Tässä artikkelissa selitetään Black-Scholes-kaava yksinkertaisesti. Black-Scholes-malli on matemaattinen malli johdannaissijoitusinstrumentteja sisältävien rahoitusmarkkinoiden dynamiikasta.
Mallin osittaisdifferentiaaliyhtälöstä (tunnetaan nimellä Black-Scholes-yhtälö) Black-Scholes-kaava voidaan johtaa. Se antaa teoreettisen eurooppalaisen optiohinnan ja osoittaa, että optiolla on ainutlaatuinen hinta riippumatta arvopaperin riskistä ja sen odotetusta tuotosta (sen sijaan, että arvopaperin odotettu tuotto korvattaisiin riskineutraalilla korolla).
Kaava johti optiokaupan nousuun ja antoi matemaattisen legitiimiyden Chicago Board Options Exchangelle ja muille optiomarkkinoille ympäri maailmaa. Optiomarkkinoiden toimijat käyttävät sitä laaj alti, vaikkakin usein säätöjen ja korjausten kanssa. Tämän artikkelin kuvissa näet esimerkkejä Black-Scholes-kaavasta.
Historia ja olemus
Perustuu tutkijoiden ja toimijoiden aiemmin kehittämään työhönmarkkinat, kuten Louis Bachelier, Sheen Kassouf ja Ed Thorpe, Fisher Black ja Myron Scholes 1960-luvun lopulla, osoittivat, että dynaaminen portfolion tarkistus eliminoi odotetun turvallisuuden tuoton.
Vuonna 1970, kun he yrittivät soveltaa kaavaa markkinoille ja kärsivät taloudellisia tappioita ammattinsa riskienhallinnan puutteesta, he päättivät keskittyä alaansa, akateemiseen maailmaan. Kolmen vuoden ponnistelun jälkeen kaava, joka nimettiin niiden julkaisemisen mukaan, julkaistiin lopulta vuonna 1973 Journal of Political Economy -lehdessä julkaistussa artikkelissa "Pricing Options and Corporate Bonds". Robert S. Merton julkaisi ensimmäisenä artikkelin, joka laajensi optiohinnoittelumallin matemaattista ymmärrystä ja loi termin "Black-Scholes -hinnoittelumalli".
Merton ja Scholes saivat työstään vuoden 1997 taloustieteen Nobelin muistopalkinnon, koska he pitivät riskeistä riippumatonta dynaamista tarkistusta läpimurrona, joka erottaa vaihtoehdon taustalla olevasta turvallisuusriskistä. Vaikka hän ei saanut palkintoa kuolemansa vuoksi vuonna 1995, ruotsalainen akateemikko mainitsi Blackin osallistujana. Alla olevassa kuvassa näet tyypillisen Black-Scholes-kaavan.
Vaihtoehdot
Tämän mallin pääideana on suojata optio ostamalla ja myymällä kohde-etuuden asianmukaisesti ja eliminoimalla sen seurauksena riskit. Tällaista suojausta kutsutaan "jatkuvasti päivitettäväksi deltasuojaukseksi". Hänon perusta monimutkaisemmille strategioille, kuten investointipankkien ja hedge-rahastojen käyttämille strategioille.
Riskienhallinta
Mallin oletuksia on lievennetty ja yleistetty moneen suuntaan, mikä on johtanut erilaisiin johdannaisten hinnoittelussa ja riskienhallinnassa tällä hetkellä käytössä oleviin malleihin. Markkinatoimijat käyttävät usein Black-Scholes-kaavan mukaista ymmärrystä mallista, toisin kuin todelliset hinnat. Nämä tiedot eivät sisällä arbitraasirajoja ja riskineutraalia hinnoittelua (jatkuvan tarkastelun vuoksi). Lisäksi Black-Scholes-yhtälö, osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka määrittää option hinnan, mahdollistaa hintojen määrittämisen numeerisesti, kun eksplisiittinen kaava ei ole mahdollista.
Volatiliteetti
Black-Scholes-kaavassa on vain yksi parametri, jota ei voida suoraan havaita markkinoilla: kohde-etuuden keskimääräinen tulevaisuuden volatiliteetti, vaikka se löytyy muiden optioiden hinnalla. Kun parametrin arvo (olipa se sitten asetettu tai kutsu) kasvaa kyseisessä parametrissa, se voidaan kääntää "volatiliteettipinnan" tuottamiseksi, jota sitten käytetään kalibroimaan muita kuvioita, kuten OTC-johdannaisia.
Nämä oletukset mielessä oletetaan, että näillä markkinoilla käydään kauppaa myös johdannaisilla. Osoitamme, että tällä arvopaperilla on tietty maksu tiettynä päivänä tulevaisuudessa, riippuen osakkeen arvosta.ennen tätä päivämäärää. Yllättäen johdannaisen hinta on nyt täysin määrätty, vaikka emme tiedä, minkä polun osakkeen hinta kulkee tulevaisuudessa.
