Etäisyyden tiedossa pisteestä tasoon tai suoraan voit laskea avaruudessa olevien kuvien tilavuuden ja pinta-alan. Tämän geometrian etäisyyden laskeminen suoritetaan käyttämällä vastaavia yhtälöitä määritetyille geometrisille kohteille. Artikkelissa näytämme, millä kaavoilla se voidaan määrittää.
Suora- ja tasoyhtälöt
Ennen kuin annat kaavoja pisteen etäisyyden määrittämiseksi tasoon ja suoraan, näytämme mitkä yhtälöt kuvaavat näitä kohteita.
Pisteen määrittämiseen käytetään koordinaattien joukkoa tietyssä koordinaattiakselijärjestelmässä. Tässä tarkastellaan vain suorakulmaista suorakulmaista järjestelmää, jossa akseleilla on samat yksikkövektorit ja ne ovat keskenään kohtisuorassa. Tasossa mieliv altaista pistettä kuvataan kahdella koordinaatilla, avaruudessa - kolmella.
Erilaisia yhtälöitä käytetään määrittämään suora. Esittelemme artikkelin aiheen mukaisestivain kaksi niistä, joita käytetään kaksiulotteisessa avaruudessa viivojen määrittämiseen.
Vektoriyhtälö. Siinä on seuraava merkintä:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Ensimmäinen termi tässä edustaa tunnetun pisteen koordinaatteja, jotka sijaitsevat viivalla. Toinen termi on suuntavektorin koordinaatit kerrottuna mieliv altaisella luvulla λ.
Yleinen yhtälö. Sen merkintä on seuraava:
Ax + By + C=0;
jossa A, B, C ovat kertoimia.
Yleistä yhtälöä käytetään useammin määrittämään tason viivoja, mutta pisteen ja tason suoran etäisyyden löytämiseksi on kätevämpää työskennellä vektorilausekkeen kanssa.
Taso kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan kirjoittaa myös useilla matemaattisilla tavoilla. Useimmiten ongelmissa on kuitenkin yleinen yhtälö, joka kirjoitetaan seuraavasti:
Ax + By + Cz + D=0.
Tämän merkinnän etuna muihin verrattuna on, että se sisältää eksplisiittisesti tasoon nähden kohtisuorassa olevan vektorin koordinaatit. Tätä vektoria kutsutaan sen ohjeeksi, se on yhtäpitävä normaalin suunnan kanssa ja sen koordinaatit ovat yhtä kuin (A; B; C).
Huomaa, että yllä oleva lauseke on sama kuin kaksiulotteisessa avaruudessa olevan suoran yleisen yhtälön kirjoittaminen, joten tehtäviä ratkaiseessasi sinun tulee olla varovainen, ettet sekoita näitä geometrisia objekteja.
Pisteen ja suoran välinen etäisyys
Näytetään, kuinka lasketaan etäisyys suoran japiste kaksiulotteisessa avaruudessa.
Olkoon jokin piste Q(x1; y1) ja rivi, jonka antaa:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Etäisyys suoran ja pisteen välillä ymmärretään janan pituudeksi, joka on kohtisuorassa tätä suoraa vastaan, laskettuna sille pisteestä Q.
Ennen kuin lasket tämän etäisyyden, sinun tulee korvata Q-koordinaatit tähän yhtälöön. Jos he täyttävät sen, niin Q kuuluu annettuun riviin ja vastaava etäisyys on nolla. Jos pisteen koordinaatit eivät johda tasa-arvoon, geometristen kohteiden välinen etäisyys on nollasta poikkeava. Se voidaan laskea kaavalla:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Tässä P on suoran mieliv altainen piste, joka on vektorin PQ¯ alku. Vektori u¯ on suoran ohjesegmentti, eli sen koordinaatit ovat (a; b).
Tämän kaavan käyttäminen edellyttää kykyä laskea ristitulo osoittajassa.
Pisteen ja suoran ongelma
Oletetaan, että sinun on löydettävä etäisyys Q(-3; 1):n ja yhtälön täyttävän suoran välillä:
y=5x -2.
Korvaamalla Q:n koordinaatit lausekkeeseen, voimme varmistaa, että Q ei ole suoralla. Voit käyttää yllä olevassa kappaleessa annettua kaavaa d:lle, jos edustat tätä yhtälöä vektorimuodossa. Tehdään se näin:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Otetaan nyt mikä tahansa piste tällä viivalla, esimerkiksi (0; -2) ja rakennetaan vektori, joka alkaa siitä ja päättyy Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Käytä nyt kaavaa etäisyyden määrittämiseen, saamme:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Etäisyys pisteestä tasoon
Kuten suorassakin, tason ja avaruuden pisteen välinen etäisyys ymmärretään janan pituudeksi, joka tietystä pisteestä lasketaan kohtisuoraan tasoon nähden ja leikkaa sen.
Avaruudessa piste annetaan kolmella koordinaatilla. Jos ne ovat yhtä suuria kuin (x1; y1; z1), etäisyys taso ja tämä piste voidaan laskea kaavalla:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Huomaa, että kaavan avulla voit löytää vain etäisyyden tasosta viivaan. Sen pisteen koordinaatit löytämiseksi, jossa kohtisuora jana leikkaa tason, on kirjoitettava yhtälö sille suoralle, johon tämä jana kuuluu, ja sitten löydettävä yhteinen piste tälle suoralle ja tietylle tasolle.
Ongelma koneen ja pisteen kanssa
Etsi pisteen etäisyys tasoon, jos tiedetään, että pisteellä on koordinaatit (3; -1; 2) ja taso saadaan kaavalla:
-y + 3z=0.
Käyttääksesi vastaavaa kaavaa, kirjoitamme ensin kertoimet forannettu lentokone. Koska muuttuja x ja vapaa termi puuttuvat, kertoimet A ja D ovat yhtä suuret kuin nolla. Meillä on:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
On helppo osoittaa, että tämä taso kulkee origon kautta ja x-akseli kuuluu siihen.
Korvaa pisteen koordinaatit ja tason kertoimet etäisyyden d kaavaan, saamme:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Huomaa, että jos muutat pisteen x-koordinaattia, etäisyys d ei muutu. Tämä tosiasia tarkoittaa, että pisteiden joukko (x; -1; 2) muodostaa suoran, joka on yhdensuuntainen annetun tason kanssa.
