Jos rationaalisille on mahdollista osoittaa pisteen tarkka sijainti viivalla, niin irrationaalisille on mahdotonta osoittaa tällaista pistettä. Voit vain arvioida välin. Rationaali- ja irrationaalilukujen liitto muodosti todellisen joukon, joka voidaan esittää tietyn mittakaavan tiettynä suorana. Jokainen askel viivalla on luonnollinen luku, ja niiden välissä ovat rationaaliset ja irrationaaliset arvot.
Teoreettisen matematiikan aikakausi on alkanut. Tähtitieteen, mekaniikan, fysiikan kehitys vaati yhä monimutkaisempien yhtälöiden ratkaisemista. Yleensä toisen asteen yhtälön juuret löydettiin. Ratkaiseessaan monimutkaisempaa kuutiopolynomia tutkijat törmäsivät ristiriitaan. Negatiivisen kuutiojuuren käsite on järkevä, mutta neliöjuurelle saadaan epävarmuus. Lisäksi toisen asteen yhtälö on vain kuutioyhtälön erikoistapaus.
Vuonna 1545 italialainen J. Cardano ehdotti imaginaariluvun käsitteen käyttöönottoa.
Tämä luku on miinus ykkösen toinen juuri. Termi kompleksiluku muodostui lopulta vasta kolmesataa vuotta myöhemmin kuuluisan matemaatikon Gaussin teoksissa. Hän ehdotti kaikkien algebran lakien muodollista laajentamista imaginaarilukuihin. Varsinaista linjaa on jatkettulentokoneita. Maailma on isompi.
Peruskäsitteet
Muista useita toimintoja, joilla on rajoituksia reaalijoukolle:
- y=arcsin(x), määritelty negatiivisen ja positiivisen 1 välissä.
- y=ln(x), desimaalilogaritmi on järkevä positiivisilla argumenteilla.
- neliöjuuri y=√x, laskettu vain x:lle ≧ 0.
Meritsemällä i=√(-1), otamme tällaisen käsitteen käyttöön imaginaarilukuna, tämä poistaa kaikki rajoitukset yllä olevien funktioiden määrittelyalueelta. Lausekkeet kuten y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) ovat järkeviä jossain kompleksilukuavaruudessa.
Algebrallinen muoto voidaan kirjoittaa lausekkeena z=x + i×y todellisten x- ja y-arvojen joukkoon ja i2 =-1.
Uusi konsepti poistaa kaikki rajoitukset minkä tahansa algebrallisen funktion käytöltä ja muistuttaa suoran kaaviota reaali- ja imaginaariarvojen koordinaateissa.
Monimutkainen taso
Kompleksilukujen geometrisen muodon avulla voimme visuaalisesti esittää monia niiden ominaisuuksia. Re(z)-akselille merkitään todelliset x-arvot, Im(z):lle - y:n imaginaariset arvot, jolloin tason z-piste näyttää vaaditun kompleksiarvon.
Määritelmät:
- Re(z) - todellinen akseli.
- Im(z) - tarkoittaa kuvitteellista akselia.
- z - kompleksiluvun ehdollinen piste.
- Vektorin pituuden numeerista arvoa nollasta z:hen kutsutaanmoduuli.
- Todellinen ja kuvitteellinen akseli jakaa tason neljänneksiin. Koordinaattien positiivisella arvolla - I neljännes. Kun todellisen akselin argumentti on pienempi kuin 0 ja imaginaariakseli on suurempi kuin 0 - II neljännes. Kun koordinaatit ovat negatiivisia - III neljännes. Viimeinen, neljäs vuosineljännes sisältää monia positiivisia reaaliarvoja ja negatiivisia imaginaariarvoja.
Siten tasossa, jossa on x- ja y-koordinaattiarvot, voidaan aina visualisoida kompleksiluvun piste. Merkki i otetaan käyttöön erottamaan todellinen osa kuvitteellisesta.
Ominaisuudet
- Kun imaginaarisen argumentin arvo on nolla, saamme vain luvun (z=x), joka sijaitsee reaaliakselilla ja kuuluu todelliseen joukkoon.
- Erityistapaus, kun todellisen argumentin arvo on nolla, lauseke z=i×y vastaa pisteen sijaintia imaginaariakselilla.
- Z=x + i×y:n yleinen muoto on argumenttien nollasta poikkeaville arvoille. Ilmaisee kompleksilukua kuvaavan pisteen sijainnin yhdessä neljänneksistä.
