Kaasun aggregoidun aineen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin fysiikan tärkeimmistä aloista. Kun tarkastellaan kaasuja mikroskooppisessa mittakaavassa, voidaan saada kaikki järjestelmän makroskooppiset parametrit. Tämä artikkeli paljastaa tärkeän kysymyksen kaasujen molekyylikineettisessä teoriassa: mikä on molekyylien Maxwell-jakauma nopeuksilla.
Historiallista taustaa
Ajatus kaasusta mikroskooppisten liikkuvien hiukkasten järjestelmänä syntyi muinaisessa Kreikassa. Kesti yli 1700 vuotta ennen kuin tiede kehitti sen.
Kaasun nykyaikaisen molekyylikineettisen teorian (MKT) perustaja on oikeudenmukaista pitää Daniil Bernoullia. Vuonna 1738 hän julkaisi teoksen nimeltä "Hydrodynamiikka". Siinä Bernoulli hahmotteli MKT:n ideoita, joita on käytetty tähän päivään. Joten tiedemies uskoi, että kaasut koostuvat hiukkasista, jotka liikkuvat satunnaisesti kaikkiin suuntiin. Lukuisia törmäyksiähiukkaset, joissa on astian seinämät, nähdään paineen läsnäolona kaasuissa. Hiukkasten nopeudet liittyvät läheisesti järjestelmän lämpötilaan. Tiedeyhteisö ei hyväksynyt Bernoullin rohkeita ideoita, koska energian säilymisen lakia ei ollut vielä vahvistettu.
Myöhemmin monet tutkijat ryhtyivät rakentamaan kaasujen kineettistä mallia. Heistä mainittakoon Rudolf Clausius, joka loi vuonna 1857 yksinkertaisen kaasumallin. Siinä tiedemies kiinnitti erityistä huomiota translaation, rotaation ja värähtelyn vapausasteiden esiintymiseen molekyyleissä.
Vuonna 1859 Clausiuksen työtä tutkiessaan James Maxwell muotoili niin kutsutun Maxwell-jakauman molekyylinopeuksille. Itse asiassa Maxwell vahvisti MKT:n ideat tukemalla niitä matemaattisella laitteistolla. Myöhemmin Ludwig Boltzmann (1871) yleisti Maxwell-jakauman päätelmät. Hän oletti molekyylien yleisemmän tilastollisen jakauman nopeuksille ja energioille. Se tunnetaan tällä hetkellä Maxwell-Boltzmann-jakaumana.
Ihanteellinen kaasu. ILC:n peruspostulaatit
Ymmärtääksesi mitä Maxwell-jakaumafunktio on, sinun on ymmärrettävä selkeästi järjestelmät, joihin tätä toimintoa voidaan soveltaa. Puhumme ihanteellisesta kaasusta. Fysiikassa tämä käsite ymmärretään nestemäisenä aineena, joka koostuu käytännössä dimensiottomista hiukkasista, joilla ei ole potentiaalienergiaa. Nämä hiukkaset liikkuvat suurilla nopeuksilla, joten niiden käyttäytyminen on täysin kineettisen energian määräämä. Lisäksi hiukkasten väliset etäisyydet ovat liian suuretkokoihinsa verrattuna, joten jälkimmäiset jätetään huomiotta.
Ihanteelliset kaasut on kuvattu MKT:ssa. Sen pääpostulaatit ovat seuraavat:
- kaasujärjestelmät koostuvat v altavasta määrästä vapaita hiukkasia;
- hiukkaset liikkuvat satunnaisesti eri nopeuksilla eri suuntiin suoria lentoratoja pitkin;
- hiukkaset törmäävät elastisesti suonen seinämiin (todennäköisyys, että hiukkaset törmäävät toisiinsa, on pieni niiden pienen koon vuoksi);
- Järjestelmän lämpötila määräytyy yksiselitteisesti hiukkasten keskimääräisen kineettisen energian mukaan, joka säilyy ajassa, jos järjestelmään saadaan termodynaaminen tasapaino.
