Mikä on aritmetiikka? Milloin ihmiskunta alkoi käyttää numeroita ja työskennellä niiden kanssa? Minne menevät sellaisten arkipäiväisten käsitteiden kuin luvut, murto-luvut, vähennys-, yhteen- ja kertolaskujen juuret, joista ihminen on tehnyt erottamattoman osan elämäänsä ja maailmankuvaansa? Muinaisen kreikkalaisen mielet ihailivat tieteitä, kuten matematiikkaa, aritmetiikkaa ja geometriaa ihmislogiikan kauneimpina sinfonioina.
Ehkä aritmetiikka ei ole yhtä syvällistä kuin muut tieteet, mutta mitä niille tapahtuisi, jos ihminen unohtaisi alkeiskertotaulukon? Meille tyypillinen looginen ajattelu, jossa käytettiin lukuja, murtolukuja ja muita työkaluja, ei ollut helppoa ihmisille ja oli pitkään ulottumattomissa esi-isillemme. Itse asiassa, ennen aritmetiikkaa, mikään ihmistiedon alue ei ollut todella tieteellinen.
Aritmetiikka on matematiikan ABC
Aritmetiikka on lukutiede, jonka avulla kuka tahansa alkaa tutustua matematiikan kiehtovaan maailmaan. Kuten M. V. Lomonosov sanoi, aritmetiikka on oppimisen portti, joka avaa meille tien maailmantietoisuuteen. Mutta hän on oikeassaOnko maailmantieto erotettavissa numeroiden ja kirjainten, matematiikan ja puheen tiedosta? Ehkä ennen vanhaan, mutta ei nykymaailmassa, jossa tieteen ja tekniikan nopea kehitys sanelee omat lakinsa.
Kreikkalaista alkuperää oleva sana "aritmetiikka" (kreikaksi "aritmos") tarkoittaa "lukua". Hän tutkii numeroita ja kaikkea, mikä niihin voi liittyä. Tämä on lukujen maailma: erilaisia lukuoperaatioita, numeerisia sääntöjä, kerto-, vähennys- jne. ongelmien ratkaisemista.
On yleisesti hyväksyttyä, että aritmetiikka on matematiikan alkuaskel ja vankka perusta sen monimutkaisemmille osille, kuten algebralle, matemaattiselle analyysille, korkeammalle matematiikalle jne.
Aritmeettisen pääobjektin
Aritmetiikan perusta on kokonaisluku, jonka ominaisuuksia ja kuvioita tarkastellaan korkeammassa aritmetiikassa tai lukuteoriassa. Itse asiassa koko rakennuksen vahvuus - matematiikka - riippuu siitä, kuinka oikea lähestymistapa on otettu huomioon niin pienen kappaleen pitämisessä luonnollisena lukuna.
Siksi kysymykseen, mitä aritmetiikka on, voidaan vastata yksinkertaisesti: se on numerotiede. Kyllä, noin tavallisesta seitsemästä, yhdeksästä ja kaikesta tästä monimuotoisesta yhteisöstä. Ja aivan kuten et voi kirjoittaa hyvää tai edes keskinkertaista runoutta ilman alkeellisia aakkosia, et voi ratkaista edes alkeistehtävää ilman aritmetiikkaa. Siksi kaikki tieteet edistyivät vasta aritmetiikan ja matematiikan kehityksen jälkeen, ennen kuin ne olivat vain joukko olettamuksia.
