Ihmiskunnan edistyminen johtuu suurelta osin nerojen tekemistä löydöistä. Yksi heistä on Blaise Pascal. Hänen luova elämäkerta vahvistaa jälleen kerran Lion Feuchtwangerin ilmaisun "Lahjakas henkilö, lahjakas kaikessa." Tämän suuren tiedemiehen kaikkia tieteellisiä saavutuksia on vaikea laskea. Niiden joukossa on yksi matematiikan maailman tyylikkäimmistä keksinnöistä - Pascalin kolmio.
Pari sanaa neroudesta
Blaise Pascal kuoli varhain nykyaikaisten standardien mukaan, 39-vuotiaana. Lyhyen elämänsä aikana hän kuitenkin erottui erinomaisesta fyysikon, matemaatikon, filosofin ja kirjailijan roolista. Kiitolliset jälkeläiset nimesivät paineyksikön ja suositun ohjelmointikielen Pascaliksi hänen kunniakseen. Sitä on käytetty lähes 60 vuoden ajan erilaisten koodien kirjoittamisen opetuksessa. Esimerkiksi sen avulla jokainen opiskelija voi kirjoittaa ohjelman kolmion alueen laskemiseksi Pascalissa sekä tutkia piirin ominaisuuksia, noinjosta keskustellaan alla.
Tämän poikkeuksellisen ajattelutavan omaavan tiedemiehen toiminta kattaa monenlaisia tieteenaloja. Erityisesti Blaise Pascal on yksi hydrostaattisen, matemaattisen analyysin, joidenkin geometrian ja todennäköisyysteorian alueiden perustajista. Lisäksi hän:
- loi mekaanisen laskimen, joka tunnetaan nimellä Pascal-pyörä;
- toi kokeellista näyttöä siitä, että ilmalla on joustavuutta ja painoa;
- totesi, että barometrilla voidaan ennustaa säätä;
- keksi kottikärryt;
- keksi omnibussin - hevoskärryt kiinteillä reiteillä, joista tuli myöhemmin ensimmäinen säännöllinen joukkoliikenne jne.
Pascalin aritmeettinen kolmio
Kuten jo mainittiin, tämä suuri ranskalainen tiedemies antoi v altavan panoksen matemaattiseen tieteeseen. Yksi hänen ehdottomista tieteellisistä mestariteoksistaan on "Trataatti aritmeettisesta kolmiosta", joka koostuu tiettyyn järjestykseen järjestetyistä binomikertoimista. Tämän järjestelmän ominaisuudet ovat hämmästyttäviä monimuotoisuudessaan, ja se itse vahvistaa sananlaskun "Kaikki nerokas on yksinkertaista!".
Hieman historiaa
Ollakseni rehellinen, on sanottava, että itse asiassa Pascalin kolmio tunnettiin Euroopassa jo 1500-luvun alussa. Erityisesti hänen kuvansa näkyy Ingolstadtin yliopiston kuuluisan tähtitieteilijän Peter Apianin aritmeettisen oppikirjan kannessa. Samanlainen kolmio on myös esitetty kuvassa.kiinalaisen matemaatikon Yang Huin kirjassa, joka julkaistiin vuonna 1303. Merkittävä persialainen runoilija ja filosofi Omar Khayyam oli myös tietoinen sen ominaisuuksista 1100-luvun alussa. Lisäksi uskotaan, että hän tapasi hänet aiemmin kirjoitetuista arabien ja intialaisten tiedemiesten tutkielmista.
Kuvaus
Ennen kuin tutkit Pascalin täydellisyydessään ja yksinkertaisuudessaan kauniin kolmion mielenkiintoisimpia ominaisuuksia, on syytä tietää, mikä se on.
Tieteellisesti tämä numeerinen kaavio on loputon kolmiotaulukko, joka on muodostettu tiettyyn järjestykseen järjestetyistä binomikertoimista. Sen yläosassa ja sivuilla on numerot 1. Loput paikat ovat numeroilla, jotka ovat yhtä suuria kuin niiden yläpuolella vierekkäin olevien numeroiden summa. Lisäksi kaikki Pascalin kolmion suorat ovat symmetrisiä sen pystyakselin suhteen.
Perusominaisuudet
Pascalin kolmio iskee täydellisyydessään. Jokaiselle riville, jonka numero on n (n=0, 1, 2…) tosi:
- ensimmäinen ja viimeinen numero ovat 1;
- toinen ja toiseksi viimeinen - n;
- kolmas luku on yhtä suuri kuin kolmioluku (ympyröiden lukumäärä, jotka voidaan järjestää tasasivuiseen kolmioon, eli 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Neljäs luku on tetraedri, eli se on pyramidi, jonka pohjassa on kolmio.
Lisäksi suhteellisen äskettäin, vuonna 1972, perustettiin toinen Pascalin kolmion ominaisuus. Hänen puolestaanselvittääksesi, sinun on kirjoitettava tämän järjestelmän elementit taulukon muodossa, jossa on rivin siirto 2 asemalla. Huomaa sitten rivin numerolla jaettavat luvut. Osoittautuu, että sen sarakkeen numero, jossa kaikki numerot on korostettu, on alkuluku.