Maxwellin jakelulaki
Jos ihmisellä olisi instrumentti, jolla olisi mahdollista mitata yhden kaasumolekyylin nopeus, hän olisi yllättynyt asianmukaisen kokeen jälkeen. Kokeilu osoittaisi, että minkä tahansa kaasumaisen järjestelmän jokainen molekyyli liikkuu täysin mieliv altaisella nopeudella. Tässä tapauksessa yhden järjestelmän puitteissa, joka on lämpötasapainossa ympäristön kanssa, havaittaisiin sekä erittäin hitaita että erittäin nopeita molekyylejä.
Maxwellin kaasumolekyylien nopeusjakauman laki on työkalu, jonka avulla voit määrittää todennäköisyyden havaita hiukkasia, joilla on tietty nopeus v tutkittavassa järjestelmässä. Vastaava funktio näyttää tältä:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Tässä lausekkeessa m -hiukkasen (molekyylin) massa, k - Boltzmannin vakio, T - absoluuttinen lämpötila. Jos siis hiukkasten kemiallinen luonne (m:n arvo) tunnetaan, niin absoluuttinen lämpötila määrittää yksiselitteisesti funktion f(v). Funktiota f(v) kutsutaan todennäköisyystiheydeksi. Jos otamme siitä integraalin jollekin nopeusrajoitukselle (v; v+dv), niin saadaan määrä hiukkasia Ni, joilla on nopeudet määritetyllä aikavälillä. Vastaavasti, jos otamme nopeusrajojen todennäköisyystiheyden f(v) integraalin väliltä 0 arvoon ∞, niin saadaan systeemin molekyylien kokonaismäärä N.
Graafinen esitys todennäköisyystiheydestä f(v)
Todennäköisyystiheysfunktiolla on melko monimutkainen matemaattinen muoto, joten sen käyttäytymistä tietyssä lämpötilassa ei ole helppo esittää. Tämä ongelma voidaan ratkaista, jos kuvaat sen kaksiulotteisella kaaviolla. Kaavamainen näkymä Maxwell-jakaumakaaviosta on esitetty alla olevassa kuvassa.
Näemme, että se alkaa nollasta, koska molekyylien nopeudella v ei voi olla negatiivisia arvoja. Kaavio päättyy jonnekin suurten nopeuksien alueelle ja putoaa tasaisesti nollaan (f(∞)->0). Myös seuraava ominaisuus on silmiinpistävä: tasainen käyrä on epäsymmetrinen, se laskee jyrkämmin pienillä nopeuksilla.
Tärkeä piirre todennäköisyystiheysfunktion f(v) käyttäytymisessä on yhden voimakkaan maksimin läsnäolo siinä. Fysikaalisen funktion merkityksen mukaan tämä maksimi vastaa kaasussa olevien molekyylien nopeuksien todennäköisintä arvoajärjestelmä.
Tärkeitä nopeuksia funktiolle f(v)
Todennäköisyystiheysfunktio f(v) ja sen graafinen esitys antavat meille mahdollisuuden määritellä kolme tärkeää nopeustyyppiä.
Ensimmäinen ilmeinen nopeus, joka mainittiin yllä, on todennäköisin nopeus v1. Kuvaajalla sen arvo vastaa funktion f(v) maksimiarvoa. Juuri tämä nopeus ja sitä lähellä olevat arvot sisältävät suurimman osan järjestelmän hiukkasista. Sen laskeminen ei ole vaikeaa, tätä varten riittää, kun otetaan ensimmäinen derivaatta funktion f(v) nopeuden suhteen ja rinnastetaan se nollaan. Näiden matemaattisten operaatioiden tuloksena saamme lopputuloksen:
v1=√(2RT/M).
Tässä R on yleinen kaasuvakio, M on molekyylien moolimassa.
Toinen nopeustyyppi on sen keskiarvo kaikille N hiukkasille. Merkitään se v2. Se voidaan laskea integroimalla funktio vf(v) kaikilla nopeuksilla. Huomatun integroinnin tulos on seuraava kaava:
v2=√(8RT/(piM)).
