Sylinteri: sivupinta-ala. Sylinterin sivupinnan pinta-alan kaava

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Stereometriaa opiskellessa yksi pääaiheista on "sylinteri". Sivuttaista pinta-alaa pidetään, jos ei pääasiallisena, niin tärkeänä kaavana geometristen ongelmien ratkaisemisessa. On kuitenkin tärkeää muistaa määritelmät, jotka auttavat sinua navigoimaan esimerkeissä ja todistaessasi erilaisia lauseita.

Sylinterikonsepti

Ensin meidän on harkittava muutamia määritelmiä. Vasta niiden tutkimisen jälkeen voidaan alkaa pohtia kysymystä sylinterin sivupinnan alueen kaavasta. Tämän merkinnän perusteella voidaan laskea muita lausekkeita.

Lieriömäisellä pinnalla tarkoitetaan generatriisin kuvaamaa tasoa, joka liikkuu ja pysyy samansuuntaisena tietyn suunnan kanssa ja liukuu olemassa olevaa käyrää pitkin.
On olemassa myös toinen määritelmä: lieriömäinen pinta muodostuu joukosta yhdensuuntaisia viivoja, jotka leikkaavat tietyn käyrän.
Generatiivista kutsutaan perinteisesti sylinterin korkeudeksi. Kun se liikkuu alustan keskustan läpi kulkevan akselin ympäri,määritetty geometrinen kappale saadaan.
Akselin alla tarkoitetaan suoraa viivaa, joka kulkee kuvan molempien kantojen läpi.
Sylinteri on stereometrinen kappale, jota rajoittaa leikkaava sivupinta ja 2 yhdensuuntaista tasoa.

Tästä kolmiulotteisesta hahmosta on useita erilaisia:

Pyöreä on sylinteri, jonka ohjain on ympyrä. Sen pääkomponentit ovat kannan säde ja generatrix. Jälkimmäinen on yhtä suuri kuin kuvion korkeus.
On suora sylinteri. Se sai nimensä generatriisin kohtisuorasta muodon perusteella.
Kolmas laji on viistetty sylinteri. Oppikirjoissa voit löytää sille myös toisen nimen - "pyöreä sylinteri viistetyllä pohjalla". Tämä luku määrittää pohjan säteen, minimi- ja maksimikorkeuden.
Tasasivuinen sylinteri ymmärretään kappaleeksi, jolla on yhtä suuri ympyränmuotoisen tason korkeus ja halkaisija.

Symbolit

Perinteisesti sylinterin tärkeimpiä "komponentteja" kutsutaan seuraavasti:

Kannan säde on R (se korvaa myös stereometrisen luvun saman arvon).
Generatiivinen – L.
Korkeus – H.

Perusalue - S_{tukikohta (toisin sanoen sinun on löydettävä määritetty ympyräparametri).}

Viistetyn sylinterin korkeudet – h₁, h_{2 (vähimmäis- ja enimmäiskorkeus).}

Sivupinta-ala - S_{sivu (jos laajennat sitä, saateräänlainen suorakulmio).}
Stereometrisen luvun tilavuus - V.
Kokonaispinta-ala – S.

Stereometrisen luvun "komponentit"

Sylinteriä tutkittaessa sivupinta-alalla on tärkeä rooli. Tämä johtuu siitä, että tämä kaava sisältyy useisiin muihin, monimutkaisempiin. Siksi on välttämätöntä tuntea hyvin teoria.

Kuvan pääkomponentit ovat:

Sivupinta. Kuten tiedät, se saadaan generatriisin liikkeestä tiettyä käyrää pitkin.
Koko pinta sisältää olemassa olevat alustat ja sivutason.
Sylinterin poikkileikkaus on pääsääntöisesti suorakulmio, joka on yhdensuuntainen kuvion akselin kanssa. Muuten sitä kutsutaan lentokoneeksi. Osoittautuu, että pituus ja leveys ovat muiden lukujen osa-aikaisia komponentteja. Joten ehdollisesti osan pituudet ovat generaattoreita. Leveys - stereometrisen hahmon yhdensuuntaiset sointeet.
Aksiaalinen leikkaus tarkoittaa tason sijaintia kehon keskipisteen läpi.
Ja lopuksi lopullinen määritelmä. Tangentti on taso, joka kulkee sylinterin generatrixin läpi ja on suorassa kulmassa aksiaalileikkaukseen nähden. Tässä tapauksessa yhden ehdon on täytyttävä. Määritetty generatriisi on sisällytettävä aksiaalileikkauksen tasoon.

Peruskaavat sylinterin kanssa työskentelemiseen

Jotta vastata kysymykseen, kuinka löytää sylinterin pinta-ala, on tarpeen tutkia stereometrisen hahmon tärkeimmät "komponentit" ja kaavoja niiden löytämiseksi.

