Kolmiopyramidi ja kaavat sen pinta-alan määrittämiseksi

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Pyramid on geometrinen tilahahmo, jonka ominaisuuksia tutkitaan lukiossa kiinteän geometrian kurssilla. Tässä artikkelissa tarkastellaan kolmiopyramidia, sen tyyppejä sekä kaavoja sen pinta-alan laskemiseksi.

Mistä pyramidista puhumme?

Kolmiopyramidi on kuvio, joka voidaan saada yhdistämällä mieliv altaisen kolmion kaikki kärjet yhteen pisteeseen, joka ei ole tämän kolmion tasossa. Tämän määritelmän mukaan tarkasteltavana olevan pyramidin tulisi koostua alkukolmiosta, jota kutsutaan kuvion kantapääksi, ja kolmesta sivukolmiosta, joilla on yksi yhteinen sivu pohjan kanssa ja jotka ovat yhteydessä toisiinsa pisteessä. Jälkimmäistä kutsutaan pyramidin huipuksi.

Yllä olevassa kuvassa on mieliv altainen kolmiopyramidi.

Tarkasteltava kuvio voi olla vino tai suora. Jälkimmäisessä tapauksessa pyramidin huipulta sen pohjaan pudotetun kohtisuoran on leikattava se geometrisessa keskustassa. minkä tahansa geometrinen keskustakolmio on sen mediaanien leikkauspiste. Geometrinen keskus on sama kuin fysiikan hahmon massakeskipiste.

Jos säännöllinen (tasasivuinen) kolmio on suoran pyramidin pohjalla, sitä kutsutaan säännölliseksi kolmiomaiseksi. Säännöllisessä pyramidissa kaikki sivut ovat yhtä suuret ja ovat tasasivuisia kolmioita.

Jos säännöllisen pyramidin korkeus on sellainen, että sen sivukolmiot ovat tasasivuisia, sitä kutsutaan tetraedriksi. Tetraedrissä kaikki neljä pintaa ovat keskenään yhtä suuret, joten jokaista niistä voidaan pitää kantana.

Pyramidielementit

Nämä elementit sisältävät hahmon pinnat tai sivut, sen reunat, kärjet, korkeuden ja apoteemit.

Kuten näkyy, kolmiopyramidin kaikki sivut ovat kolmioita. Niiden numero on 4 (kolme sivua ja yksi pohjassa).

Pörssit ovat kolmen kolmion sivun leikkauspisteitä. Ei ole vaikea arvata, että tarkasteltavana olevassa pyramidissa niitä on 4 (3 kuuluu pyramidin pohjaan ja 1 huipulle).

Reunat voidaan määritellä viivoiksi, jotka leikkaavat kaksi kolmion sivua, tai viivoiksi, jotka yhdistävät jokaisen kaksi kärkeä. Reunojen lukumäärä vastaa kaksinkertaista kantapisteiden lukumäärää, eli kolmiopyramidissa se on 6 (3 reunaa kuuluu kantaan ja 3 reunaa muodostavat sivupinnat).

Korkeus, kuten yllä mainittiin, on pyramidin huipulta sen pohjaan vedetyn kohtisuoran pituus. Jos vedämme korkeuksia tästä kärjestä kolmion pohjan molemmille puolille,silloin niitä kutsutaan apotemeiksi (tai apotemeiksi). Siten kolmion muotoisella pyramidilla on yksi korkeus ja kolme apoteemia. Jälkimmäiset ovat samat keskenään säännöllisessä pyramidissa.

Pyramidin pohja ja sen alue

Koska tarkasteltavan kuvion kanta on yleensä kolmio, sen pinta-alan laskemiseksi riittää, että lasketaan sen korkeus h_o ja kannan sivun pituus a, johon se on laskettu alas. Kantaosan alueen S_o kaava on:

S_o=1/2h_oa

Jos kannan kolmio on tasasivuinen, kolmiopyramidin pohjan pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

S_o=√3/4a²

Toisin sanoen alue S_o määräytyy yksiselitteisesti kolmion pohjan sivun a pituuden mukaan.

Kuvan sivu- ja kokonaispinta-ala

Ennen kuin harkitsee kolmiopyramidin pinta-alaa, on hyödyllistä näyttää sen kehitys. Hän on kuvassa alla.

Tämän neljän kolmion muodostaman pyyhkäisyn pinta-ala on pyramidin kokonaispinta-ala. Yksi kolmioista vastaa kantaa, jonka kaava tarkasteltavalle arvolle kirjoitettiin yllä. Kolme sivuttaista kolmiopintaa yhdessä muodostavat kuvion sivualueen. Siksi tämän arvon määrittämiseksi riittää, että sovelletaan yllä olevaa mieliv altaisen kolmion kaavaa kuhunkin niistä ja lisää sitten kolme tulosta.

Jos pyramidi on oikea, niin laskelmasivuttainen pinta-ala helpottuu, koska kaikki sivupinnat ovat identtisiä tasasivuisia kolmioita. Merkitse h_bapoteemin pituus, jolloin sivupinnan pinta-ala S_b voidaan määrittää seuraavasti:

S_b=3/2ah_b

Tämä kaava seuraa kolmion pinta-alan yleislauseketta. Numero 3 ilmestyi osoittajiin, koska pyramidissa on kolme sivupintaa.

Apoteema h_b säännöllisessä pyramidissa voidaan laskea, jos kuvan h korkeus tunnetaan. Pythagoraan lausetta soveltamalla saadaan:

h_b=√(h²+ a²/12)

Ilmeisesti kuvion pinnan kokonaispinta-ala S on yhtä suuri kuin sen sivu- ja kantapinta-alojen summa:

S=S_o+ S_b

Tavalliselle pyramidille, joka korvaa kaikki tunnetut arvot, saamme kaavan:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Kolmiopyramidin pinta-ala riippuu vain sen pohjan sivun pituudesta ja korkeudesta.

Esimerkkiongelma

Tiedetään, että kolmion muotoisen pyramidin sivureuna on 7 cm ja pohjan sivu 5 cm. Sinun on löydettävä hahmon pinta-ala, jos tiedät, että pyramidi on säännöllinen.

Käytä yleistä tasa-arvoa:

S=S_o+ S_b

Ala S_oon yhtä suuri kuin:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825cm}2.

Lateraalipinnan määrittämiseksi sinun on löydettävä apoteema. Ei ole vaikeaa osoittaa, että sivureunan pituuden a_b kautta se määräytyy kaavalla:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Sitten S_b alue on:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Pyramidin kokonaispinta-ala on:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Huomaa, että emme käyttäneet pyramidin korkeuden arvoa laskelmissa ongelmaa ratkaistessasi.