Nämä geometriset muodot ympäröivät meitä kaikkialla. Kuperat monikulmiot voivat olla luonnollisia, kuten hunajakennoja, tai keinotekoisia (keinotekoisia). Näitä hahmoja käytetään erilaisten pinnoitteiden valmistuksessa, maalauksessa, arkkitehtuurissa, koristeissa jne. Kuperilla monikulmioilla on ominaisuus, että kaikki niiden pisteet ovat samalla puolella suoraa, joka kulkee tämän geometrisen hahmon vierekkäisten kärkien parin läpi. Muitakin määritelmiä on. Monikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos se sijaitsee yhdessä puolitasossa suhteessa minkä tahansa sen yhden sivun sisältävään suoraan.
Kuperat polygonit
Perusgeometriassa huomioidaan aina vain yksinkertaiset polygonit. Ymmärtääksesi kaikki tällaisten ominaisuudetgeometrisia muotoja, on välttämätöntä ymmärtää niiden luonne. Aluksi on ymmärrettävä, että mitä tahansa riviä kutsutaan suljetuksi, jonka päät ovat samat. Lisäksi sen muodostamalla hahmolla voi olla erilaisia konfiguraatioita. Monikulmio on yksinkertainen suljettu katkoviiva, jossa viereiset linkit eivät sijaitse samalla suoralla. Sen linkit ja kärjet ovat vastaavasti tämän geometrisen kuvion sivut ja kärjet. Yksinkertaisella polyline-viivalla ei saa olla itseleikkauksia.
Monikulmion kärkiä kutsutaan vierekkäisiksi, jos ne edustavat sen yhden sivun päitä. Geometristä kuviota, jolla on n:s määrä pisteitä ja siten n:s määrä sivuja, kutsutaan n-kulmioksi. Itse katkoviivaa kutsutaan tämän geometrisen hahmon reunaksi tai ääriviivaksi. Monikulmion tasoa tai tasaista monikulmiota kutsutaan minkä tahansa sen rajoittaman tason päätyosiksi. Tämän geometrisen kuvion vierekkäisiä sivuja kutsutaan yhdestä kärjestä lähtevän katkoviivan segmenteiksi. Ne eivät ole vierekkäisiä, jos ne tulevat monikulmion eri pisteistä.
Muita kuperien polygonien määritelmiä
Perusgeometriassa on useita vastaavia määritelmiä, jotka osoittavat, mitä monikulmiota kutsutaan kuperaksi. Kaikki nämä väitteet ovat yhtä totta. Monikulmio katsotaan kuperaksi, jos:
• jokainen segmentti, joka yhdistää kaksi pistettä sen sisällä, on kokonaan sen sisällä;
• sen sisälläkaikki sen lävistäjät ovat;
• mikään sisäkulma ei ylitä 180°.
Monikulmio jakaa tason aina kahteen osaan. Yksi niistä on rajoitettu (se voidaan sulkea ympyrään), ja toinen on rajoittamaton. Ensimmäistä kutsutaan sisäalueeksi ja toista tämän geometrisen hahmon ulkoalueeksi. Tämä monikulmio on useiden puolitasojen leikkauspiste (toisin sanoen yhteinen komponentti). Lisäksi jokainen segmentti, jonka päät ovat pisteissä, jotka kuuluvat monikulmioon, kuuluvat kokonaan siihen.
Kuperien monikulmioiden lajikkeet
Kuperan monikulmion määritelmä ei osoita, että niitä on monenlaisia. Ja jokaisella niistä on tietyt kriteerit. Joten kuperia monikulmiota, jonka sisäkulma on 180°, kutsutaan heikosti kuperaksi. Kuperaa geometrista kuviota, jolla on kolme kärkeä, kutsutaan kolmioksi, neljää - nelikulmioksi, viideksi - viisikulmioksi jne. Jokainen kupera n-kulmio täyttää seuraavan olennaisen vaatimuksen: n:n on oltava yhtä suuri tai suurempi kuin 3. Kukin kolmiot on kupera. Tämän tyyppistä geometristä kuviota, jossa kaikki kärjet sijaitsevat samalla ympyrällä, kutsutaan ympyrään piirretyksi. Kuperaa monikulmiota kutsutaan rajatuksi, jos kaikki sen ympyrän lähellä olevat sivut koskettavat sitä. Kahden monikulmion sanotaan olevan yhtä suuri vain, jos ne voidaan asettaa päällekkäin superpositiolla. Tasopolygonia kutsutaan monikulmiotasoksi.(osa tasosta), jota tämä geometrinen kuvio rajoittaa.
