Yksinkertaisesti ja lyhyesti sanottuna soveltamisala on arvot, jotka mikä tahansa toiminto voi ottaa. Jotta voit tutkia tätä aihetta täysin, sinun on purettava asteittain seuraavat kohdat ja käsitteet. Ymmärretään ensin funktion määritelmä ja sen esiintymishistoria.
Mikä on funktio
Kaikki eksaktit tieteet tarjoavat meille monia esimerkkejä, joissa kyseessä olevat muuttujat ovat jollain tavalla riippuvaisia toisistaan. Esimerkiksi aineen tiheys määräytyy täysin sen massan ja tilavuuden mukaan. Ihanteellisen kaasun paine vakiotilavuudessa vaihtelee lämpötilan mukaan. Näitä esimerkkejä yhdistää se tosiasia, että kaikissa kaavoissa on riippuvuuksia muuttujien välillä, joita kutsutaan funktionaalisiksi.
Funktio on käsite, joka ilmaisee yhden suuren riippuvuuden toisesta. Sen muoto on y=f(x), missä y on funktion arvo, joka riippuu x - argumentista. Siten voidaan sanoa, että y on x:n arvosta riippuva muuttuja. Arvot, jotka x voi ottaa yhdessä, ovatannetun funktion alue (D(y) tai D(f)), ja vastaavasti y:n arvot muodostavat funktion arvojen joukon (E(f) tai E(y)). On tapauksia, joissa funktio annetaan jollain kaavalla. Tässä tapauksessa määritelmäalue koostuu tällaisten muuttujien arvoista, joissa kaavan merkinnällä on järkeä.
On vastaavia tai vastaavia ominaisuuksia. Nämä ovat kaksi funktiota, joilla on samat kelvollisten arvojen alueet, sekä itse funktion arvot ovat samat kaikille samoilla argumenteilla.
Monet eksaktien tieteiden lait nimetään samalla tavalla kuin tosielämän tilanteet. Myös matemaattisesta funktiosta on tällainen mielenkiintoinen tosiasia. On olemassa lause funktion rajasta, joka on "puristettu" kahden muun, joilla on sama raja - kahden poliisin, väliin. He selittävät asian näin: koska kaksi poliisia johdattaa vankia välissä olevaan selliin, rikollinen pakotetaan menemään sinne, eikä hänellä yksinkertaisesti ole vaihtoehtoa.
Historiallinen ominaisuusviite
Funktion käsitteestä ei tullut heti lopullista ja täsmällistä, se on kehittynyt pitkän matkan. Ensinnäkin Fermat'n 1600-luvun lopulla julkaistussa julkaisussa Introduction and Study of Plane and Solid Places todettiin seuraavaa:
Aina kun lopullisessa yhtälössä on kaksi tuntematonta, tilaa on.
Yleensä tämä teos puhuu toiminnallisesta riippuvuudesta ja sen materiaalikuvasta (paikka=viiva).
Myös samoihin aikoihin Rene Descartes tutki suoria yhtälöillään teoksessaan "Geometry" (1637), jossa taas todettiinkahden suuren riippuvuus toisistaan.
Juuri maininta termistä "toiminto" ilmestyi vasta 1600-luvun lopulla Leibnizin kanssa, mutta ei sen nykyisessä tulkinnassa. Tieteellisessä työssään hän katsoi, että funktio on erilaisia kaarevaan viivaan liittyviä segmenttejä.
Mutta jo 1700-luvulla funktiota alettiin määritellä tarkemmin. Bernoulli kirjoitti seuraavan:
Funktion on arvo, joka koostuu muuttujasta ja vakiosta.
Eulerin ajatukset olivat myös lähellä tätä:
Muuttuvan suuren funktio on analyyttinen lauseke, joka koostuu jollain tavalla tästä muuttuvasta suuresta ja numeroista tai vakiosuureista.
Kun jotkin suureet ovat riippuvaisia muista siten, että kun jälkimmäiset muuttuvat, ne itse muuttuvat, niin ensimmäisiä kutsutaan jälkimmäisten funktioiksi.