Koska suhde on 8/pi>2, keskinopeus on aina hieman suurempi kuin todennäköisin.
Jokainen, joka tietää vähän fysiikasta, ymmärtää, että molekyylien keskinopeudella v2 on oltava suuri merkitys kaasujärjestelmässä. Tämä on kuitenkin virheellinen oletus. Paljon tärkeämpää on RMS-nopeus. Merkitään sev3.
Määritelmän mukaan keskimääräinen neliönopeus on kaikkien hiukkasten yksittäisten nopeuksien neliöiden summa jaettuna näiden hiukkasten lukumäärällä ja otettuna neliöjuuren alle. Se voidaan laskea Maxwell-jakaumalle, jos määrittelemme funktion v2f(v) kaikkien nopeuksien integraalin. Keskimääräisen neliönopeuden kaava on muotoa:
v3=√(3RT/M).
Tasaisuus osoittaa, että tämä nopeus on suurempi kuin v2 ja v1 missä tahansa kaasujärjestelmässä.
Siksi kaikki Maxwell-jakaumakaavion nopeudet ovat joko ääripäässä tai sen oikealla puolella.
V3:n tärkeys
Yllä mainittiin, että keskineliönopeus on tärkeämpi kaasujärjestelmän fysikaalisten prosessien ja ominaisuuksien ymmärtämiseksi kuin yksinkertainen keskinopeus v2. Tämä on totta, koska ihanteellisen kaasun kineettinen energia riippuu juuri v3, ei v2.
Jos tarkastelemme monoatomista ideaalikaasua, sille pätee seuraava lauseke:
mv32/2=3/2kT.
Tässä yhtälön kukin osa edustaa yhden m-massaisen hiukkasen kineettistä energiaa. Miksi lauseke sisältää täsmälleen arvon v3, eikä keskinopeutta v2? Hyvin yksinkertaista: määritettäessä kunkin hiukkasen liike-energiaa, sen yksilöllinen nopeus v neliötetään, sitten kaikki nopeudetlisätään ja jaetaan hiukkasten lukumäärällä N. Eli jo kineettisen energian määrittäminen johtaa keskineliönopeuden arvoon.
Funktion f(v) riippuvuus lämpötilasta
Olemme todenneet edellä, että molekyylinopeuksien todennäköisyystiheys riippuu yksiselitteisesti lämpötilasta. Miten funktio muuttuu, jos T:tä suurennetaan tai vähennetään? Alla oleva kaavio auttaa vastaamaan tähän kysymykseen.
Voidaan nähdä, että suljetun järjestelmän lämpeneminen johtaa huipun tahriintumiseen ja sen siirtymiseen suurempiin nopeuksiin. Lämpötilan nousu johtaa kaikentyyppisten nopeuksien lisääntymiseen ja kunkin niistä todennäköisyystiheyden pienenemiseen. Huippuarvo pienenee johtuen hiukkasten N säilymisestä suljetussa järjestelmässä.
Seuraavaksi ratkaisemme pari ongelmaa saadun teoreettisen materiaalin yhdistämiseksi.
Ongelma ilmassa olevien typpimolekyylien kanssa
On tarpeen laskea nopeudet v1, v2 ja v3 ilman typelle 300 K:n lämpötilassa (noin 27 oC).
Typin moolimassa N2 on 28 g/mol. Yllä olevia kaavoja käyttämällä saamme:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Happisäiliön ongelma
Sylinterin happi oli tietyssä lämpötilassa T1. Sitten ilmapallo laitettiin kylmempään huoneeseen. Kuinka happimolekyylien Maxwellin nopeusjakaumakäyrä muuttuu, kun järjestelmä saavuttaa termodynaamisen tasapainon?
Teoriaa muistaen voimme vastata ongelman kysymykseen näin: kaikentyyppisten molekyylien nopeuksien arvot pienenevät, funktion f(v) huippu siirtyy vasemmalle, tulla kapeammaksi ja korkeammaksi.
