Kaasujen käyttäytymistä fysiikassa tutkittaessa syntyy usein ongelmia niihin varastoineen energian määrittämisessä, jota voidaan teoriassa käyttää hyödyllisen työn suorittamiseen. Tässä artikkelissa pohditaan kysymystä siitä, mitä kaavoja voidaan käyttää ihanteellisen kaasun sisäisen energian laskemiseen.
Ideaalikaasun käsite
Ideaalikaasun käsitteen selkeä ymmärtäminen on tärkeää, kun ratkaistaan ongelmia tässä aggregoitumistilassa olevien järjestelmien kanssa. Mikä tahansa kaasu saa sen astian muodon ja tilavuuden, johon se on sijoitettu, mutta kaikki kaasut eivät ole ihanteellisia. Esimerkiksi ilmaa voidaan pitää ihanteellisten kaasujen seoksena, kun taas vesihöyryä ei. Mikä on perustavanlaatuinen ero todellisten kaasujen ja niiden ideaalimallin välillä?
Vastaus kysymykseen on seuraavat kaksi ominaisuutta:
- kaasun muodostavien molekyylien ja atomien kineettisen ja potentiaalisen energian välinen suhde;
- hiukkasten lineaaristen kokojen välinen suhdekaasu ja niiden välinen keskimääräinen etäisyys.
Kaasua pidetään ihanteellisena vain, jos sen hiukkasten keskimääräinen kineettinen energia on suhteettoman suuri kuin niiden välinen sitoutumisenergia. Näiden energioiden välinen ero on sellainen, että voimme olettaa, että hiukkasten välinen vuorovaikutus puuttuu kokonaan. Ihanteelliselle kaasulle on myös ominaista sen hiukkasten mittojen puuttuminen, tai pikemminkin nämä mitat voidaan jättää huomiotta, koska ne ovat paljon pienempiä kuin keskimääräiset hiukkasten väliset etäisyydet.
Hyviä empiirisiä kriteerejä kaasujärjestelmän ideaalisuuden määrittämiseksi ovat sen termodynaamiset ominaisuudet, kuten lämpötila ja paine. Jos ensimmäinen on suurempi kuin 300 K ja toinen alle 1 ilmakehä, mitä tahansa kaasua voidaan pitää ihanteellisena.
Mikä on kaasun sisäinen energia?
Ennen kuin kirjoitat ylös ihanteellisen kaasun sisäisen energian kaavan, sinun on opittava tuntemaan tämä ominaisuus tarkemmin.
Termodynamiikassa sisäinen energia merkitään yleensä latinalaisella kirjaimella U. Yleensä se määritetään seuraavalla kaavalla:
U=H - PV
Missä H on järjestelmän entalpia, P ja V ovat painetta ja tilavuutta.
Fyysisessä merkityksessään sisäinen energia koostuu kahdesta komponentista: kineettisestä ja potentiaalisesta. Ensimmäinen liittyy järjestelmän hiukkasten erilaisiin liikkeisiin, ja toinen - niiden väliseen voimavuorovaikutukseen. Jos tätä määritelmää sovelletaan ideaalisen kaasun käsitteeseen, jolla ei ole potentiaalienergiaa, U:n arvo missä tahansa järjestelmän tilassa on täsmälleen yhtä suuri kuin sen liike-energia, eli:
U=Ek.
Sisäisen energiakaavan johdannainen
Yllä havaitsimme, että sen määrittämiseksi järjestelmälle, jossa on ihanteellinen kaasu, on tarpeen laskea sen kineettinen energia. Yleisen fysiikan kurssista tiedetään, että m-massaisen hiukkasen energia, joka liikkuu eteenpäin tiettyyn suuntaan nopeudella v, määräytyy kaavalla:
Ek1=mv2/2.
Voidaan soveltaa myös kaasuhiukkasiin (atomeihin ja molekyyleihin), mutta joitain huomautuksia on kuitenkin tehtävä.
Ensinnäkin nopeus v tulee ymmärtää jonkinlaisena keskiarvona. Tosiasia on, että kaasuhiukkaset liikkuvat eri nopeuksilla Maxwell-Boltzmann-jakauman mukaan. Jälkimmäinen mahdollistaa keskinopeuden määrittämisen, joka ei muutu ajan myötä, jos järjestelmään ei kohdistu ulkoisia vaikutuksia.
