Tasojen yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran määrittämiseksi sekä näiden geometristen kohteiden välisten etäisyyksien laskemiseksi on kätevää käyttää yhden tai toisen tyyppisiä numeerisia funktioita. Mihin ongelmiin on kätevää käyttää tason yhtälöä segmenteissä? Tässä artikkelissa tarkastellaan, mitä se on ja kuinka sitä käytetään käytännön tehtävissä.
Mikä on yhtälö janoissa?
Taso voidaan määritellä 3D-avaruudessa useilla tavoilla. Tässä artikkelissa joitakin niistä annetaan, kun ratkaistaan erilaisia ongelmia. Tässä annamme yksityiskohtaisen kuvauksen yhtälöstä tason segmenteissä. Sillä on yleensä seuraava muoto:
x/p + y/q + z/r=1.
Missä symbolit p, q, r tarkoittavat tiettyjä numeroita. Tämä yhtälö voidaan helposti kääntää yleislausekkeeksi ja muunlaisiksi tason numeerisiksi funktioiksi.
Yhtälön kirjoittamisen osien mukavuus piilee siinä, että se sisältää eksplisiittiset koordinaatit tason leikkauspisteestä kohtisuorien koordinaattiakseleiden kanssa. X-akselillasuhteessa origon taso katkaisee segmentin, jonka pituus on p, y-akselilta - yhtä suuri kuin q, z:ltä - pituuden r.
Jos yhtä kolmesta muuttujasta ei löydy yhtälöä, tämä tarkoittaa, että taso ei kulje vastaavan akselin läpi (matemaatikot sanovat, että se leikkaa äärettömässä).
Seuraavaksi tässä on joitakin ongelmia, joissa näytämme, kuinka tämän yhtälön kanssa työskennellään.
Yhtälöiden yleisten ja segmenttien kommunikointi
Taso on tiedossa seuraavalla yhtälöllä:
2x - 3y + z - 6=0.
Tämä tason yleinen yhtälö on kirjoitettava segmenteiksi.
Kun samanlainen ongelma ilmenee, sinun on noudatettava tätä tekniikkaa: siirrämme vapaan termin tasa-arvon oikealle puolelle. Sitten jaamme koko yhtälön tällä termillä yrittäen ilmaista sen edellisessä kappaleessa annetussa muodossa. Meillä on:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Olemme saaneet segmenteissä tason yhtälön, joka annetaan aluksi yleisessä muodossa. On huomattava, että taso katkaisee segmenttejä, joiden pituus on 3, 2 ja 6 x-, y- ja z-akseleille, vastaavasti. Y-akseli leikkaa tason negatiivisella koordinaattialueella.
Kun laaditaan yhtälöä segmenteissä, on tärkeää, että kaikkia muuttujia edeltää "+"-merkki. Vain tässä tapauksessa luku, jolla tämä muuttuja jaetaan, näyttää koordinaattileikkauksen akselilla.
Normaalivektori ja piste tasossa
On tunnettua, että jollain tasolla on suuntavektori (3; 0; -1). Tiedetään myös, että se kulkee pisteen (1; 1; 1) läpi. Kirjoita tälle tasolle yhtälö segmenteinä.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee ensin käyttää tämän kaksiulotteisen geometrisen objektin yleistä muotoa. Yleinen muoto kirjoitetaan seuraavasti:
Ax + By + Cz + D=0.
Kolme ensimmäistä kerrointa tässä ovat ohjevektorin koordinaatit, joka on määritelty tehtävänlauseessa, eli:
A=3;
B=0;
C=-1.
Enää on löydettävä vapaa termi D. Se voidaan määrittää seuraavalla kaavalla:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Missä koordinaattiarvot indeksillä 1 vastaavat tasoon kuuluvan pisteen koordinaatteja. Korvaamme niiden arvot ongelman ehdolla, saamme:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nyt voit kirjoittaa koko yhtälön:
3x - z - 2=0.
Tekniikka tämän lausekkeen muuntamiseksi yhtälöksi tason segmenteissä on jo esitelty yllä. Käytä sitä:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Vastaus ongelmaan on saatu. Huomaa, että tämä taso leikkaa vain x- ja z-akselit. Y:lle se on yhdensuuntainen.
Kaksi suoraa, jotka määrittelevät tason
Avaruusgeometrian kurssin perusteella jokainen opiskelija tietää, että kaksi mieliv altaista suoraa määrittelevät yksilöllisesti tasonkolmiulotteinen tila. Ratkaistaan samanlainen ongelma.
Kaksi suorayhtälöä tunnetaan:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
On tarpeen kirjoittaa tason yhtälö muistiin segmenteissä, jotka kulkevat näiden linjojen läpi.
Koska molempien viivojen on sijaittava tasossa, tämä tarkoittaa, että niiden vektoreiden (ohjaimien) on oltava kohtisuorassa tason vektoriin (ohjaimeen) nähden. Samalla tiedetään, että mieliv altaisen kahden suunnatun segmentin vektoritulo antaa tuloksen kolmannen koordinaattien muodossa, kohtisuorassa kahteen alkuperäiseen segmenttiin. Tämän ominaisuuden perusteella saamme halutun tason normaalin vektorin koordinaatit:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Koska se voidaan kertoa mieliv altaisella luvulla, tämä muodostaa uuden suunnatun segmentin, joka on yhdensuuntainen alkuperäisen kanssa, voimme korvata saatujen koordinaattien etumerkin vastakkaisella (kerroilla -1), saamme:
(1; 2; 1).
Tiedämme suuntavektorin. On vielä otettava mieliv altainen piste yhdestä suorasta ja laadittava tason yleinen yhtälö:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Kääntämällä tämä yhtäläisyys lausekkeeksi segmenteissä, saamme:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Taso siis leikkaa kaikki kolme akselia koordinaattijärjestelmän positiivisella alueella.
Kolme pistettä ja lentokone
Aivan kuin kaksi suoraa, kolme pistettä määrittelevät tason yksilöllisesti kolmiulotteisessa avaruudessa. Kirjoitetaan vastaava yhtälö segmenteiksi, jos tunnetaan seuraavat tasossa olevien pisteiden koordinaatit:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Tehdään seuraavaa: lasketaan kahden mieliv altaisen vektorin koordinaatit, jotka yhdistävät nämä pisteet, ja etsitään sitten vektori n¯, joka on normaali tasoon nähden laskemalla löydettyjen suunnattujen segmenttien tulo. Saamme:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Otetaan esimerkkinä piste P, laaditaan tason yhtälö:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 tai z=0.
Saimme yksinkertaisen lausekkeen, joka vastaa xy-tasoa annetussa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa. Sitä ei voi kirjoittaa janoiksi, koska x- ja y-akselit kuuluvat tasoon ja z-akselille leikatun janan pituus on nolla (piste (0; 0; 0) kuuluu tasoon).