Aritmetiikka on haamutiede
Mitä on aritmetiikka - luonnontiede vai haamu? Itse asiassa, kuten antiikin kreikkalaiset filosofit väittivät, todellisuudessa ei ole olemassa numeroita eikä lukuja. Tämä on vain haamu, joka syntyy ihmisen ajatteluun, kun se pohtii ympäristöä prosesseineen. Todellakin, mikä on numero? Missään ei näe mitään sellaista, mitä voitaisiin kutsua numeroksi, pikemminkin numero on ihmismielen tapa tutkia maailmaa. Tai ehkä se on itsemme tutkimista sisältäpäin? Filosofit ovat kiistelleet tästä monta vuosisataa peräkkäin, joten emme ryhdy antamaan tyhjentävää vastausta. Tavalla tai toisella aritmetiikka on onnistunut ottamaan paikkansa niin lujasti, että nykymaailmassa ketään ei voida pitää sosiaalisesti sopeutuneena tietämättä sen perusteita.
Kuinka luonnollinen luku ilmestyi
Tietenkin pääobjekti, jolla aritmetiikka toimii, on luonnollinen luku, kuten 1, 2, 3, 4, …, 152… jne. Luonnollisten lukujen aritmetiikka on tulosta tavallisten esineiden, kuten niityllä olevien lehmien, laskemisesta. Silti määritelmä "paljon" tai "vähän" ei koskaan sopinut ihmisille, ja heidän piti keksiä edistyneempiä laskentatekniikoita.
Mutta todellinen läpimurto tapahtui, kun ihmisajattelu saavutti pisteen, että on mahdollista määritellä 2 kiloa ja 2 tiiliä ja 2 osaa samalla numerolla "kaksi". Tosiasia on, että sinun on vedettävä esineiden muodoista, ominaisuuksista ja merkityksestä, niin voit suorittaa joitain toimintoja näiden kohteiden kanssa luonnollisten lukujen muodossa. Näin syntyi lukujen aritmetiikka, jokakehitetään ja laajennetaan, ja niillä on yhä suurempi asema yhteiskunnan elämässä.
Sellaisilla syvällisillä lukukäsitteillä kuin nolla ja negatiivinen luku, murtoluvut, lukujen nimeämiset numeroilla ja muilla tavoilla on rikas ja mielenkiintoinen kehityshistoria.
Aritmeettiset ja käytännölliset egyptiläiset
Kaksi vanhinta ihmiskumppania ympäröivän maailman tutkimisessa ja arjen ongelmien ratkaisemisessa ovat aritmetiikka ja geometria.
Aritmeettisen historian uskotaan saaneen alkunsa muinaisesta idästä: Intiasta, Egyptistä, Babylonista ja Kiinasta. Siten egyptiläistä alkuperää oleva Rinda-papyrus (niin nimetty, koska se kuului samannimiselle omistajalle), joka on peräisin 1900-luvulta. BC sisältää muun arvokkaan tiedon lisäksi yhden murtoluvun laajennuksen murtolukujen summaksi, joilla on eri nimittäjä ja osoittaja, joka on yhtä suuri.
Esimerkki: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Mutta mitä järkeä on niin monimutkaisella hajoamisella? Tosiasia on, että egyptiläinen lähestymistapa ei sietänyt abstrakteja ajatuksia numeroista, päinvastoin, laskelmia tehtiin vain käytännön tarkoituksiin. Toisin sanoen egyptiläinen ryhtyy sellaiseen asiaan kuin laskelmiin, vain rakentaakseen esimerkiksi haudan. Oli tarpeen laskea rakenteen reunan pituus, ja tämä pakotti ihmisen istumaan papyruksen taakse. Kuten näette, egyptiläisten laskelmien edistyminen johtui ennemminkin massarakennuksesta kuin rakkaudesta tieteeseen.
Tästä syystä papyruksista löydettyjä laskelmia ei voida kutsua pohdiskeluiksi murtolukuaiheesta. Todennäköisesti tämä on käytännön valmistelu, joka auttoi tulevaisuudessa.ratkaise ongelmia murtoluvuilla. Muinaiset egyptiläiset, jotka eivät tunteneet kertotauluja, tekivät melko pitkiä laskelmia, jotka jakautuivat moniin osatehtäviin. Ehkä tämä on yksi niistä alatehtävistä. On helppo nähdä, että laskelmat tällaisten työkappaleiden kanssa ovat erittäin työläitä ja lupaamattomia. Ehkä tästä syystä emme näe muinaisen Egyptin suurta panosta matematiikan kehitykseen.