Eurooppalaisen osto- tai myyntioption erikoistapauksessa Black and Scholes osoittivat, että oli mahdollista luoda suojattu positio, joka koostuu osakkeen pitkästä positiosta ja option lyhyestä positiosta, jonka arvo ei riipu osakkeen hinnasta. Niiden dynaaminen suojausstrategia johti osittaiseen differentiaaliyhtälöön, joka määritti option hinnan. Sen ratkaisu annetaan Black-Scholes-kaavalla.
Ehtojen erot
Excelin Black-Scholes-kaava voidaan tulkita jakamalla ensin puheluoptio kahden binaarivaihtoehdon erotukseksi. Osto-optiolla vaihdetaan käteistä omaisuuteen erääntyessään, kun taas osto-omaisuus omaisuuserän kanssa tai ilman omaisuutta tuottaa yksinkertaisesti omaisuuden (ei käteistä vaihtoa) ja käteinen puhelu yksinkertaisesti palauttaa rahat (ei omaisuuden vaihtoa). Black-Scholesin kaava optiolle on kahden ehdon erotus, ja nämä kaksi termiä ovat yhtä suuret kuin binääriosto-optioiden arvo. Näillä binäärioptioilla käydään kauppaa paljon harvemmin kuin vaniljaoptioilla, mutta niitä on helpompi analysoida.
Käytännössä jotkin herkkyysarvot lyhennetään yleensä todennäköisten parametrien muutosten asteikon mukaan. Usein raportoidaan esimerkiksi rho jaettuna 10 000:lla (muutos 1 peruspisteellä), vega 100:lla (muutos 1 tilavuuspisteellä) ja theta 365:llä.tai 252 (1 päivän nosto joko kalenteripäivien tai kaupankäyntipäivien perusteella vuodessa).
Yllä olevaa mallia voidaan laajentaa muuttuviin (mutta deterministisiin) korkoihin ja volatiliteettiin. Mallia voidaan käyttää myös eurooppalaisten osingonmaksuvälineiden optioiden arvostamisessa. Tässä tapauksessa suljetut ratkaisut ovat käytettävissä, jos osinko on tiedossa oleva osuus osakkeen hinnasta. Amerikkalaisia ja osakeoptioita, jotka maksavat tunnettua käteisosinkoa (realistisempi kuin suhteellinen osinko lyhyellä aikavälillä), on vaikeampi arvostaa, ja ratkaisumenetelmiä (esim. ristikot ja ristikot) on saatavilla.
lähestymistapa
Hyödyllinen likiarvo: vaikka volatiliteetti ei ole vakio, mallin tulokset auttavat usein asettamaan suojaukset oikeisiin suhteisiin riskin minimoimiseksi. Vaikka tulokset eivät olisikaan täysin tarkkoja, ne toimivat ensimmäisenä likiarvona, johon voidaan tehdä muutoksia.
Perus parempia malleja varten: Black-Scholes-malli on siinä mielessä kestävä, että sitä voidaan säätää selviytymään joistakin sen vioista. Sen sijaan, että käsittelisimme joitain parametreja (kuten volatiliteettia tai korkoja) vakioina, käsittelemme niitä muuttujina ja lisäämme siten riskin lähteitä.
Tämä heijastuu kreikkalaisiin (optio-arvon muuttaminen näiden parametrien muuttamiseksi tai vastaavien osittaisten johdannaisten os alta näiden muuttujien os alta) ja näiden kreikkalaisten suojausvähentää näiden parametrien vaihtelevuuden aiheuttamaa riskiä. Muita puutteita, erityisesti tail- ja likviditeettiriskiä, ei kuitenkaan voida poistaa mallia vaihtamalla, vaan niitä hallitaan mallin ulkopuolella lähinnä näitä riskejä minimoimalla ja stressitestauksella.
Eksplisiittinen mallinnus
Explicit Modeling: Tämä ominaisuus tarkoittaa, että sen sijaan, että oletat etukäteen volatiliteetin ja lasket sen perusteella hinnat, voit käyttää mallia volatiliteetin määrittämiseen, joka antaa vaihtoehdon oletetun volatiliteetin tietyillä hinnoilla, aikoina ja toteutushinnoilla. Ratkaisemalla volatiliteetti tietyllä lakkojen kesto- ja hintajoukolla, voidaan muodostaa oletettu volatiliteettipinta.
Tässä Black-Scholes-mallin sovelluksessa saadaan koordinaattien muunnos hinta-alueelta volatiliteettialueelle. Sen sijaan, että optioiden hinnat noteerattaisiin dollareina yksikköä kohden (joita on vaikea verrata lakkojen, kestojen ja kuponkien tiheyden perusteella), optioiden hinnat voidaan noteerata implisiittisen volatiliteetin perusteella, mikä johtaa volatiliteettikauppaan optiomarkkinoilla.