Trigonometrinen merkintä
Muista napakoordinaattijärjestelmä ja trigonometristen funktioiden sin ja cos määritelmä. On selvää, että näiden funktioiden avulla on mahdollista kuvata minkä tahansa pisteen sijainti tasossa. Tätä varten riittää, että tiedät napasäteen pituus ja k altevuuskulma todelliseen akseliin nähden.
Määritelmä. Muotoa ∣z ∣ kerrottuna trigonometristen funktioiden cos(ϴ) ja imaginaariosan i ×sin(ϴ) summalla kutsutaan trigonometriseksi kompleksiluvuksi. Tässä nimitys on k altevuuskulma todelliseen akseliin nähden
ϴ=arg(z) ja r=∣z∣, säteen pituus.
Trigonometristen funktioiden määritelmästä ja ominaisuuksista seuraa erittäin tärkeä Moivren kaava:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Tämän kaavan avulla on kätevää ratkaista monia trigonometrisiä funktioita sisältäviä yhtälöjärjestelmiä. Varsinkin kun v altaan nostamisen ongelma ilmenee.
Moduuli ja vaihe
Monimutkaisen joukon kuvauksen täydentämiseksi ehdotamme kahta tärkeää määritelmää.
Pythagoraan lauseen tuntemalla on helppo laskea säteen pituus napakoordinaatistossa.
r=∣z∣=√(x2 + y2), tällaista kompleksisen avaruuden merkintää kutsutaan " moduuli" ja kuvaa etäisyyttä 0:sta tason pisteeseen.
Kompleksisen säteen k altevuuskulmaa todelliseen linjaan ϴ kutsutaan yleisesti vaiheeksi.
Määritelmä osoittaa, että reaali- ja imaginaariosat kuvataan syklisillä funktioilla. Nimittäin:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Päinvastoin, vaihe liittyy algebrallisiin arvoihin kaavan avulla:
ϴ=arctan(x / y) + µ, korjaus µ otetaan käyttöön geometristen funktioiden jaksollisuuden huomioon ottamiseksi.
Eulerin kaava
Matemaatikot käyttävät usein eksponentiaalista muotoa. Kompleksitasoluvut kirjoitetaan lausekkeina
z=r × ei×ϴ , mikä seuraa Eulerin kaavasta.
Tätä tietuetta käytetään laaj alti fyysisten määrien käytännön laskennassa. Esitysmuoto muodossaeksponentiaaliset kompleksiluvut ovat erityisen käteviä teknisissä laskelmissa, joissa on tarpeen laskea piirejä sinimuotoisilla virroilla ja on tarpeen tietää funktioiden integraalien arvo tietyllä jaksolla. Itse laskelmat toimivat työkaluna erilaisten koneiden ja mekanismien suunnittelussa.
Määritä toiminnot
Kuten jo todettiin, kaikki matemaattisten perusfunktioiden algebralliset lait koskevat kompleksilukuja.
Summaoperaatio
Kompleksisia arvoja lisättäessä lisätään myös niiden todelliset ja kuvitteelliset osat.
z=z1 + z2 missä z1 ja z2 - yleiset kompleksiluvut. Kun lauseke muunnetaan, sulkujen avaamisen ja merkinnän yksinkertaistamisen jälkeen saadaan todellinen argumentti x=(x1 + x2), imaginaarinen argumentti y=(y 1 + y2).
Kaaviossa se näyttää kahden vektorin yhteenlaskulta tunnetun suunnikassäännön mukaisesti.
Vähennysoperaatio
Pidetään lisäyksen erikoistapauksena, kun yksi luku on positiivinen, toinen on negatiivinen, eli sijaitsee peilineljänneksessä. Algebrallinen merkintätapa näyttää erolta reaali- ja imaginaariosien välillä.
z=z1 - z2, tai argumenttien arvot huomioiden, samoin kuin lisäys operaatiossa saamme todellisille arvoille x=(x1 - x2) ja imaginaariselle y=(y1- y2).
Kerto monimutkaisella tasolla
Käyttäen polynomien kanssa työskentelyn sääntöjä johdamme kaavankompleksilukujen ratkaisemiseen.
Noudattamalla yleisiä algebrallisia sääntöjä z=z1×z2, kuvaile jokainen argumentti ja luettele samanlaiset. Todellinen ja kuvitteellinen osa voidaan kirjoittaa näin:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Näyttää kauniimm alta, jos käytämme eksponentiaalisia kompleksilukuja.
Lauke näyttää tältä: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Edelleen, moduulit kerrotaan ja vaiheet lisätään.
