Kolmio, neliö, kuusikulmio – nämä luvut tuntevat melkein kaikki. Mutta kaikki eivät tiedä, mikä säännöllinen monikulmio on. Mutta nämä ovat kaikki samoja geometrisia muotoja. Säännöllinen monikulmio on sellainen, jolla on yhtäläiset kulmat ja sivut. Tällaisia lukuja on monia, mutta niillä kaikilla on samat ominaisuudet ja samat kaavat pätevät niihin.
Säännöllisten polygonien ominaisuudet
Mikä tahansa säännöllinen monikulmio, olipa se neliö tai kahdeksankulmio, voidaan piirtää ympyrään. Tätä perusominaisuutta käytetään usein hahmon rakentamisessa. Lisäksi monikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä. Tässä tapauksessa kosketuspisteiden määrä on yhtä suuri kuin sen sivujen lukumäärä. On tärkeää, että säännölliseen monikulmioon piirretyllä ympyrällä on yhteinen keskus sen kanssa. Näihin geometrisiin kuvioihin sovelletaan samoja lauseita. Mikä tahansa puolisäännöllisen n-kulmio liittyy sen ympärille piirretyn ympyrän säteeseen R. Siksi se voidaan laskea seuraavalla kaavalla: a=2R ∙ sin180°. Ympyrän säteen kautta löydät monikulmion sivujen lisäksi myös kehän.
Kuinka löytää säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä
Jokainen säännöllinen n-kulmio koostuu tietystä määrästä toisiaan vastaavia segmenttejä, jotka yhdistettyinä muodostavat suljetun viivan. Tässä tapauksessa kaikilla muodostetun hahmon kulmilla on sama arvo. Monikulmiot jaetaan yksinkertaisiin ja monimutkaisiin. Ensimmäinen ryhmä sisältää kolmion ja neliön. Monimutkaisilla polygoneilla on enemmän sivuja. Niissä on myös tähden muotoisia hahmoja. Monimutkaisten säännöllisten monikulmioiden sivut löydetään piirtämällä ne ympyrän muotoon. Annetaan todiste. Piirrä säännöllinen monikulmio, jolla on mieliv altainen määrä sivuja n. Kuvaile ympyrää sen ympärillä. Määritä säde R. Kuvittele nyt, että jokin n-kulmio on annettu. Jos sen kulmien pisteet ovat ympyrällä ja ovat keskenään yhtä suuret, niin sivut löytyvät kaavasta: a=2R ∙ sinα: 2.
Uurretun säännöllisen kolmion sivujen lukumäärän löytäminen
Tasasivuinen kolmio on säännöllinen monikulmio. Siihen pätevät samat kaavat kuin neliöön ja n-kulmioon. Kolmio katsotaan oikeaksi, jos sillä on samanpituiset sivut. Tässä tapauksessa kulmat ovat 60⁰. Muodosta kolmio, jonka sivun pituus on a. Kun tiedät sen mediaanin ja korkeuden,löydät sen sivujen arvon. Tätä varten käytämme menetelmää löytää kaavan avulla a \u003d x: cosα, missä x on mediaani tai korkeus. Koska kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, saadaan a=b=c. Tällöin seuraava väite on tosi a=b=c=x: cosα. Vastaavasti voit löytää tasakylkisen kolmion sivujen arvon, mutta x on annettu korkeus. Samanaikaisesti se tulisi projisoida tiukasti hahmon pohjaan. Joten, kun tiedämme korkeuden x, löydämme tasakylkisen kolmion sivun a käyttämällä kaavaa a \u003d b \u003d x: cosα. Kun olet löytänyt a:n arvon, voit laskea kannan c pituuden. Sovelletaan Pythagoraan lausetta. Etsimme puolen c:n arvoa: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Silloin c=2xtanα. Tässä on yksinkertainen tapa löytää minkä tahansa piirretyn monikulmion sivujen lukumäärä.
