On mahdotonta väittää, että osaat matematiikkaa, jos et osaa piirtää kaavioita, piirtää epäyhtälöitä koordinaattisuoralle ja työskennellä koordinaattiakseleiden kanssa. Tieteessä visuaalinen komponentti on elintärkeä, koska ilman visuaalisia esimerkkejä kaavoissa ja laskelmissa voi joskus hämmentyä. Tässä artikkelissa opimme työskentelemään koordinaattiakseleiden kanssa ja opimme rakentamaan yksinkertaisia funktiokaavioita.
Hakemus
Koordinaattiviiva on perusta yksinkertaisimmille kaaviotyypeille, joita opiskelija kohtaa koulutuspolullaan. Sitä käytetään lähes kaikissa matemaattisissa aiheissa: laskettaessa nopeutta ja aikaa, heijastettaessa objektien kokoa ja laskettaessa niiden pinta-alaa, trigonometriassa sinien ja kosinien kanssa työskennellessä.
Tällaisen suoran linjan tärkein arvo on näkyvyys. Koska matematiikka on tiedettä, joka vaatii korkeatasoista abstraktia ajattelua, graafit auttavat esittämään esinettä todellisessa maailmassa. Kuinka hän käyttäytyy? Missä avaruuden pisteessämuutama sekunti, minuutti, tunti? Mitä siitä voidaan sanoa verrattuna muihin esineisiin? Mikä on sen nopeus satunnaisesti valituna aikana? Kuinka luonnehtia hänen liikettä?
Ja puhumme nopeudesta syystä - se näytetään usein funktiokaavioina. Ja ne voivat myös näyttää lämpötilan tai paineen muutokset kohteen sisällä, sen koon ja suunnan suhteessa horisonttiin. Siten koordinaattiviivan rakentamista vaaditaan usein myös fysiikassa.
Yksiulotteinen kaavio
On olemassa moniulotteisuuden käsite. Yksiulotteisessa avaruudessa vain yksi numero riittää määrittämään pisteen sijainnin. Juuri näin on koordinaattiviivan käytössä. Jos tila on kaksiulotteinen, tarvitaan kaksi numeroa. Tämän tyyppisiä kaavioita käytetään paljon useammin, ja tarkastelemme niitä varmasti hieman myöhemmin artikkelissa.
Mitä voidaan nähdä akselin pisteiden avulla, jos akselia on vain yksi? Näet kohteen koon, sen sijainnin avaruudessa suhteessa johonkin "nollaan" eli referenssipisteeksi valittuun pisteeseen.
Parametrien muutos ajan myötä ei ole näkyvissä, koska kaikki lukemat näkyvät tietyn hetken ajan. Jostain on kuitenkin aloitettava! Joten aloitetaan.
Koordinaattiakselin rakentaminen
Ensin sinun on piirrettävä vaakaviiva - tämä on akselimme. "Terä" oikealla puolella niin, että se näyttää nuolelta. Siten osoitamme suunnan, johon numerot tulevatlisääntyä. Alaspäin nuolta ei yleensä sijoiteta. Perinteisesti akseli osoittaa oikealle, joten noudatamme vain tätä sääntöä.
Asetetaan nollamerkki, joka näyttää koordinaattien origon. Tämä on juuri paikka, josta lähtölaskenta otetaan, olipa kyseessä sitten koko, paino, nopeus tai jokin muu. Nollan lisäksi meidän on välttämättä määritettävä ns. jakohinta, eli otettava käyttöön yksikköstandardi, jonka mukaan piirretään tietyt suuret akselille. Tämä on tehtävä, jotta koordinaattiviivan janan pituus voidaan löytää.
Aseta viivalle yhtä suuren etäisyyden päässä toisistaan pisteitä tai "lovuksia" ja kirjoita niiden alle vastaavasti 1, 2, 3 ja niin edelleen. Ja nyt kaikki on valmista. Mutta tuloksena olevan aikataulun avulla sinun on silti opittava työskentelemään.