Muinainen Kreikka ja filosofinen aritmetiikka
Muinaiset kreikkalaiset, kuuluisat abstraktien, abstraktien ja filosofisten pohdiskelujen ystävät, hallitsivat monet muinaisen idän tiedot. He eivät olleet vähemmän kiinnostuneita käytännöstä, mutta parhaita teoreetikoita ja ajattelijoita on vaikea löytää. Tämä on hyödyttänyt tiedettä, koska aritmetiikkaan on mahdotonta syventyä irrottamatta sitä todellisuudesta. Toki voit kertoa 10 lehmää ja 100 litraa maitoa, mutta et pääse kovin pitkälle.
Syvästi ajattelevat kreikkalaiset jättivät merkittävän jäljen historiaan, ja heidän kirjoituksensa ovat tulleet meille:
- Euclid and the Elements.
- Pythagoras.
- Arkhimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Ja tietysti kreikkalaiset, jotka muuttivat kaiken filosofiaksi, ja erityisesti Pythagoraan työn jatkajat, kiehtoivat numerot niin paljon, että he pitivät niitä maailman harmonian mysteerinä. Lukuja on tutkittu ja tutkittu siinä määrin, että osalle niistä ja niiden pareista on annettu erityisiä ominaisuuksia. Esimerkki:
- Täydelliset luvut ovat niitä, jotka ovat yhtä suuria kuin niiden jakajien summa, paitsi itse luku (6=1+2+3).
- Ystävälliset numerot ovat niitä numeroita, joista yksion yhtä suuri kuin toisen jakajien summa ja päinvastoin (pythagoralaiset tunsivat vain yhden sellaisen parin: 220 ja 284).
Kreikkalaiset, jotka uskoivat, että tiedettä pitäisi rakastaa eikä olla sen kanssa voiton vuoksi, saavuttivat suuren menestyksen tutkimalla, soittamalla ja lisäämällä numeroita. On huomattava, että kaikkia heidän tutkimuksiaan ei käytetty laaj alti, osa heistä jäi vain "kauneuden vuoksi".
Keskiajan itäiset ajattelijat
Samalla tavalla keskiajalla aritmetiikka on kehittynyt itämaisten aikalaisten ansiosta. Intiaanit antoivat meille aktiivisesti käyttämämme numerot, kuten "nolla" ja nykyaikaiselle havainnolle tutun laskennan sijaintiversion. Al-Kashilta, joka työskenteli Samarkandissa 1400-luvulla, saimme desimaalimurtoluvut, joita ilman on vaikea kuvitella nykyaikaista aritmetiikkaa.
Eurooppalainen tutustuminen idän saavutuksiin tuli monella tapaa mahdolliseksi italialaisen tiedemiehen Leonardo Fibonaccin työn ansiosta. Hän kirjoitti teoksen "Abakuksen kirja", joka esitteli itämaisia innovaatioita. Siitä tuli algebran ja aritmetiikan, tutkimuksen ja tieteellisen toiminnan kehityksen kulmakivi Euroopassa.
Venäjän aritmetiikka
Ja lopuksi aritmetiikka, joka löysi paikkansa ja juurtui Euroopassa, alkoi levitä Venäjän maille. Ensimmäinen venäläinen aritmetiikka julkaistiin vuonna 1703 - se oli Leonty Magnitskyn aritmetiikkaa käsittelevä kirja. Se oli pitkään ainoa matematiikan oppikirja. Se sisältää algebran ja geometrian alkuhetket. Venäjän ensimmäisen aritmeettisen oppikirjan esimerkeissä käytetyt numerot ovat arabialaisia. Vaikka arabialaisia numeroita on nähty aiemminkin, 1600-luvulta peräisin olevissa kaiverruksissa.