Funktiokaavio
Funktion kuvaaja koostuu kaikista koordinaattitason akseleihin kuuluvista pisteistä, joiden abskissoilla on argumentin arvot ja funktion arvot näissä pisteissä ovat ordinaatteja.
Funktion laajuus liittyy suoraan sen kuvaajaan, koska jos jokin abskissoja jätetään pois kelvollisten arvojen alueella, sinun on piirrettävä kaavioon tyhjiä pisteitä tai piirrettävä kaavio tietyissä rajoissa. Jos esimerkiksi otetaan graafi muotoa y=tgx, niin arvo x=pi / 2 + pin, n∉R jätetään määritelmäalueen ulkopuolelle, tangenttigraafin tapauksessa pitää piirtääy-akselin suuntaiset pystysuorat viivat (niitä kutsutaan asymptooteiksi), jotka kulkevat pisteiden ±pi/2 kautta.
Kaikki perusteellinen ja huolellinen funktioiden tutkiminen muodostaa suuren matematiikan haaran, jota kutsutaan laskennaksi. Perusmatematiikassa käsitellään myös funktioiden alkeiskysymyksiä, esimerkiksi yksinkertaisen graafin rakentamista ja funktion perusominaisuuksien määrittämistä.
Mille toiminnolle voidaan asettaa
Toiminto voi:
- ole kaava, esimerkiksi: y=cos x;
- asettaa millä tahansa muodon (x; y) paritaulukolla;
- saa heti graafisen näkymän, tätä varten lomakkeen edellisen kohdan (x; y) parit on näytettävä koordinaattiakseleilla.
Ole varovainen ratkaiseessasi korkean tason tehtäviä, melkein mitä tahansa lauseketta voidaan pitää funktiona jonkin funktion y (x) arvon argumentin suhteen. Tällaisten tehtävien määrittelyalueen löytäminen voi olla avain ratkaisuun.
Mihin on mahdollista?
Ensimmäinen asia, joka sinun on tiedettävä funktiosta, jotta voit tutkia tai rakentaa sitä, on sen laajuus. Kaavion tulee sisältää vain ne pisteet, joissa funktio voi olla olemassa. Määritelmän aluetta (x) voidaan kutsua myös hyväksyttävien arvojen alueeksi (lyhennettynä ODZ).
Jotta funktiokuvaajan muodostaa oikein ja nopeasti, sinun on tiedettävä tämän funktion toimialue, koska kaavion ulkonäkö ja tarkkuus riippuvat siitärakentaminen. Esimerkiksi funktion y=√x muodostamiseksi sinun on tiedettävä, että x voi ottaa vain positiivisia arvoja. Siksi se rakennetaan vain ensimmäiseen koordinaattineljännekseen.
Määritelmän laajuus perusfunktioiden esimerkissä
Matematiikan arsenaalissa on pieni määrä yksinkertaisia, määriteltyjä funktioita. Niiden soveltamisala on rajoitettu. Tämän ongelman ratkaisu ei aiheuta vaikeuksia, vaikka sinulla olisi edessäsi niin kutsuttu monimutkainen toiminto. Se on vain yhdistelmä useista yksinkertaisista.
- Joten funktio voi olla murtoluku, esimerkiksi: f(x)=1/x. Siten muuttuja (argumenttimme) on nimittäjässä, ja kaikki tietävät, että murtoluvun nimittäjä ei voi olla yhtä suuri kuin 0, joten argumentti voi saada minkä tahansa arvon paitsi 0. Merkintätapa näyttää tältä: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Jos nimittäjässä on jokin lauseke, jossa on muuttuja, sinun on ratkaistava x:n yhtälö ja jätettävä pois arvot, jotka muuttavat nimittäjän 0:ksi. Kaavamaiseen esitykseen riittää 5 hyvin valittua pistettä. Tämän funktion kuvaaja on hyperbola, jonka pystysuora asymptootti kulkee pisteen (0; 0) ja yhdessä Ox- ja Oy-akselien kautta. Jos graafinen kuva leikkaa asymptoottien, tällaista virhettä pidetään karkeimpana.