Säännölliset kuperat polygonit
Säännölliset polygonit ovat geometrisia muotoja, joilla on samat kulmat ja sivut. Niiden sisällä on piste 0, joka on samalla etäisyydellä jokaisesta kärjestään. Sitä kutsutaan tämän geometrisen kuvion keskipisteeksi. Jantoja, jotka yhdistävät tämän geometrisen hahmon keskipisteen kärkeen, kutsutaan apoteemiksi, ja niitä, jotka yhdistävät pisteen 0 sivut, kutsutaan säteiksi.
Säännöllinen nelikulmio on neliö. Tasasivuista kolmiota kutsutaan tasasivuiseksi kolmioksi. Tällaisille kuvioille on olemassa seuraava sääntö: kuperan monikulmion jokainen kulma on 180°(n-2)/n, jossa n on tämän kuperan geometrisen kuvion kärkien lukumäärä.
Jokaisen säännöllisen monikulmion pinta-ala määritetään kaavalla:
S=ph, jossa p on puolet annetun monikulmion kaikkien sivujen summasta ja h on apoteemin pituus.
Kuperien polygonien ominaisuudet
Kuperilla polygoneilla on tiettyjä ominaisuuksia. Joten segmentti, joka yhdistää minkä tahansa 2 pistettä tällaisesta geometrisesta kuviosta, sijaitsee välttämättä siinä. Todiste:
Oletetaan, että P on annettu kupera monikulmio. Otetaan 2 mieliv altaista pistettä, esimerkiksi A, B, jotka kuuluvat P:hen. Nykyisen kuperan monikulmion määritelmän mukaan nämä pisteet sijaitsevat samalla puolella suoraa, joka sisältää minkä tahansa P:n puolen. Siksi myös AB:llä on tämä ominaisuus ja se sisältyy P:hen. Kupera monikulmio voidaan aina jakaa useiksi kolmioksi ehdottoman kaikilla sen yhdestä kärjestä vedetyillä lävistäjällä.
Kuperien geometristen muotojen kulmat
Kuperan monikulmion kulmat ovat sen sivujen muodostamia kulmia. Sisäkulmat sijaitsevat tietyn geometrisen kuvion sisäalueella. Kulmaa, jonka muodostavat sen yhdessä kärjessä suppenevat sivut, kutsutaan kuperan monikulmion kulmaksi. Tietyn geometrisen kuvion sisäkulmien viereisiä kulmia kutsutaan ulkoisiksi. Jokainen kuperan monikulmion kulma sen sisällä on:
180° - x, jossa x on ulkokulman arvo. Tämä yksinkertainen kaava toimii kaikille tämän tyyppisille geometrisille muodoille.
Yleensä ulkokulmille on seuraava sääntö: kuperan monikulmion kukin kulma on yhtä suuri kuin 180°:n ja sisäkulman arvon välinen erotus. Sen arvot voivat vaihdella -180° - 180°. Siksi, kun sisäkulma on 120°, ulkokulma on 60°.
Kuperien monikulmioiden kulmien summa
Kuperan monikulmion sisäkulmien summa asetetaan kaavalla:
180°(n-2), jossa n on n-kulman kärkien lukumäärä.
Kuperan monikulmion kulmien summa on melko helppo laskea. Harkitse mitä tahansa tällaista geometristä kuviota. Kuperan monikulmion sisällä olevien kulmien summan määrittämiseksi on välttämätöntäYhdistä yksi sen pisteistä muihin pisteisiin. Tämän toiminnon tuloksena saadaan (n-2) kolmioita. Tiedämme, että minkä tahansa kolmion kulmien summa on aina 180°. Koska niiden lukumäärä missä tahansa monikulmiossa on (n-2), tällaisen kuvion sisäkulmien summa on 180° x (n-2).