Divisioona
Kun tarkastelemme jakotoimintoa kertolaskujen käänteisfunktiona, saadaan yksinkertainen lauseke eksponentiaalisessa merkinnässä. Arvon z1 jakaminen z2 on tulos niiden moduulien ja vaihe-eron jakamisesta. Muodollisesti, kun käytetään kompleksilukujen eksponentiaalista muotoa, se näyttää tältä:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Algebrallisen merkinnän muodossa kompleksitason lukujen jakaminen on kirjoitettu hieman monimutkaisemmin:
z=z1 / z2.
Argumenttien kuvaaminen ja polynomimuunnosten suorittaminen on helppoa saada arvotx=x1 × x2 + y1 × y2, vastaavasti y=x2 × y1 - x1 × y2 , mutta kuvatussa avaruudessa tämä lauseke on järkevä, jos z2 ≠ 0.
Pura juuri
Kaikki edellä mainitut voidaan soveltaa määritettäessä monimutkaisempia algebrallisia funktioita - nostamalla mihin tahansa potenssiin ja käänteiseen siihen - poimittaessa juuria.
Käyttämällä yleistä käsitettä nostaa potenssiin n, saamme määritelmän:
zn =(r × eiϴ).
Käyttämällä yleisiä ominaisuuksia, kirjoita uudelleen muotoon:
zn =rn × eiϴ.
Saimme yksinkertaisen kaavan kompleksiluvun nostamiseksi potenssiin.
Tutkinnon määritelmästä saamme erittäin tärkeän seurauksen. Imaginaarisen yksikön parillinen potenssi on aina 1. Mikä tahansa imaginaarisen yksikön pariton potenssi on aina -1.
Tutkitaan nyt käänteisfunktiota - juuren purkamista.
Otetaan merkinnän helpottamiseksi n=2. Kompleksisen arvon z neliöjuuren w kompleksitasolla C katsotaan olevan lauseke z=±, joka pätee jokaiselle todelliselle argumentille, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Arvolle w ≦ 0 ei ole ratkaisua.
Katsotaan yksinkertaisinta toisen asteen yhtälöä z2 =1. Kirjoita uudelleen r2 × e käyttämällä kompleksilukukaavojai2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Tietueesta voidaan nähdä, että r2 =1 ja ϴ=0, joten meillä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka on yhtä suuri kuin 1. Mutta tämä on ristiriidassa sen käsityksen kanssa, että z=-1 sopii myös neliöjuuren määritelmään.
Otetaan selvää, mitä emme ota huomioon. Jos muistamme trigonometrisen merkinnän, palautamme lauseen - vaiheen ϴ jaksoittaisella muutoksella kompleksiluku ei muutu. Olkoon p jakson arvo, niin meillä on r2 × ei2ϴ =ei(0+p), josta 2ϴ=0 + p tai ϴ=p / 2. Siksi ei0 =1 ja eip/2 =-1. Saimme toisen ratkaisun, joka vastaa neliöjuuren yleistä käsitystä.
Joten löytääksemme mieliv altaisen kompleksiluvun juurin, noudatamme menettelyä.
- Kirjoita eksponentiaalinen muoto w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k on mieliv altainen kokonaisluku.
- Haluttu luku esitetään myös Eulerin muodossa z=r × eiϴ.
- Käytä juuripoimintafunktion yleistä määritelmää r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Moduulien ja argumenttien yhtäläisyyden yleisistä ominaisuuksista kirjoitetaan rn =∣w∣ ja nϴ=arg (w) + p×k.
- Kompleksiluvun juuren lopullinen tietue kuvataan kaavalla z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Huom. ∣w∣:n arvo määritelmän mukaanon positiivinen reaaliluku, joten minkä tahansa asteen juurilla on järkeä.
Kenttä ja taivutus
Lopuksi annamme kaksi tärkeää määritelmää, joilla on vähän merkitystä kompleksilukujen sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, mutta jotka ovat välttämättömiä matemaattisen teorian jatkokehityksen kann alta.
Yhteen- ja kertolaskulausekkeiden sanotaan muodostavan kentän, jos ne täyttävät kompleksitason z minkä tahansa elementin aksioomit:
- Monimutkainen summa ei muutu monimutkaisten termien paikan vaihtamisesta.
- Väite on tosi - kompleksilausekkeessa mikä tahansa kahden luvun summa voidaan korvata niiden arvolla.
- On neutraali arvo 0, jolle z + 0=0 + z=z on tosi.
- Jokaiselle z:lle on vastakohta - z, jonka lisäys antaa nollan.
