Jos kappaleiden lineaarista liikettä kuvataan klassisessa mekaniikassa Newtonin lakien avulla, niin mekaanisten järjestelmien liikkeen ominaisuudet ympyräratoja pitkin lasketaan käyttämällä erityistä lauseketta, jota kutsutaan momenttien yhtälöksi. Mistä hetkistä puhumme ja mikä on tämän yhtälön merkitys? Nämä ja muut kysymykset paljastuvat artikkelissa.
Voiman hetki
Kaikki ovat hyvin tietoisia Newtonin voimasta, joka kehoon vaikuttaessaan johtaa siihen kiihtyvyyteen. Kun tällainen voima kohdistetaan esineeseen, joka on kiinnitetty tietylle pyörimisakselille, tätä ominaisuutta kutsutaan yleensä voimamomentiksi. Voiman momenttiyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
M¯=L¯F¯
Tätä ilmaisua selittävä kuva näkyy alla.
Tästä näet, että voima F¯ on suunnattu vektoriin L¯ kulmassa Φ. Itse vektorin L¯ oletetaan olevan suunnattu pyörimisakselilta (merkitty nuolella) sovelluskohtaanF¯.
Yllä oleva kaava on kahden vektorin tulo, joten M¯ on myös suuntaava. Mihin voimamomentti M¯ käännetään? Tämä voidaan määrittää oikean käden säännöllä (neljä sormea suunnataan liikerataa pitkin vektorin L¯ lopusta F¯:n loppuun ja vasen peukalo osoittaa M¯:n suunnan).
Yllä olevassa kuvassa voimamomentin lauseke skalaarimuodossa on muotoa:
M=LFsin(Φ)
Jos katsot kuvaa tarkasti, näet, että Lsin(Φ)=d, niin meillä on kaava:
M=dF
D:n arvo on tärkeä ominaisuus voimamomentin laskennassa, koska se heijastaa järjestelmään kohdistetun F:n tehokkuutta. Tätä arvoa kutsutaan voiman vivuksi.
M:n fyysinen merkitys on voiman kyvyssä pyörittää järjestelmää. Jokainen voi tuntea tämän kyvyn, jos hän avaa oven kahvasta työntämällä sitä saranoiden lähelle tai jos hän yrittää ruuvata mutterin auki lyhyellä ja pitkällä avaimella.
Järjestelmän tasapaino
Voimamomentin käsite on erittäin hyödyllinen, kun tarkastellaan järjestelmän tasapainoa, johon vaikuttavat useat voimat ja jolla on akseli tai pyörimispiste. Käytä tällaisissa tapauksissa kaavaa:
∑iMi¯=0
Toisin sanoen järjestelmä on tasapainossa, jos kaikkien siihen kohdistuvien voimien momenttien summa on nolla. Huomaa, että tässä kaavassa on vektorimerkki hetken yli, eli ratkaistaessa ei pidä unohtaa ottaa huomioon tämän merkkiämääriä. Yleisesti hyväksytty sääntö on, että vaikuttava voima, joka pyörittää järjestelmää vastapäivään, luo positiivisen Mi¯.
Loistava esimerkki tämän tyyppisistä ongelmista ovat Arkhimedesin vipujen tasapainoon liittyvät ongelmat.
Voiman hetki
Tämä on toinen tärkeä ympyräliikkeen ominaisuus. Fysiikassa sitä kuvataan liikemäärän ja vivun tulona. Liikemääräyhtälö näyttää tältä:
T¯=r¯p¯
Tässä p¯ on liikemäärävektori, r¯ on vektori, joka yhdistää pyörivän materiaalipisteen akseliin.
Alla oleva kuva havainnollistaa tätä ilmaisua.
Tässä ω on kulmanopeus, joka näkyy edelleen momenttiyhtälössä. Huomaa, että vektorin T¯ suunta löydetään samalla säännöllä kuin M¯. Yllä olevassa kuvassa T¯ suunnassa osuu yhteen kulmanopeusvektorin ω¯ kanssa.