Kirja on koristeltu Arkhimedesen ja Pythagoraan kuvilla, ja ensimmäisessä arkissa - aritmeettinen kuva naisen muodossa. Hän istuu v altaistuimella, hänen alle on kirjoitettu hepreaksi Jumalan nimeä ilmaiseva sana ja v altaistuimelle vievien portaiden päälle on kaiverrettu sanat "jako", "kerto", "lisäys" jne. totuuksia joita pidetään nykyään yleisinä.
600-sivuinen oppikirja kattaa sekä perusasiat, kuten yhteen- ja kertolaskutaulukot sekä navigointitieteiden sovellukset.
Ei ole yllättävää, että kirjailija valitsi kirjaansa kreikkalaisten ajattelijoiden kuvia, koska hän itse oli kiehtonut aritmetiikan kauneutta sanoen: "Aritmetiikka on osoittaja, on taidetta rehellistä, kadehdimatonta…". Tämä lähestymistapa aritmetiikkaan on varsin perusteltu, koska sen laajaa käyttöönottoa voidaan pitää Venäjän tieteellisen ajattelun nopean kehityksen ja yleissivistävän kehityksen alkuna.
Unprime-alkuluvut
Alkuluku on luonnollinen luku, jolla on vain 2 positiivista jakajaa: 1 ja itse. Kaikkia muita lukuja 1 lukuun ottamatta kutsutaan yhdistelmäluvuiksi. Esimerkkejä alkuluvuista: 2, 3, 5, 7, 11 ja kaikki muut, joilla ei ole muita jakajia kuin 1 ja itsensä.
Mitä tulee numeroon 1, se on erityisellä tilillä - on sopimus, että sitä ei pidä pitää yksinkertaisena eikä yhdistelmänä. Ensi silmäyksellä yksinkertainen numero kätkee sisällään monia ratkaisemattomia mysteereitä.
Eukleideen lause sanoo, että alkulukuja on ääretön määrä, ja Eratosthenes keksi erityisen aritmeettisen "seulan", joka eliminoi ei-alkuluvut jättäen vain yksinkertaiset.
Sen ydin on alleviivata ensimmäinen yliviivaamaton luku ja sen jälkeen yliviivata ne, jotka ovat sen kerrannaisia. Toistamme tämän menettelyn monta kertaa - ja saamme alkulukutaulukon.
Aritmetiikan peruslause
Alkulukuja koskevissa havainnoissa on erityisellä tavalla mainittava aritmeettisen peruslause.
Aritmetiikan peruslause sanoo, että mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, on joko alkuluku tai se voidaan hajottaa alkulukujen tuloksi tekijöiden järjestykseen asti ja ainutlaatuisella tavalla.
Aritmetiikan päälause on osoittautunut melko hankalaksi, eikä sen ymmärtäminen enää näytä yksinkertaisimmilta perusasioista.
Alkuluvut ovat ensi silmäyksellä alkeiskäsite, mutta eivät sitä ole. Fysiikka myös piti atomia aikoinaan alkeisaineena, kunnes se löysi sisällään koko maailmankaikkeuden. Matemaatikko Don Tzagirin upea tarina "First Fifty Million Primes" on omistettu alkuluvuille.
"kolmesta omenasta" deduktiivisiin lakeihin
Se mitä voidaan todella kutsua kaiken tieteen vahvistetuksi perustaksi, ovat aritmeettiset lait. Jo lapsuudessa jokainen joutuu kohtaamaan aritmetiikkaa, tutkien nukkejen jalkojen ja käsivarsien määrää,kuutioiden, omenoiden jne. määrä. Näin opimme aritmetiikkaa, joka sitten siirtyy monimutkaisempiin sääntöihin.