- Kun vaihdetaan monimutkaisten tekijöiden paikkaa, monimutkainen tuote ei muutu.
- Mikä tahansa kahden luvun kertolasku voidaan korvata niiden arvolla.
- On neutraali arvo 1, jolla kertominen ei muuta kompleksilukua.
- Jokaiselle z ≠ 0:lle on z-1 käänteisluku, joka kertoo luvulla 1.
- Kahden luvun summan kertominen kolmanneksella vastaa toimintoa, jossa kukin niistä kerrotaan tällä luvulla ja lasketaan yhteen tulokset.
- 0 ≠ 1.
Luvuja z1 =x + i×y ja z2 =x - i×y kutsutaan konjugaateiksi.
Lause. Konjugaatiossa väite on tosi:
- Summan konjugaatio on yhtä suuri kuin konjugaattielementtien summa.
- Tuotteen konjugaatti onkonjugaatioiden tulo.
- Tavoitteen konjugaatio on yhtä suuri kuin itse luku.
Yleisessä algebrassa tällaisia ominaisuuksia kutsutaan kentän automorfismeiksi.
Esimerkkejä
Noudattamalla annettuja kompleksilukujen sääntöjä ja kaavoja voit käyttää niitä helposti.
Katsotaan yksinkertaisimpia esimerkkejä.
Ongelma 1. Määritä x ja y käyttämällä yhtälöä 3y +5 x i=15 - 7i.
Päätös. Muista kompleksisten yhtälöiden määritelmä, jolloin 3y=15, 5x=-7. Siksi x=-7 / 5, y=5.
Tehtävä 2. Laske arvot 2 + i28 ja 1 + i135.
Päätös. Ilmeisesti 28 on parillinen luku, kompleksiluvun määritelmän seurauksena potenssissa meillä on i28 =1, mikä tarkoittaa, että lauseke 2 + i 28 =3. Toinen arvo, i135 =-1, sitten 1 + i135 =0.
Tehtävä 3. Laske arvojen 2 + 5i ja 4 + 3i tulo.
Päätös. Kompleksilukujen kertolaskujen yleisistä ominaisuuksista saadaan (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Uusi arvo on -7 + 26i.
Tehtävä 4. Laske yhtälön z3 juuret =-i.
Päätös. On olemassa useita tapoja löytää kompleksiluku. Mietitään yhtä mahdollisista. Määritelmän mukaan ∣ - i∣=1, -i:n vaihe on -p / 4. Alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon r3ei3ϴ =e-p/4+pk, mistä z=e-p / 12 + pk/3, mille tahansa kokonaisluvulle k.
Ratkaisujoukolla on muoto (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Mihin tarvitsemme kompleksilukuja
Historia tietää monia esimerkkejä siitä, kun tiedemiehet, jotka työskentelevät teorian parissa, eivät edes ajattele tulosten käytännön soveltamista. Matematiikka on ennen kaikkea mielen leikkiä, tiukkaa syy-seuraus-suhteiden noudattamista. Lähes kaikki matemaattiset konstruktiot pelkistetään integraali- ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, ja ne puolestaan ratkaistaan jollakin approksimaatiolla etsimällä polynomien juuret. Täällä kohtaamme ensimmäisen kerran imaginaarilukujen paradoksin.
Tutkijat luonnontieteilijät, jotka ratkaisevat täysin käytännöllisiä ongelmia, turvautuvat erilaisten yhtälöiden ratkaisuihin, löytävät matemaattisia paradokseja. Näiden paradoksien tulkinta johtaa aivan uskomattomiin löytöihin. Sähkömagneettisten a altojen kaksoisluonne on yksi tällainen esimerkki. Kompleksiluvuilla on ratkaiseva rooli niiden ominaisuuksien ymmärtämisessä.
Tämä puolestaan on löytänyt käytännön sovellusta optiikassa, radioelektroniikassa, energiassa ja monilla muilla tekniikan aloilla. Toinen esimerkki, paljon vaikeammin ymmärrettäviä fyysisiä ilmiöitä. Antimateria ennustettiin kynän kärjessä. Ja vasta monta vuotta myöhemmin, yritykset syntetisoida se fyysisesti alkavat.
Älä ajattele, että vain fysiikassa on tällaisia tilanteita. Yhtä mielenkiintoisia löytöjä tehdään villieläimistä, makromolekyylien synteesistä, tekoälyn tutkimuksen aikana. Ja se kaikki on kiitostietoisuutemme laajentaminen, siirtyminen pois luonnonarvojen yksinkertaisesta yhteen- ja vähentämisestä.
