Jokainen oppilas tietää, että hypotenuusan neliö on aina yhtä suuri kuin jalkojen summa, joista jokainen on neliöity. Tätä väitettä kutsutaan Pythagoraan lauseeksi. Se on yksi trigonometrian ja yleensä matematiikan tunnetuimmista teoreemoista. Harkitse sitä tarkemmin.
Suorakulmaisen kolmion käsite
Ennen kuin ryhdymme tarkastelemaan Pythagoraan lausetta, jossa hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin neliöityjen jalkojen summa, meidän tulee tarkastella suorakulmaisen kolmion käsitettä ja ominaisuuksia, joiden lause on voimassa.
Kolmio on litteä hahmo, jossa on kolme kulmaa ja kolme sivua. Suorakulmaisella kolmiolla, kuten sen nimi kertoo, on yksi suora kulma, eli tämä kulma on 90o.
Kaikkien kolmioiden yleisistä ominaisuuksista tiedetään, että tämän luvun kaikkien kolmen kulman summa on 180o, mikä tarkoittaa, että suorakulmaisen kolmion kulmien summa on kaksi kulmaa, jotka eivät ole oikein, on 180o -90o=90o. Viimeinen tosiasia tarkoittaa, että mikä tahansa suorakulmaisen kolmion kulma, joka ei ole suora kulma, on aina pienempi kuin 90o.
Oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi. Kaksi muuta sivua ovat kolmion jalkoja, ne voivat olla keskenään samanlaisia tai erota toisistaan. Trigonometriasta tiedetään, että mitä suurempi kulma, jota vasten sivu on kolmiossa, sitä suurempi on tämän sivun pituus. Tämä tarkoittaa, että suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa (vastapäätä kulmaa 90o) on aina suurempi kuin mikään jaloista (vastapäätä kulmia < 90o).
Pythagoraan lauseen matemaattinen merkintä
Tämä lause sanoo, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen summa, joista jokainen on aiemmin neliöity. Jos haluat kirjoittaa tämän lausekkeen matemaattisesti, harkitse suorakulmaista kolmiota, jossa sivut a, b ja c ovat kaksi jalkaa ja hypotenuusa, vastaavasti. Tässä tapauksessa lause, joka ilmaistaan hypotenuusan neliönä on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa, voidaan esittää seuraavalla kaavalla: c2=a 2 + b 2. Tästä voidaan saada muita harjoituksen kann alta tärkeitä kaavoja: a=√(c2 - b2), b=√(c 2 - a2) ja c=√(a2 + b2).)
Huomaa, että kun kyseessä on suorakulmainen tasasivuinen kolmio, eli a=b, formulaatio: hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen summa, joista jokainenneliö, kirjoitettu matemaattisesti seuraavasti: c2=a2 + b2=2a 2, mikä tarkoittaa yhtäläisyyttä: c=a√2.
Historiallista taustaa
Pytagoraan lause, jonka mukaan hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen summa, joista jokainen on neliöity, tunnettiin kauan ennen kuin kuuluisa kreikkalainen filosofi kiinnitti siihen huomiota. Monet muinaisen Egyptin papyrukset sekä babylonialaisten savitaulut vahvistavat, että nämä kansat käyttivät huomattavaa suorakulmaisen kolmion sivujen ominaisuutta. Esimerkiksi yksi ensimmäisistä egyptiläisistä pyramideista, Khafren pyramidi, jonka rakentaminen juontaa juurensa 2500-luvulle eKr. (2000 vuotta ennen Pythagoraan elämää), rakennettiin 3x4x5 suorakulmaisen kolmion kuvasuhteen tuntemisen perusteella.
Miksi lause on nyt nimetty kreikkalaisen mukaan? Vastaus on yksinkertainen: Pythagoras on ensimmäinen, joka todistaa tämän lauseen matemaattisesti. Säilyneet babylonialaiset ja egyptiläiset kirjoitukset vain mainitsevat sen käytön, mutta eivät tarjoa matemaattista näyttöä.
Pythagoran uskotaan todenneen tarkasteltavan lauseen käyttämällä samank altaisten kolmioiden ominaisuuksia, jotka hän sai piirtämällä korkeuden suorakulmaiseen kolmioon kulmasta 90o hypotenuusa.
Esimerkki Pythagoraan lauseen käytöstä
Mieti yksinkertaista ongelmaa: on tarpeen määrittää k altevan portakon pituus L, jos tiedetään, että sen korkeus on H=3metriä, ja etäisyys seinästä, jota vasten tikkaat lepäävät jalkaansa, on P=2,5 metriä.
Tässä tapauksessa H ja P ovat jalkoja ja L on hypotenuusa. Koska hypotenuusan pituus on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa, saadaan: L2=H2 + P 2, josta L=√(H2 + P2)=√(3 2 + 2, 5 2)=3,905 metriä tai 3 metriä ja 90,5 cm.