- Mutta mikä on juuren toimialue? Myös muuttujan sisältävän funktion alueella, jossa on radikaalilauseke (f(x)=√(2x + 5)), on omat vivahteensa (koskee vain parillisen asteen juuria). Kutenaritmeettinen juuri on positiivinen lauseke tai yhtä suuri kuin 0, silloin juurilausekkeen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin 0, ratkaisemme seuraavan epäyhtälön: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, joten tämän toimialue funktio: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Kaavio on yksi 90 astetta kierretyn paraabelin haaroista, joka sijaitsee ensimmäisessä koordinaattineljänneksessä.
- Jos kyseessä on logaritminen funktio, niin sinun tulee muistaa, että logaritmin kantaan ja logaritmin etumerkin alla olevaan lausekkeeseen liittyy rajoitus, tässä tapauksessa määritelmän alue löytyy mm. seuraa. Meillä on funktio: y=loga(x + 7), ratkaisemme epäyhtälön: x + 7 > 0, x > -7. Tällöin tämän funktion toimialue on D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Kiinnitä huomiota myös trigonometrisiin funktioihin, jotka ovat muotoa y=tgx ja y=ctgx, koska y=tgx=sinx/cos/x ja y=ctgx=cosx/sinx, joten arvot on jätettävä pois. jossa nimittäjä voi olla nolla. Jos tunnet trigonometristen funktioiden kaaviot, niiden toimialueen ymmärtäminen on yksinkertainen tehtävä.
Miten monimutkaisten funktioiden kanssa työskentely on erilaista
Muista muutama perussääntö. Jos työskentelemme monimutkaisen funktion kanssa, ei tarvitse ratkaista jotain, yksinkertaistaa, lisätä murtolukuja, vähentää alimpaan yhteiseen nimittäjään ja poimia juuria. Meidän on tutkittava tämä toiminto, koska erilaiset (jopa identtiset) toiminnot voivat muuttaa funktion laajuutta, mikä johtaa väärään vastaukseen.
Esimerkiksi meillä on monimutkainen funktio: y=(x2 - 4)/(x - 2). Emme voi pienentää murtoluvun osoittajaa ja nimittäjää, koska tämä on mahdollista vain, jos x ≠ 2, ja tämä on tehtävä funktion toimialueen löytämisessä, joten emme ota kertojaa kertomatta emmekä ratkaise epäyhtälöitä, koska arvo, jolla funktiota ei ole olemassa, näkyy paljaalla silmällä. Tässä tapauksessa x ei voi ottaa arvoa 2, koska nimittäjä ei voi mennä nollaan, merkintätapa näyttää tältä: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Pisäisfunktiot
Aluksi on syytä sanoa, että funktio voi muuttua palautuvaksi vain kasvu- tai vähennysvälillä. Käänteisfunktion löytämiseksi sinun on vaihdettava x ja y merkinnöissä ja ratkaistava x:n yhtälö. Määritelmäalueet ja arvoalueet ovat yksinkertaisesti käänteisiä.
Käänteisyyden pääehto on funktion monotoninen intervalli, jos funktiolla on kasvu- ja laskuvälejä, on mahdollista muodostaa minkä tahansa intervallin käänteisfunktio (kasvava tai laskeva).
Esimerkiksi eksponentiaalisen funktion y=exkäänteisluku on luonnollinen logaritminen funktio y=logea=lna. Trigonometriassa nämä ovat funktioita, joiden etuliite on arc-: y=sinx ja y=arcsinx ja niin edelleen. Kaaviot sijoitetaan symmetrisesti joidenkin akselien tai asymptoottien suhteen.
Johtopäätökset
Hyväksyttyjen arvojen alueen etsiminen tarkoittaa funktiokaavion (jos sellainen on) tutkimista.tallentaa ja ratkaista tarvittava erityinen epäyhtälöjärjestelmä.
Joten, tämä artikkeli auttoi sinua ymmärtämään, mitä funktion laajuus on tarkoitettu ja miten se löytyy. Toivomme, että se auttaa sinua ymmärtämään peruskoulun kurssin hyvin.