Pistetyypit koordinaattiviivalla
Oppikirjoissa ehdotettujen piirustusten ensisilmäyksellä käy selväksi: akselin pisteet voidaan täyttää tai jättää täyttämättä. Onko se mielestäsi sattumaa? Ei lainkaan! "Kiinteää" pistettä käytetään ei-tiukalla epätasa-arvolla - sellaisella, joka on "suurempi tai yhtä suuri kuin". Jos meidän on rajoitettava tiukasti väliä (esimerkiksi "x" voi ottaa arvot nollasta yhteen, mutta ei sisällä sitä), käytämme "onttoa" pistettä, joka on itse asiassa pieni ympyrä akselilla. On huomattava, että opiskelijat eivät todellakaan pidä tiukasta eriarvoisuudesta, koska niiden kanssa on vaikeampi työskennellä.
Riippuen siitä, mitä pisteitäKäytä kaaviossa, myös rakennetut intervallit kutsutaan. Jos eriarvoisuus molemmilla puolilla ei ole tiukka, saadaan segmentti. Jos toisa alta se osoittautuu "avoimeksi", sitä kutsutaan puoliväliksi. Lopuksi, jos osa suorasta on molemmin puolin rajattu ontoihin pisteisiin, sitä kutsutaan intervalliksi.
lentokone
Koordinaattitasolle rakennettaessa kahta suoraa voidaan jo ottaa huomioon funktioiden kuvaajat. Oletetaan, että vaakaviiva on aika-akseli ja pystyviiva on etäisyys. Ja nyt voimme määrittää, minkä etäisyyden kohde ylittää minuutin tai tunnin matkan aikana. Siten tason kanssa työskentely mahdollistaa kohteen tilan muutoksen seurannan. Tämä on paljon mielenkiintoisempaa kuin staattisen tilan tutkiminen.
Yksinkertaisin kuvaaja sellaisella tasolla on suora, se heijastaa funktiota Y(X)=aX + b. Taipuuko linja? Tämä tarkoittaa, että esine muuttaa ominaisuuksiaan tutkimuksen aikana.
Kuvittele, että seisot rakennuksen katolla ja pidät kiviä ojennetussa kädessäsi. Kun vapautat sen, se lentää alas aloittaen liikkeensä nollanopeudesta. Mutta sekunnissa hän ylittää 36 kilometriä tunnissa. Kivi jatkaa kiihtymistä ja piirtääksesi sen liikkeen karttaan, sinun on mitattava sen nopeus useissa kohdissa asettamalla pisteet akselille sopiviin paikkoihin.
Vaakakoordinaattiviivalla olevat merkit ovat oletusarvoisesti nimettyjä X1, X2, X3 ja pystysuorassa - Y1, Y2, Y3. ulkonevane tasoon ja löytää risteyksiä, löydämme fragmentteja tuloksena olevasta kuviosta. Yhdistämällä ne yhdellä rivillä saamme funktion kaavion. Putoavan kiven tapauksessa neliöfunktio näyttää tältä: Y(X)=aXX + bX + c.
Asteikko
Ei tietenkään ole tarpeen laittaa kokonaislukuja jakolaskujen viereen suoralla viivalla. Jos harkitset 0,03 metrin minuuttinopeudella ryömivän etanan liikettä, aseta arvoiksi koordinaattimurto. Aseta tässä tapauksessa asteikkoarvoksi 0,01 metriä.
Tällaisia piirustuksia on erityisen kätevää tehdä muistikirjassa häkissä - tästä näet heti, onko arkilla tarpeeksi tilaa kaaviollesi, jos ylität marginaalit. Voimaasi ei ole vaikea laskea, koska tällaisen muistikirjan solun leveys on 0,5 senttimetriä. Se kesti - pienensi kuvaa. Muutokset kaavion mittakaavassa eivät aiheuta sen menettämistä tai ominaisuuksien muuttamista.
Piste- ja janakoordinaatit
Kun matemaattinen tehtävä annetaan oppitunnilla, se voi sisältää erilaisten geometristen muotojen parametreja sekä sivujen pituuksien, kehä-, pinta-alan että koordinaattien muodossa. Tässä tapauksessa saatat joutua rakentamaan muodon ja hankkimaan siihen liittyviä tietoja. Herää kysymys: kuinka löytää tarvittavat tiedot koordinaattiviivasta? Ja kuinka rakentaa muoto?