Toiseksi kaava Ek1 olettaa energiaa vapausastetta kohden. Kaasupartikkelit voivat liikkua kaikkiin kolmeen suuntaan ja myös pyöriä rakenteestaan riippuen. Vapausasteen z huomioon ottamiseksi se tulee kertoa Ek1, eli:
Ek1z=z/2mv2.
Koko järjestelmän kineettinen energia Ek on N kertaa suurempi kuin Ek1z, missä N on kaasuhiukkasten kokonaismäärä. Sitten sinulle saamme:
U=z/2Nmv2.
Tämän kaavan mukaan kaasun sisäisen energian muutos on mahdollista vain, jos hiukkasten lukumäärää N muutetaanjärjestelmä tai niiden keskinopeus v.
Sisäinen energia ja lämpötila
Soveltamalla ihanteellisen kaasun molekyylikineettisen teorian ehtoja, voimme saada seuraavan kaavan yhden hiukkasen keskimääräisen kineettisen energian ja absoluuttisen lämpötilan väliselle suhteelle:
mv2/2=1/2kBT.
Tässä kB on Boltzmannin vakio. Kun tämä yhtälö korvataan yllä olevassa kappaleessa saatuun U:n kaavaan, saadaan seuraava lauseke:
U=z/2NkBT.
Tämä lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen aineen n määrän ja kaasuvakion R suhteen seuraavassa muodossa:
U=z/2nR T.
Tämän kaavan mukaan kaasun sisäisen energian muutos on mahdollista, jos sen lämpötilaa muutetaan. Arvot U ja T riippuvat toisistaan lineaarisesti, eli funktion U(T) kuvaaja on suora.
Miten kaasuhiukkasen rakenne vaikuttaa järjestelmän sisäiseen energiaan?
Kaasupartikkelin (molekyylin) rakenne viittaa sen muodostavien atomien lukumäärään. Sillä on ratkaiseva rooli korvattaessa vastaava vapausaste z kaavassa U. Jos kaasu on yksiatominen, kaasun sisäisen energian kaava on:
U=3/2nRT.
Mistä arvo z=3 on peräisin? Sen ulkonäkö liittyy vain kolmeen atomin vapausasteeseen, koska se voi liikkua vain yhdessä kolmesta tilasuunnasta.
Jos diatomikaasumolekyyli, niin sisäinen energia tulee laskea seuraavalla kaavalla:
U=5/2nRT.
Kuten näet, kaksiatomisella molekyylillä on jo 5 vapausastetta, joista 3 on translaatiota ja 2 rotaatiota (molekyylin geometrian mukaisesti se voi pyöriä kahden keskenään kohtisuoran akselin ympäri).
Lopuksi, jos kaasussa on vähintään kolme atomia, seuraava U:n lauseke on tosi:
U=3nRT.
Monimutkaisilla molekyyleillä on 3 translaatio- ja 3 rotaatiovapausastetta.
Esimerkkiongelma
Männän alla on yksiatominen kaasu, jonka paine on 1 ilmakehä. Kuumentamisen seurauksena kaasu laajeni niin, että sen tilavuus kasvoi 2 litrasta 3:een. Kuinka kaasujärjestelmän sisäinen energia muuttui, jos paisuntaprosessi oli isobarinen.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi artikkelissa annetut kaavat eivät riitä. On tarpeen muistaa ihanteellisen kaasun tilayhtälö. Se näyttää tältä alla.
Koska mäntä sulkee sylinterin kaasulla, aineen n määrä pysyy vakiona paisuntaprosessin aikana. Isobarisen prosessin aikana lämpötila muuttuu suoraan suhteessa järjestelmän tilavuuteen (Charlesin laki). Tämä tarkoittaa, että yllä oleva kaava olisi:
PΔV=nRΔT.
Sitten monoatomisen kaasun sisäisen energian lauseke saa muotoa:
ΔU=3/2PΔV.
Korvaamalla tähän yhtälöön paineen ja tilavuuden muutoksen arvot SI-yksiköissä, saadaan vastaus: ΔU ≈ 152 J.