Koko elämämme tutustuttaa meidät aritmeettisiin sääntöihin, joista on tullut tavallisille ihmisille hyödyllisintä kaikesta, mitä tiede antaa. Numeroiden tutkimus on "aritmeettinen vauva", joka tuo ihmisen numeroiden maailmaan lukujen muodossa varhaislapsuudessa.
Korkeampi aritmetiikka on deduktiivinen tiede, joka tutkii aritmetiikan lakeja. Tunnemme useimmat niistä, vaikka emme ehkä tiedä niiden tarkkaa sanamuotoa.
Yksi- ja kertolaskulaki
Kaksi mitä tahansa luonnollista lukua a ja b voidaan ilmaista summana a+b, joka on myös luonnollinen luku. Lisäykseen sovelletaan seuraavia lakeja:
- Kommutatiivinen, joka sanoo, että summa ei muutu termien uudelleenjärjestelystä tai a+b=b+a.
- Associative, joka sanoo, että summa ei riipu tavasta, jolla termit on ryhmitelty paikkoihin, tai a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Aritmeettiset säännöt, kuten yhteenlasku, ovat alkeellisimpia, mutta niitä käyttävät kaikki tieteet, arkielämästä puhumattakaan.
Kaksi mitä tahansa luonnollista lukua a ja b voidaan ilmaista tulona ab tai ab, joka on myös luonnollinen luku. Samat kommutatiiviset ja assosiatiiviset lait koskevat tuotetta kuin lisäystä:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Ihmettelenettä on olemassa laki, joka yhdistää yhteen- ja kertolaskunsa, jota kutsutaan myös distributiiviseksi tai distributiiviseksi laiksi:
a(b+c)=ab+ac
Tämä laki itse asiassa opettaa meitä työskentelemään hakasulkeiden kanssa laajentamalla niitä, joten voimme työskennellä monimutkaisemmilla kaavoilla. Nämä ovat lait, jotka ohjaavat meitä algebran oudossa ja monimutkaisessa maailmassa.
Aritmeettisen järjestyksen laki
Ihmislogiikka käyttää järjestyksen lakia päivittäin, vertaamalla kelloja ja laskemalla seteleitä. Ja siitä huolimatta se on muotoiltava erityisten formulaatioiden muodossa.
Jos meillä on kaksi luonnollista lukua a ja b, niin seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:
- a on b, tai a=b;
- a on pienempi kuin b tai a < b;
- a on suurempi kuin b tai a > b.
Kolmesta vaihtoehdosta vain yksi voi olla oikeudenmukainen. Järjestystä hallitseva peruslaki sanoo: jos a < b ja b < c, niin a< c.
Myös kerto- ja yhteenlaskujärjestystä koskevat lait: jos a< on b, niin a + c < b+c ja ac< bc.
Aritmeettiset lait opettavat meitä työskentelemään numeroiden, merkkien ja hakasulkujen kanssa ja muuttaen kaiken harmoniseksi numeroiden sinfoniaksi.
Sijainnin ja ei-paikannuslaskenta
Voidaan sanoa, että luvut ovat matemaattinen kieli, jonka mukavuudesta riippuu paljon. On olemassa monia lukujärjestelmiä, jotka, kuten eri kielten aakkoset, eroavat toisistaan.
Katsotaanpa lukujärjestelmiä aseman vaikutuksen kvantitatiiviseen arvoon näkökulmastanumerot tässä asennossa. Joten esimerkiksi roomalainen järjestelmä on ei-sijainti, jossa jokainen numero on koodattu tietyllä erikoismerkkijoukolla: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Ne ovat vastaavasti yhtä suuria kuin numerot 1 / 5/10/50/100/500/ 1000. Tällaisessa järjestelmässä numero ei muuta sen kvantitatiivista määritelmää riippuen siitä, missä asemassa se on: ensimmäinen, toinen jne. Saadaksesi muita lukuja, sinun on lisättävä perusluvut. Esimerkki:
- DCC=700.
- CCM=800.