Puhumme esimerkiksi pisteestä. Sitten iso kirjain ilmestyy ongelman tilaan ja useita numeroita näkyy suluissa, useimmiten kaksi (tämä tarkoittaa, että laskemme kaksiulotteisessa avaruudessa). Jos suluissa on kolme numeroa erotettuna puolipisteellä tai pilkulla, tämä on kolmiulotteinen tila. Jokainen arvo on koordinaatti vastaavalla akselilla: ensin vaakasuuntaisesti (X), sitten pystysuoraan (Y).
Muistatko kuinka jana piirretään? Ohitit sen geometriasta. Jos pisteitä on kaksi, niiden väliin voidaan vetää viiva. Niiden koordinaatit on merkitty suluissa, jos tehtävässä esiintyy segmentti. Esimerkki: A(15, 13) - B(1, 4). Tällaisen suoran rakentamiseksi sinun on löydettävä ja merkittävä pisteet koordinaattitasolle ja yhdistettävä ne sitten. Siinä se!
Ja kaikki polygonit, kuten tiedät, voidaan piirtää segmenteillä. Ongelma ratkaistu.
Laskelmat
Oletetaan, että on olemassa objekti, jonka sijaintia X-akselilla kuvaa kaksi numeroa: se alkaa pisteestä, jonka koordinaatti on (-3) ja päättyy (+2). Jos haluamme tietää tämän objektin pituuden, meidän on vähennettävä pienempi luku suuremmasta numerosta. Huomaa, että negatiivinen luku absorboi vähennyksen etumerkin, koska "miinus kertaa miinus on yhtä suuri kuin plus". Joten lisäämme (2+3) ja saamme 5. Tämä on vaadittu tulos.
Toinen esimerkki: meille annetaan kohteen loppupiste ja pituus, mutta ei aloituspistettä (ja meidän on löydettävä se). Olkoon tunnetun pisteen sijainti (6) ja tutkittavan kohteen koko (4). Vähentämällä pituus lopullisesta koordinaatista, saamme vastauksen. Yhteensä: (6 - 4)=2.
Negatiiviset luvut
Käytännössä vaaditaan usein työskentelyä negatiivisten arvojen kanssa. Tässä tapauksessa teemmesiirry vasemmalle koordinaattiakselia pitkin. Esimerkiksi 3 senttimetriä korkea esine kelluu vedessä. Kolmasosa siitä on upotettu nesteeseen, kaksi kolmasosaa on ilmassa. Sitten, kun valitaan akseliksi veden pinta, saadaan kaksi numeroa yksinkertaisimmilla aritmeettisilla laskelmilla: kohteen yläpisteellä on koordinaatti (+2) ja alimmalla - (-1) senttimetri.
On helppo nähdä, että tason tapauksessa meillä on neljä neljäsosaa koordinaattiviivasta. Jokaisella niistä on oma numeronsa. Ensimmäisessä (oikeassa ylhäällä) osassa on pisteitä, joilla on kaksi positiivista koordinaattia, toisessa - vasemmassa yläkulmassa - X-akselin arvot ovat negatiivisia ja Y-akselilla - positiivisia. Kolmas ja neljäs lasketaan edelleen vastapäivään.
Tärkeä ominaisuus
Tiedät, että viiva voidaan esittää äärettömänä määränä pisteitä. Voimme tarkastella niin tarkasti kuin haluamme mitä tahansa arvoa akselin jokaisessa suunnassa, mutta emme tapaa toistuvia. Se vaikuttaa naivilta ja ymmärrettävältä, mutta väite johtuu tärkeästä tosiasiasta: jokainen luku vastaa yhtä ja vain yhtä pistettä koordinaattiviivalla.
Johtopäätös
Muista, että kaikki akselit, hahmot ja, jos mahdollista, grafiikka on rakennettava viivaimelle. Mittayksiköt eivät ole ihmisen keksimiä sattum alta - jos teet virheen piirtämisessä, on vaara, että näet erilaisen kuvan kuin sen olisi pitänyt olla.
Ole varovainen ja tarkka piirtämisessä ja laskelmissa. Kuten kaikki koulussa opiskelut tieteet, matematiikka rakastaa tarkkuutta. Vähän vaivaa ja hyväarvioinnit eivät ole kauan tulossa.