Sama temppu voidaan tehdä toisella tavalla. Tätä varten Pascalin kolmiossa luvut korvataan niiden jaon jäännöksillä taulukon rivinumerolla. Sitten rivit järjestetään tuloksena olevaan kolmioon siten, että seuraava alkaa 2 saraketta oikealle edellisen ensimmäisestä elementistä. Tällöin sarakkeet, joissa on alkulukuja, koostuvat vain nollista, ja sarakkeet, joissa on yhdistelmälukuja, sisältävät vähintään yhden nollan.
Yhteys Newtonin binomiaaliin
Kuten tiedät, tämä on kaavan nimi, jolla laajennetaan kahden muuttujan summan ei-negatiiviseen kokonaislukupotenssiin, joka näyttää tältä:
Niissä olevat kertoimet ovat yhtä suuria kuin C m =n! / (m! (n - m)!), missä m on Pascalin kolmion rivin n järjestysluku. Toisin sanoen, kun tämä taulukko on käsillä, voit helposti nostaa minkä tahansa luvun potenssiin, kun olet aiemmin jakanut ne kahdeksi termiksi.
Siten Pascalin kolmio ja Newtonin binomi liittyvät läheisesti toisiinsa.
Math Wonders
Pascalin kolmion tarkka tarkastelu paljastaa, että:
- kaikkien numeroiden summa rivillä kanssasarjanumero n (0:sta laskettuna) on 2;
- jos viivat tasataan vasemmalle, Pascalin kolmion lävistäjillä alha alta ylös ja vasemm alta oikealle olevien numeroiden summat ovat yhtä suuria kuin Fibonacci-luvut;
- ensimmäinen "diagonaali" koostuu luonnollisista luvuista järjestyksessä;
- mikä tahansa elementti Pascalin kolmiosta, vähennettynä yhdellä, on yhtä suuri kuin kaikkien numeroiden summa, jotka sijaitsevat suunnikkaan sisällä, jota rajoittavat vasen ja oikea diagonaali, jotka leikkaavat tämän luvun;
- kaavion jokaisella rivillä parillisten paikkojen lukujen summa on yhtä suuri kuin parittomien paikkojen alkioiden summa.
Sierpinskin kolmio
Tällainen mielenkiintoinen matemaattinen kaavio, joka on varsin lupaava monimutkaisten ongelmien ratkaisemisen kann alta, saadaan värittämällä Pascal-kuvan parilliset luvut yhdellä värillä ja parittomat luvut toisella.
Sierpinskin kolmio voidaan rakentaa toisella tavalla:
- varjostetussa Pascal-mallissa keskimmäinen kolmio on maalattu uudelleen eri värillä, joka muodostetaan yhdistämällä alkuperäisen sivujen keskipisteet;
- tee täsmälleen sama kolmella maalaamattomalla, jotka sijaitsevat kulmissa;
- jos toimenpidettä jatketaan loputtomiin, tuloksena tulee olla kaksivärinen kuvio.
Sierpinskin kolmion mielenkiintoisin ominaisuus on sen samank altaisuus, koska se koostuu kolmesta sen kopiosta, jotka pienenevät 2 kertaa. Sen avulla voimme liittää tämän kaavion fraktaalikäyriin, ja ne, kuten viimeisimmät osoittavattutkimus soveltuu parhaiten pilvien, kasvien, jokisuiston ja itse maailmankaikkeuden matemaattiseen mallintamiseen.
Useita mielenkiintoisia tehtäviä
Missä Pascalin kolmiota käytetään? Esimerkit tehtävistä, jotka voidaan ratkaista sen avulla, ovat melko monipuolisia ja kuuluvat eri tieteenaloihin. Katsotaanpa joitain mielenkiintoisempia.
Ongelma 1. Jossakin suuressa kaupungissa, jota ympäröi linnoituksen muuri, on vain yksi sisäänkäynti. Ensimmäisessä risteyksessä päätie jakautuu kahtia. Sama tapahtuu missä tahansa muussa. 210 ihmistä saapuu kaupunkiin. Jokaisessa risteyksessä, jonka he kohtaavat, ne jaetaan puoliksi. Kuinka monta ihmistä jokaisesta risteyksestä löytyy, kun jakaminen ei ole enää mahdollista. Hänen vastauksensa on Pascalin kolmion rivi 10 (kerroinkaava on esitetty yllä), jossa luvut 210 sijaitsevat pystyakselin molemmilla puolilla.
Tehtävä 2. Värien nimiä on 7. Sinun on tehtävä 3 kukkakimppu. On selvitettävä, kuinka monella eri tavalla tämä voidaan tehdä. Tämä ongelma on peräisin kombinatoriikan al alta. Sen ratkaisemiseksi käytämme jälleen Pascalin kolmiota ja saamme 7. riville kolmannelle paikalle (numerointi molemmissa tapauksissa 0:sta) numeron 35.
Nyt tiedät, mitä suuri ranskalainen filosofi ja tiedemies Blaise Pascal keksi. Sen kuuluisasta kolmiosta oikein käytettynä voi tulla todellinen pelastus monien ongelmien ratkaisemiseen, erityisesti kentältäkombinatoriikka. Lisäksi sitä voidaan käyttää lukuisten fraktaaleihin liittyvien mysteerien ratkaisemiseen.