Meille tutumpi numerojärjestelmä arabialaisilla numeroilla on paikkakohtainen. Tällaisessa järjestelmässä luvun numero määrittää numeroiden määrän, esimerkiksi kolminumeroiset luvut: 333, 567 jne. Minkä tahansa numeron paino riippuu paikasta, jossa tämä tai tuo numero sijaitsee, esimerkiksi toisessa paikassa olevan numeron 8 arvo on 80. Tämä on tyypillistä desimaalijärjestelmälle, on muitakin paikkajärjestelmiä, esim., binääri.
Binääriaritmetiikka
Meille on tuttu desimaalijärjestelmä, joka koostuu yksinumeroisista ja moninumeroisista luvuista. Moninumeroisen luvun vasemmalla puolella oleva numero on kymmenen kertaa merkittävämpi kuin oikealla oleva. Olemme siis tottuneet lukemaan 2, 17, 467 jne. "Binääriaritmetiikka" -nimisellä jaksolla on täysin erilainen logiikka ja lähestymistapa. Tämä ei ole yllättävää, koska binääriaritmetiikkaa ei luotu ihmisen logiikkaa varten, vaan tietokonelogiikkaa varten. Jos lukujen aritmetiikka sai alkunsa esineiden laskemisesta, joka oli edelleen abstrahoitu kohteen ominaisuuksista "paljaaksi" aritmetiikkaksi, niin tämä ei toimi tietokoneella. Jotta voisi jakaaTietäen tietokonetta ihmisen täytyi keksiä tällainen laskumalli.
Binääriaritmetiikka toimii binääriaakkoston kanssa, joka koostuu vain 0:sta ja 1:stä. Ja tämän aakkoston käyttöä kutsutaan binäärijärjestelmäksi.
Binääriaritmeettisen ja desimaaliaritmeettisen erona on se, että vasemmalla olevan paikan merkitys ei ole enää 10, vaan 2 kertaa. Binääriluvut ovat muotoa 111, 1001 jne. Kuinka ymmärtää tällaiset luvut? Joten harkitse lukua 1100:
- Ensimmäinen numero vasemmalla on 18=8, muistaen, että neljäs numero, mikä tarkoittaa, että se on kerrottava kahdella, saa paikan 8.
- Toinen numero 14=4 (sijainti 4).
- Kolmas numero 02=0 (sijainti 2).
- Neljäs numero 01=0 (sijainti 1).
- Joten numeromme on 1100=8+4+0+0=12.
Toisin sanoen siirryttäessä uuteen numeroon vasemmalla, sen merkitys binäärijärjestelmässä kerrotaan 2:lla ja desimaaliluvulla 10:llä. Tällaisella järjestelmällä on yksi miinus: se on liian suuri lisäys numeroita, joita tarvitaan numeroiden kirjoittamiseen. Esimerkkejä desimaalilukujen esittämisestä binäärilukuina on seuraavassa taulukossa.
Desimaaliluvut binäärimuodossa näkyvät alla.
Sekä oktaali- että heksadesimaalijärjestelmiä käytetään myös.
Tämä salaperäinen aritmetiikka
Mitä on aritmetiikka, "kaksi kaksi" tai tutkimattomat numeroiden mysteerit? Kuten näet, aritmetiikka saattaa ensisilmäyksellä vaikuttaa yksinkertaiselta, mutta sen huomaamaton helppous on petollista. Sitä voivat myös opiskella lapset yhdessä pöllötädin kanssasarjakuva "Aritmetic-baby", ja voit uppoutua syvästi tieteelliseen tutkimukseen melkein filosofisesta järjestyksestä. Historiassa hän on siirtynyt esineiden laskemisesta numeroiden kauneuden palvomiseen. Vain yksi asia tiedetään varmasti: aritmeettisten peruspostulaattien vahvistamisen myötä kaikki tiede voi luottaa vahvaan olkapäähän.