Laske ympyrään piirretyn neliön sivut
Kuten kaikilla muillakin säännöllisillä monikulmioilla, neliöllä on yhtäläiset sivut ja kulmat. Siihen pätevät samat kaavat kuin kolmioon. Voit laskea neliön sivut käyttämällä diagonaalin arvoa. Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin. Tiedetään, että diagonaali puolittaa kulman. Aluksi sen arvo oli 90 astetta. Näin ollen jaon jälkeen muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota. Niiden pohjakulmat ovat 45 astetta. Vastaavasti neliön jokainen sivu on yhtä suuri, eli: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, missä e on neliön lävistäjä tai kanta jaon jälkeen muodostunut suorakulmainen kolmio. Se ei ole ainoa tapaneliön sivujen etsiminen. Piirretään tämä kuvio ympyrään. Kun tiedämme tämän ympyrän R säteen, löydämme neliön sivun. Laskemme sen seuraavasti a4=R√2. Säännöllisten polygonien säteet lasketaan kaavalla R=a: 2tg (360o: 2n), missä a on sivun pituus.
N-kulman ympärysmitan laskeminen
N-kulmion ympärysmitta on sen kaikkien sivujen summa. Se on helppo laskea. Tätä varten sinun on tiedettävä kaikkien osapuolten arvot. Joillekin monikulmiotyypeille on olemassa erityisiä kaavoja. Niiden avulla voit löytää kehän paljon nopeammin. Tiedetään, että kaikilla säännöllisillä monikulmioilla on yhtäläiset sivut. Siksi sen kehän laskemiseksi riittää, että tiedät ainakin yhden niistä. Kaava riippuu kuvion sivujen lukumäärästä. Yleensä se näyttää tältä: P \u003d an, jossa a on sivun arvo ja n on kulmien lukumäärä. Jos haluat esimerkiksi löytää säännöllisen kahdeksankulmion, jonka sivu on 3 cm, ympärysmitta, sinun on kerrottava se 8:lla, eli P=3 ∙ 8=24 cm. Laskemme kuusikulmaiselle, jonka sivu on 5 cm seuraavasti: P=5 ∙ 6=30 cm. Ja niin jokaiselle polygonille.
Suunkikkaan, neliön ja rombin kehän löytäminen
Riippuen siitä, kuinka monta sivua tavallisella monikulmiolla on, sen ympärysmitta lasketaan. Tämä tekee tehtävästä paljon helpompaa. Itse asiassa, toisin kuin muut hahmot, tässä tapauksessa ei tarvitse etsiä kaikkia sen puolia, vain yksi riittää. Samalla periaatteella löydämme kehän kohdassanelikulmioita, eli neliö ja rombi. Huolimatta siitä, että nämä ovat erilaisia lukuja, kaava niille on sama P=4a, jossa a on sivu. Otetaan esimerkki. Jos rombin tai neliön sivu on 6 cm, niin saamme ympärysmitan seuraavasti: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Suunnikkaalla on vain vastakkaiset sivut. Siksi sen ympärysmitta löydetään eri menetelmällä. Joten meidän on tiedettävä kuvion pituus a ja leveys b. Sitten sovelletaan kaavaa P=(a + c) ∙ 2. Suunnikkaasta, jonka kaikki sivut ja niiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, kutsutaan rombiksi.
Tasasivuisen ja suorakulmaisen kolmion kehän löytäminen
Säännöllisen tasasivuisen kolmion ympärysmitta löytyy kaavasta P=3a, jossa a on sivun pituus. Jos se on tuntematon, se löytyy mediaanin kautta. Suorakulmaisessa kolmiossa vain kaksi sivua ovat yhtä suuret. Perusta löytyy Pythagoraan lauseen kautta. Kun kaikkien kolmen sivun arvot ovat tiedossa, laskemme kehä. Se löytyy soveltamalla kaavaa P \u003d a + b + c, jossa a ja b ovat yhtä suuret puolet ja c on kanta. Muista, että tasakylkisessä kolmiossa a \u003d b \u003d a, siis a + b \u003d 2a, sitten P \u003d 2a + c. Esimerkiksi tasakylkisen kolmion sivu on 4 cm, etsi sen kanta ja ympärysmitta. Laskemme hypotenuusan arvon Pythagoraan lauseella c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nyt lasketaan ympärysmitta Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kuinka löytää säännöllisen monikulmion kulmat