T¯:n fysikaalinen merkitys on sama kuin p¯:n ominaisuudet lineaarisen liikkeen tapauksessa, eli kulmamomentti kuvaa pyörivän liikkeen määrää (varastettua kineettistä energiaa).
Hiitaushetki
Kolmas tärkeä ominaisuus, jota ilman on mahdotonta muotoilla pyörivän kohteen liikeyhtälöä, on hitausmomentti. Se ilmenee fysiikassa materiaalin pisteen kulmamomentin kaavan matemaattisten muunnosten seurauksena. Näytän sinulle, miten se tehdään.
Kuvitellaan arvoaT¯ seuraavasti:
T¯=r¯mv¯, missä p¯=mv¯
Käyttäen kulma- ja lineaarinopeuksien välistä suhdetta voimme kirjoittaa tämän lausekkeen uudelleen seuraavasti:
T¯=r¯mr¯ω¯, missä v¯=r¯ω¯
Kirjoita viimeinen lauseke seuraavasti:
T¯=r2mω¯
Arvo r2m on hitausmomentti I massapisteelle m, joka tekee ympyräliikkeen etäisyydellä r siitä olevan akselin ympäri. Tämän erikoistapauksen avulla voimme ottaa käyttöön yleisen hitausmomentin yhtälön mieliv altaisen muotoisen kappaleen kohdalla:
I=∫m (r2dm)
I on additiivinen suure, jonka merkitys on pyörivän järjestelmän inertiassa. Mitä suurempi I, sitä vaikeampaa on kehon pyörittäminen, ja sen pysäyttäminen vaatii paljon vaivaa.
Hetkeyhtälö
Olemme tarkastelleet kolmea määrää, joiden nimi alkaa sanalla "hetki". Tämä tehtiin tarkoituksella, koska ne kaikki liittyvät yhteen lausekkeeseen, jota kutsutaan 3-momentin yhtälöksi. Otetaan se pois.
Harkitse kulmamomentin T¯:
lauseketta
T¯=Iω¯
Etsi kuinka T¯:n arvo muuttuu ajassa, meillä on:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Kun kulmanopeuden derivaatta on yhtä suuri kuin lineaarinopeuden derivaatta jaettuna r:llä, ja laajentamalla I:n arvoa, saadaan lauseke:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, missä a¯=dv¯/dt on lineaarinen kiihtyvyys.
Huomaa, että massan ja kiihtyvyyden tulo on vain vaikuttava ulkoinen voima F¯. Tuloksena saamme:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Teimme mielenkiintoisen johtopäätöksen: liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin vaikuttavan ulkoisen voiman momentti. Tämä lauseke kirjoitetaan yleensä hieman eri muodossa:
M¯=Iα¯, missä α¯=dω¯/dt - kulmakiihtyvyys.
Tätä yhtälöä kutsutaan hetkien yhtälöksi. Sen avulla voit laskea minkä tahansa pyörivän kappaleen ominaisuuden, kun tiedät järjestelmän parametrit ja siihen kohdistuvan ulkoisen vaikutuksen suuruuden.
Suojelulaki T¯
Edellisen kappaleen johtopäätös osoittaa, että jos voimien ulkoinen momentti on nolla, kulmaliikemäärä ei muutu. Tässä tapauksessa kirjoitamme lausekkeen:
T¯=vakio. tai I1ω1¯=I2ω2 ¯
Tätä kaavaa kutsutaan T¯:n säilymislaiksi. Eli järjestelmän sisäiset muutokset eivät muuta kokonaiskulmaliikemäärää.
Tätä tosiasiaa käyttävät taitoluistelijat ja balerinat esiintyessään. Sitä käytetään myös, jos on tarpeen pyörittää avaruudessa liikkuvaa keinotekoista satelliittia akselinsa ympäri.
