Aihetta "aritmeettinen progressio" opiskellaan algebran yleiskurssilla kouluissa 9. luokalla. Tämä aihe on tärkeä lukusarjojen matematiikan syvemmälle tutkimiselle. Tässä artikkelissa tutustumme aritmeettiseen etenemiseen, sen eroihin sekä tyypillisiin tehtäviin, joita koululaiset saattavat kohdata.
Algebrallisen progression käsite
Numeerinen eteneminen on lukujono, jossa jokainen seuraava elementti voidaan saada edellisestä, jos jotakin matemaattista lakia sovelletaan. On olemassa kaksi yksinkertaista progressiotyyppiä: geometrinen ja aritmeettinen, jota kutsutaan myös algebralliseksi. Mietitäänpä sitä tarkemmin.
Kuvitellaan jokin rationaalinen luku, merkitään se symbolilla a1, jossa indeksi ilmaisee sen järjestysnumeron tarkasteltavassa sarjassa. Lisätään joku muu luku numeroon a1 , merkitään se d. Sitten toinensarjan elementti voidaan heijastaa seuraavasti: a2=a1+d. Lisää nyt d uudelleen, saamme: a3=a2+d. Jatkamalla tätä matemaattista operaatiota, voit saada kokonaisen sarjan lukuja, joita kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Kuten yllä olevasta voidaan ymmärtää, löytääksesi tämän sekvenssin n:nnen elementin, sinun on käytettävä kaavaa: a =a1+ (n -1)d. Todellakin, korvaamalla lausekkeen n=1, saamme a1=a1, jos n=2, niin kaava tarkoittaa: a2=a1 + 1d ja niin edelleen.
Jos esimerkiksi aritmeettisen progression ero on 5 ja a1=1, tämä tarkoittaa, että kyseessä olevan tyypin numerosarja näyttää tältä: 1, 6, 11, 16, 21, … Kuten näet, jokainen sen termi on suurempi kuin edellinen luvulla 5.
Aritmeettisen etenemisen eron kaavat
Yllä olevasta tarkastellun lukusarjan määritelmästä seuraa, että sen määrittämiseksi sinun on tiedettävä kaksi numeroa: a1 ja d. Jälkimmäistä kutsutaan tämän etenemisen eroksi. Se määrittää ainutlaatuisesti koko sarjan käyttäytymisen. Todellakin, jos d on positiivinen, numerosarja kasvaa jatkuvasti, päinvastoin, negatiivisen d:n tapauksessa sarjan luvut kasvavat vain modulo, kun taas niiden itseisarvo pienenee luvun n kasvaessa.
Mitä eroa aritmeettisella progressiolla on? Harkitse kahta pääkaavaa, joita käytetään tämän arvon laskemiseen:
- d=an+1-a , tämä kaava seuraa suoraan kyseessä olevan numerosarjan määritelmästä.
- d=(-a1+a)/(n-1), tämä lauseke saadaan ilmaisemalla d annetusta kaavasta artikkelin edellisessä kappaleessa. Huomaa, että tästä lausekkeesta tulee epämääräinen (0/0), jos n=1. Tämä johtuu siitä, että sarjan on tunnettava vähintään 2 elementtiä sen eron määrittämiseksi.
Näitä kahta peruskaavaa käytetään ratkaisemaan kaikki etenemiseron löytämiseen liittyvät ongelmat. On kuitenkin toinen kaava, joka sinun on myös tiedettävä.
Ensimmäisten elementtien summa
Kaavan, jolla voidaan määrittää minkä tahansa algebrallisen etenemisen jäsenten summa historiallisten todisteiden mukaan, sai ensimmäisenä 1700-luvun matematiikan "prinssi" Carl Gauss. Saksalainen tiedemies, ollessaan vielä kyläkoulun ala-asteella, huomasi, että jotta voit lisätä luonnollisia lukuja sarjassa 1:stä 100:aan, sinun on ensin laskettava yhteen ensimmäinen alkio ja viimeinen (saatava arvo on yhtä suuri toiseksi viimeisen ja toisen, toiseksi viimeisen ja kolmannen elementin summaan ja niin edelleen), ja sitten tämä luku tulee kertoa näiden summien lukumäärällä, eli 50:llä.