Kuperan monikulmion, eli minkä tahansa kahden sisä- ja vierekkäisen ulkokulman kulmien summa tietylle kuperalle geometriselle kuviolle on aina 180°. Tämän perusteella voit määrittää sen kaikkien kulmien summan:
180 x n.
Sisäkulmien summa on 180°(n-2). Tämän perusteella tämän kuvion kaikkien ulkokulmien summa asetetaan kaavalla:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Kaiken kuperan monikulmion ulkokulmien summa on aina 360° (riippumatta sivujen lukumäärästä).
Kuperan monikulmion ulkokulmaa edustaa yleensä 180°:n ja sisäkulman arvon välinen ero.
Kuperan monikulmion muut ominaisuudet
Näiden geometristen muotojen perusominaisuuksien lisäksi niillä on muita, jotka syntyvät niitä käsiteltäessä. Joten mikä tahansa monikulmioista voidaan jakaa useisiin kuperaan n-kulmioon. Tätä varten on tarpeen jatkaa sen kutakin sivua ja leikata tämä geometrinen kuvio näitä suoria viivoja pitkin. On myös mahdollista jakaa mikä tahansa monikulmio useisiin kuperaan osaan siten, että kunkin palan kärjet osuvat yhteen kaikkien sen kärkien kanssa. Tällaisesta geometrisesta kuviosta voidaan tehdä kolmioita hyvin yksinkertaisesti piirtämällä kaikkidiagonaalit yhdestä kärjestä. Siten mikä tahansa monikulmio voidaan lopulta jakaa tiettyyn määrään kolmioita, mikä osoittautuu erittäin hyödylliseksi ratkaistaessa erilaisia tällaisiin geometrisiin muotoihin liittyviä ongelmia.
Kuperan monikulmion ympärysmitta
Katkoviivan segmentit, joita kutsutaan monikulmion sivuiksi, merkitään useimmiten seuraavilla kirjaimilla: ab, bc, cd, de, ea. Nämä ovat geometrisen kuvion sivut, joiden kärjet ovat a, b, c, d, e. Tämän kuperan monikulmion kaikkien sivujen pituuksien summaa kutsutaan sen kehäksi.
Monikulmion ympärysmitta
Kuperat polygonit voidaan kirjoittaa ja rajata. Ympyrää, joka koskettaa tämän geometrisen hahmon kaikkia sivuja, kutsutaan siihen piirretyksi. Tällaista monikulmiota kutsutaan rajatuksi. Monikulmioon piirretyn ympyrän keskipiste on kaikkien kulmien puolittajien leikkauspiste tietyssä geometrisessa kuviossa. Tällaisen polygonin pinta-ala on:
S=pr, jossa r on piirretyn ympyrän säde ja p on annetun monikulmion puolikehä.
Ympyrää, joka sisältää monikulmion kärjet, kutsutaan sen ympärille piirretyksi. Lisäksi tätä kuperaa geometrista kuviota kutsutaan kaiverretuksi. Ympyrän keskipiste, joka on rajattu tällaisen monikulmion ympärille, on kaikkien sivujen niin sanottujen kohtisuorien puolittajien leikkauspiste.
Kuperien geometristen muotojen diagonaalit
Kuperan monikulmion lävistäjät ovat segmenttejä, jotkayhdistä ei-viereiset kärjet. Jokainen niistä on tämän geometrisen hahmon sisällä. Tällaisen n-kulmion diagonaalien lukumäärä asetetaan kaavalla:
N=n (n – 3)/ 2.
Kuperan monikulmion diagonaalien lukumäärällä on tärkeä rooli alkeisgeometriassa. Kolmioiden lukumäärä (K), joihin kukin kupera monikulmio on mahdollista jakaa, lasketaan seuraavalla kaavalla:
K=n – 2.
Kuperan monikulmion diagonaalien määrä riippuu aina sen kärkien lukumäärästä.
