Ymmärtääkseen, mitkä funktion ääripisteet ovat, ei ole ollenkaan välttämätöntä tietää ensimmäisen ja toisen derivaatan olemassaolosta ja ymmärtää niiden fyysistä merkitystä. Ensin sinun on ymmärrettävä seuraavat asiat:
- funktion ääriarvo maksimoi tai päinvastoin minimoi funktion arvon mieliv altaisen pienellä alueella;
- Ääripisteessä ei saa olla funktion katkaisua.
Ja nyt sama, vain selkeällä kielellä. Katso kuulakärkikynän kärkeä. Jos kynä asetetaan pystysuoraan kirjoituspään ollessa ylöspäin, pallon ääripiste - korkein kohta - on aivan keskellä. Tässä tapauksessa puhumme maksimista. Jos nyt käännät kynän kirjoituspää alaspäin, pallon keskellä on jo toiminto minimi. Tässä esitetyn kuvan avulla voit kuvitella luetellut paperitavarakynän käsittelyt. Joten funktion ääripäät ovat aina kriittisiä pisteitä: sen maksimit tai minimit. Kaavion viereinen osa voi olla mieliv altaisen terävä tai sileä, mutta sen on oltava molemmilla puolilla, vain tässä tapauksessa piste on ääripää. Jos kaavio on vain toisella puolella, tämä piste ei ole ääriarvo, vaikka se olisi toisella puolellaäärimmäiset ehdot täyttyvät. Tutkitaan nyt funktion ääripäitä tieteellisestä näkökulmasta. Jotta pisteen katsottaisiin olevan ääriarvo, on välttämätöntä ja riittävää, että:
- ensimmäinen derivaatta oli nolla tai sitä ei ollut olemassa pisteessä;
- ensimmäinen derivaatta vaihtoi etumerkkiään tässä vaiheessa.
Ehtoa tulkitaan hieman eri tavalla korkeamman asteen derivaattojen näkökulmasta: pisteessä differentioituvalle funktiolle riittää, että on olemassa pariton derivaatta, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, kun taas kaikki alemman kertaluvun johdannaisia on oltava olemassa ja niiden on oltava nolla. Tämä on yksinkertaisin tulkinta korkeamman matematiikan oppikirjoista. Mutta tavallisimmille ihmisille on syytä selittää tämä kohta esimerkillä. Perustana on tavallinen paraabeli. Tee varaus heti, nollapisteessä sillä on minimi. Vähän matematiikkaa:
- ensimmäinen derivaatta (X2)|=2X, nollapisteelle 2X=0;
- toinen derivaatta (2X)|=2, nollapisteelle 2=2.
Tämä on yksinkertainen esitys ehdoista, jotka määrittävät funktion ääripäät sekä ensimmäisen kertaluvun johdannaisille että korkeamman asteen johdannaisille. Voimme lisätä tähän, että toinen derivaatta on vain sama pariton derivaatta, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, josta keskusteltiin hieman korkeammalla. Kun kyse on kahden muuttujan funktion ääriarvoista, ehtojen on täytyttävä molemmille argumenteille. Kunyleistys tapahtuu, sitten käytetään osittaisia derivaattoja. Toisin sanoen ääripään esiintymiselle pisteessä on välttämätöntä, että molemmat ensimmäisen kertaluvun derivaatat ovat yhtä suuria kuin nolla, tai ainakin yhtä niistä ei ole olemassa. Ekstreemumin olemassaolon riittävyyden vuoksi tutkitaan lauseke, joka on toisen kertaluvun derivaatan tulon ja funktion sekoitetun toisen kertaluvun derivaatan neliön erotus. Jos tämä lauseke on suurempi kuin nolla, on olemassa ääriarvo, ja jos on nolla, kysymys jää avoimeksi ja lisätutkimusta tarvitaan.