Kaava, joka heijastaa tietyssä esimerkissä ilmoitettua tulosta, voidaan yleistää mieliv altaiseksi tapaukseksi. Se näyttää tältä: S =n/2(a +a1). Huomaa, että määritetyn arvon löytämiseksi eroa d ei vaadita,jos etenemisen kaksi termiä tunnetaan (a ja a1).
Esimerkki 1. Määritä ero, kun tiedät sarjan a1 ja an
kaksi termiä
Näytetään, kuinka sovelletaan edellä artikkelissa mainittuja kaavoja. Otetaan yksinkertainen esimerkki: aritmeettisen progression eroa ei tunneta, on määritettävä mitä se on, jos a13=-5, 6 ja a1 =-12, 1.
Koska tiedämme numeerisen sekvenssin kahden elementin arvot ja yksi niistä on ensimmäinen numero, voimme käyttää kaavaa nro 2 eron d määrittämiseen. Meillä on: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Lausekkeessa käytimme arvoa n=13, koska tällä sarjanumerolla oleva jäsen on tiedossa.
Tulostunut ero osoittaa, että eteneminen on lisääntymässä huolimatta siitä, että ongelman ehdossa annetuilla elementeillä on negatiivinen arvo. Voidaan nähdä, että a13>a1, vaikka |a13|<|a 1 |.
Esimerkki 2. Progression positiiviset jäsenet esimerkissä 1
Käytetään edellisessä esimerkissä saatua tulosta uuden ongelman ratkaisemiseen. Se muotoillaan seuraavasti: mistä järjestysnumerosta esimerkin 1 etenemisen alkiot alkavat ottaa positiivisia arvoja?
Kuten näkyy, eteneminen, jossa a1=-12, 1 ja d=0. 54167 kasvaa, joten jostain luvusta luvut alkavat saada vain positiivisia arvot. Tämän luvun n määrittämiseksi on ratkaistava yksinkertainen epäyhtälö, joka onkirjoitetaan matemaattisesti seuraavasti: a >0 tai kirjoitetaan epäyhtälö sopivaa kaavaa käyttäen uudelleen: a1 + (n-1)d>0. Tuntematon n on löydettävä, ilmaistaan se: n>-1a1/d + 1. Nyt on vielä korvattava eron ja ensimmäisen jäsenen tunnetut arvot sekvenssistä. Saamme: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 tai n>23, 338. Koska n voi ottaa vain kokonaislukuja, tuloksena olevasta epäyhtälöstä seuraa, että kaikki sarjan jäsenet, jotka jos luku on suurempi kuin 23, se on positiivinen.
Tarkista vastauksesi käyttämällä yllä olevaa kaavaa laskeaksesi tämän aritmeettisen etenemisen 23. ja 24. elementin. Meillä on: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatiivinen luku); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positiivinen arvo). Näin saatu tulos on oikea: alkaen n=24, kaikki lukusarjan jäsenet ovat suurempia kuin nolla.
Esimerkki 3. Kuinka monta puuta mahtuu?
Annetaan yksi utelias ongelma: hakkuiden aikana päätettiin pinota sahatut puut päällekkäin alla olevan kuvan mukaisesti. Kuinka monta tukkia voidaan pinota tällä tavalla, kun tiedät, että 10 riviä mahtuu yhteensä?
Tällä pinoamalla lokit voit huomata yhden mielenkiintoisen asian: jokainen seuraava rivi sisältää yhden lokin vähemmän kuin edellinen, eli on algebrallinen eteneminen, jonka ero on d=1. Olettaen, että lokien määrä jokaisella rivillä on tämän etenemisen jäsen,ja kun otetaan huomioon myös, että a1=1 (vain yksi tukki mahtuu aivan huipulle), löydämme luvun a10. Meillä on: a10=1 + 1(10-1)=10. Eli 10. rivillä, joka sijaitsee maassa, on 10 puuta.
Tämän "pyramidin" rakenteen kokonaismäärä voidaan saada Gaussin kaavalla. Saamme: S10=10/2(10+1)=55 lokia.