Nämä kaavat eroavat siinä, että ensin annetaan viistetyn sylinterin lausekkeet ja sitten suoran.

Dekonstruoidut esimerkit

Tehtävä 1.

On tarpeen tietää sylinterin sivupinnan pinta-ala. Leikkauksen diagonaali AC=8 cm on annettu (lisäksi se on aksiaalinen). Kun joutuu kosketuksiin generaattorin kanssa, se osoittaa _<ACD=30°

Päätös. Koska diagonaalin ja kulman arvot tunnetaan, niin tässä tapauksessa:

CD=ACcos 30°

Kommentoi. Kolmio ACD, tässä nimenomaisessa esimerkissä, on suorakulmainen kolmio. Tämä tarkoittaa, että CD:n ja AC:n jaon osamäärä=annetun kulman kosini. Trigonometristen funktioiden arvo löytyy erityisestä taulukosta.

Samalla tavalla voit löytää AD:n arvon:

AD=ACsin 30°

Nyt sinun on laskettava haluttu tulos käyttämällä seuraavaa muotoilua: sylinterin sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin kaksinkertainen tulos kertomalla "pi", kuvan säde ja sen korkeus. On myös käytettävä toista kaavaa: sylinterin pohjan pinta-ala. Se on yhtä suuri kuin tulos kertomalla "pi" säteen neliöllä. Ja lopuksi viimeinen kaava: kokonaispinta-ala. Se on yhtä suuri kuin kahden edellisen alueen summa.

Tehtävä 2.

Sylinterit on annettu. Niiden tilavuus=128n cm³. Mikä sylinteri on pieninkoko pinta?

Päätös. Ensin sinun on käytettävä kaavoja hahmon tilavuuden ja korkeuden löytämiseen.

Koska sylinterin kokonaispinta-ala tunnetaan teoriasta, sen kaavaa on sovellettava.

Jos tarkastelemme tuloksena olevaa kaavaa sylinterin pinta-alan funktiona, niin minimi "indikaattori" saavutetaan ääripisteessä. Viimeisen arvon saamiseksi sinun on käytettävä erotusta.

Kaavoja voi tarkastella erikoistaulukossa johdannaisten löytämiseksi. Jatkossa löydetty tulos rinnastetaan nollaan ja yhtälön ratkaisu löytyy.

Vastaus: S_{min saavutetaan kohdassa h=1/32 cm, R=64 cm.}

Ongelma 3.

Stereometrinen luku - sylinteri ja poikkileikkaus. Jälkimmäinen suoritetaan siten, että se on yhdensuuntainen stereometrisen rungon akselin kanssa. Sylinterillä on seuraavat parametrit: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. On tarpeen selvittää poikkileikkauksen ja akselin välinen etäisyys.

Päätös.

Koska sylinterin poikkileikkaukseksi ymmärretään VSCM, eli suorakulmio, sen sivu VM=h. WMC on otettava huomioon. Kolmio on suorakaiteen muotoinen. Tämän väitteen perusteella voimme päätellä oikean oletuksen, että MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Tästä voimme päätellä, että MK=BC=8 cm.

Seuraava vaihe on piirtää leikkaus kuvion pohjan läpi. On tarpeen ottaa huomioon tuloksena oleva taso.

AD – stereometrisen hahmon halkaisija. Se on samansuuntainen ongelmalausekkeessa mainitun osion kanssa.

BC on suora viiva, joka sijaitsee olemassa olevan suorakulmion tasolla.

ABCD on puolisuunnikkaan muotoinen. Tietyssä tapauksessa sitä pidetään tasakylkisenä, koska sen ympärille kuvataan ympyrä.

Jos löydät tuloksena olevan puolisuunnikkaan korkeuden, saat vastauksen tehtävän alussa. Nimittäin: akselin ja piirretyn leikkauksen välisen etäisyyden löytäminen.

Tämän tekemiseksi sinun on löydettävä AD:n ja OS:n arvot.

Vastaus: leikkaus sijaitsee 3 cm akselista.

Ongelmia materiaalin yhdistämisessä

Esimerkki 1.

Sylinteri annettu. Sivupinta-alaa käytetään lisäratkaisussa. Muut vaihtoehdot ovat tiedossa. Pohjan pinta-ala on Q, aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on M. On löydettävä S. Toisin sanoen sylinterin kokonaispinta-ala.

Esimerkki 2.

Sylinteri annettu. Sivupinta-ala on löydettävä yhdessä ongelman ratkaisun vaiheista. Tiedetään, että korkeus=4 cm, säde=2 cm. On tarpeen löytää stereometrisen hahmon kokonaispinta-ala.