Säännöllinen monikulmioesiintyy elämässämme joka päivä, esimerkiksi tavallinen neliö, kolmio, kahdeksankulmio. Vaikuttaa siltä, että mikään ei ole helpompaa kuin rakentaa tämä hahmo itse. Mutta tämä on vain ensi silmäyksellä. Minkä tahansa n-kulman rakentamiseksi sinun on tiedettävä sen kulmien arvo. Mutta miten löydät ne? Jopa antiikin tiedemiehet yrittivät rakentaa säännöllisiä polygoneja. He arvasivat sijoittavansa ne ympyröihin. Ja sitten siihen merkittiin tarvittavat pisteet, jotka yhdistettiin suorilla viivoilla. Yksinkertaisten lukujen os alta rakennusongelma on ratkaistu. Kaavat ja lauseet on saatu. Esimerkiksi Euclid kuuluisassa teoksessaan "Alku" osallistui 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-gonin ongelmien ratkaisemiseen. Hän löysi tapoja rakentaa niitä ja löytää kulmia. Katsotaanpa, miten tämä tehdään 15-gonille. Ensin sinun on laskettava sen sisäisten kulmien summa. On tarpeen käyttää kaavaa S=180⁰(n-2). Joten meille annetaan 15-kulmainen, mikä tarkoittaa, että luku n on 15. Korvaamme tuntemamme tiedot kaavaan ja saamme S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Olemme löytäneet 15-gonin kaikkien sisäkulmien summan. Nyt meidän on saatava jokaisen niistä arvo. Kulmia on yhteensä 15. Laskemme 2340⁰: 15=156⁰. Tämä tarkoittaa, että jokainen sisäkulma on 156⁰, nyt käyttämällä viivainta ja kompassia voit rakentaa tavallisen 15 kulman. Mutta entä monimutkaisemmat n-gonit? Vuosisatojen ajan tiedemiehet ovat kamppailleet tämän ongelman ratkaisemiseksi. Carl Friedrich Gauss löysi sen vasta 1700-luvulla. Hän pystyi rakentamaan 65537-gonin. Siitä lähtien ongelmaa pidetään virallisesti täysin ratkaistuna.
N-kulmien laskentaradiaaneina
Tietenkin on olemassa useita tapoja löytää polygonien kulmat. Useimmiten ne lasketaan asteina. Mutta voit myös ilmaista ne radiaaneina. Kuinka tehdä se? On tarpeen edetä seuraavasti. Ensin selvitetään säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä, sitten vähennetään siitä 2. Näin saadaan arvo: n - 2. Kerro löydetty ero luvulla n ("pi"=3, 14). Nyt jää vain jakaa tuloksena saatu tulo n-kulman kulmien lukumäärällä. Harkitse näitä laskelmia käyttämällä samaa viisitoistasivuista esimerkkiä. Joten luku n on 15. Käytä kaavaa S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Tämä tietysti, ei ole ainoa tapa laskea kulma radiaaneina. Voit yksinkertaisesti jakaa kulman koon asteina luvulla 57, 3. Loppujen lopuksi tuo monta astetta vastaa yhtä radiaania.
Laske kulmien arvo asteina
Asteiden ja radiaanien lisäksi voit yrittää löytää säännöllisen monikulmion kulmien arvon asteina. Tämä tehdään seuraavalla tavalla. Vähennä 2 kulmien kokonaismäärästä, jaa saatu erotus säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärällä. Kerromme löydetyn tuloksen 200:lla. Sellaista kulmien mittayksikköä kuin rakeita ei muuten käytännössä käytetä.
N-kulmien ulkokulmien laskeminen
Jokaiselle säännölliselle monikulmiolle, paitsi sisäiselle, voit myös laskea ulkoisen kulman. Sen arvo löytyy samalla tavalla kuin muidenkin lukujen. Tarvitset siis säännöllisen monikulmion ulkokulman löytämiseksitietää sisäisen merkityksen. Lisäksi tiedämme, että näiden kahden kulman summa on aina 180 astetta. Siksi teemme laskelmat seuraavasti: 180⁰ miinus sisäkulman arvo. Löydämme eron. Se on yhtä suuri kuin sen vieressä olevan kulman arvo. Esimerkiksi neliön sisäkulma on 90 astetta, joten ulkokulma on 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kuten näemme, sen löytäminen ei ole vaikeaa. Ulkokulman arvo voi olla +180⁰ - -180⁰, vastaavasti.