Kuperan monikulmion hajottaminen
Joissakin tapauksissa geometristen ongelmien ratkaisemiseksi kupera monikulmio on jaettava useiksi kolmioksi, joiden lävistäjät eivät leikkaa. Tämä ongelma voidaan ratkaista johtamalla tietty kaava.
Tehtävän määritelmä: kutsutaan kuperan n-kulmion oikea osio useiksi kolmioksi diagonaaleilla, jotka leikkaavat vain tämän geometrisen kuvion kärjet.
Ratkaisu: Oletetaan, että Р1, Р2, Р3 …, Pn ovat tämän n-kulman pisteitä. Numero Xn on sen osioiden lukumäärä. Tarkastellaan tarkasti saatua geometrisen hahmon Pi Pn diagonaalia. Missä tahansa säännöllisistä osioista P1 Pn kuuluu tiettyyn kolmioon P1 Pi Pn, jolla on 1<i<n. Tästä eteenpäin ja olettaen, että i=2, 3, 4 …, n-1, saadaan (n-2) näiden osioiden ryhmät, jotka sisältävät kaikki mahdolliset erityistapaukset.
Olkoon i=2 yksi säännöllisten osioiden ryhmä, joka sisältää aina diagonaalin Р2 Pn. Siihen syöttävien osioiden määrä on sama kuin osioiden määrä(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Toisin sanoen se on yhtä kuin Xn-1.
Jos i=3, tämä toinen osioiden ryhmä sisältää aina diagonaalit Р3 Р1 ja Р3 Pn. Tässä tapauksessa tähän ryhmään sisältyvien tavallisten osioiden määrä on sama kuin (n-2)-gonin P3 P4 … Pn osioiden lukumäärä. Toisin sanoen se on yhtä suuri kuin Xn-2.
Olkoon i=4, niin kolmioiden joukossa säännöllinen osio sisältää varmasti kolmion P1 P4 Pn, johon nelikulmio P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn liittyy. Tällaisen nelikulmion säännöllisten osioiden lukumäärä on X4 ja (n-3)-gonin osioiden lukumäärä on Xn-3. Edellä olevan perusteella voimme sanoa, että tähän ryhmään sisältyvien oikeiden osioiden kokonaismäärä on Xn-3 X4. Muut ryhmät, joissa i=4, 5, 6, 7… sisältävät Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … tavalliset osiot.
Annetaan i=n-2, niin oikeiden jakojen määrä tässä ryhmässä on sama kuin jakojen määrä ryhmässä, jossa i=2 (eli yhtä kuin Xn-1).
Koska X1=X2=0, X3=1, X4=2…, niin kuperan polygonin kaikkien osioiden lukumäärä on:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Esimerkki:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Oikeiden osioiden lukumäärä, jotka leikkaavat yhden diagonaalin sisäpuolella
Erikoistapauksia tarkasteltaessa voi päätyäoletus, että kuperoiden n-kulmien diagonaalien lukumäärä on yhtä suuri kuin tämän luvun kaikkien osioiden tulo (n-3).
Todiste tälle oletukselle: kuvittele, että P1n=Xn(n-3), niin mikä tahansa n-kulmio voidaan jakaa (n-2)-kolmioihin. Lisäksi niistä voidaan muodostaa (n-3)-neliikulmio. Tämän lisäksi jokaisella nelikulmiolla on diagonaali. Koska tähän kuperaan geometriseen kuvioon voidaan piirtää kaksi diagonaalia, tämä tarkoittaa, että mihin tahansa (n-3)-neliikulmioon voidaan piirtää lisää (n-3) diagonaalia. Tämän perusteella voimme päätellä, että missä tahansa tavallisessa osiossa on mahdollista piirtää (n-3)-lävistäjät, jotka täyttävät tämän tehtävän ehdot.
Kuperien polygonien alue
Usein, kun ratkaistaan erilaisia perusgeometrian ongelmia, on tarpeen määrittää kuperan monikulmion pinta-ala. Oletetaan, että (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n on monikulmion, jolla ei ole itseleikkauksia, kaikkien vierekkäisten kärkien koordinaattijono. Tässä tapauksessa sen pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), missä (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
