Matriisit: Gaussin menetelmä. Gauss-matriisilaskenta: Esimerkkejä

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Lineaarinen algebra, jota opetetaan yliopistoissa eri erikoisaloilla, yhdistää monia monimutkaisia aiheita. Jotkut niistä liittyvät matriiseihin sekä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisuun Gaussin ja Gauss-Jordanin menetelmillä. Kaikki opiskelijat eivät pysty ymmärtämään näitä aiheita, algoritmeja erilaisten ongelmien ratkaisemiseksi. Ymmärretään yhdessä Gaussin ja Gauss-Jordanin matriisit ja menetelmät.

Peruskäsitteet

Lineaarialgebran matriisi on suorakaiteen muotoinen elementtijoukko (taulukko). Alla on suluissa olevat elementit. Nämä ovat matriiseja. Yllä olevasta esimerkistä voidaan nähdä, että suorakaiteen muotoisten taulukoiden elementit eivät ole vain numeroita. Matriisi voi koostua matemaattisista funktioista, algebrallisista symboleista.

Jotkin käsitteiden ymmärtämiseksi tehdään matriisi A elementeistä a_ij. Indeksit eivät ole vain kirjaimia: i on taulukon rivin numero ja j sen sarakkeen numero, jonka leikkauspisteen elementti sijaitseea_ij. Joten näemme, että meillä on matriisi elementtejä, kuten a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ jne. Kirjain n tarkoittaa sarakkeiden lukumäärää ja kirjain m tarkoittaa rivien määrää. Symboli m × n ilmaisee matriisin mittaa. Tämä on käsite, joka määrittää rivien ja sarakkeiden lukumäärän suorakaiteen muotoisessa elementtijoukossa.

Matriisissa on valinnaisesti oltava useita sarakkeita ja rivejä. Dimensiolla 1 × n elementtijoukko on yksirivinen ja mitoiltaan m × 1 se on yhden sarakkeen taulukko. Kun rivien ja sarakkeiden määrä ovat yhtä suuret, matriisia kutsutaan neliöiksi. Jokaisella neliömatriisilla on determinantti (det A). Tämä termi viittaa numeroon, joka on määritetty matriisille A.

Muutamia muita tärkeitä käsitteitä, jotka on muistettava matriisien menestyksekkääseen ratkaisemiseen, ovat pää- ja toissijaiset diagonaalit. Matriisin päälävistäjä on diagonaali, joka menee alas pöydän oikeaan kulmaan vasemmasta yläkulmasta. Sivudiagonaali menee oikeaan kulmaan ylös vasemmasta kulmasta alha alta.

Askelmatriisinäkymä

Katso alla olevaa kuvaa. Siinä näet matriisin ja kaavion. Käsitellään ensin matriisia. Lineaarisessa algebrassa tällaista matriisia kutsutaan askelmatriisiksi. Sillä on yksi ominaisuus: jos a_ij on ensimmäinen nollasta poikkeava elementti i:nnellä rivillä, niin kaikki muut elementit alla olevasta matriisista a_{ij:n vasemmalla puolella} , ovat nollia (eli kaikki ne elementit, joille voidaan antaa kirjaintunnus a_kl, missä k>i jal<j).

Harkitse nyt kaaviota. Se heijastaa matriisin porrastettua muotoa. Kaavio näyttää 3 solutyyppiä. Jokainen tyyppi tarkoittaa tiettyjä elementtejä:

• tyhjät solut - matriisin nolla elementtiä;
• varjostetut solut ovat mieliv altaisia elementtejä, jotka voivat olla sekä nolla että poikkeava nolla;
• mustat neliöt ovat nollasta poikkeavia elementtejä, joita kutsutaan kulmaelementeiksi, "askeliksi" (niiden viereisessä matriisissa tällaisia elementtejä ovat numerot –1, 5, 3, 8).

Matriiseja ratkaistaessa joskus tuloksena on, että askeleen "pituus" on suurempi kuin 1. Tämä on sallittua. Vain portaiden "korkeudella" on merkitystä. Askelmatriisissa tämän parametrin on aina oltava yhtä suuri kuin yksi.

Matriisivähennys askelmuotoon

Mikä tahansa suorakulmainen matriisi voidaan muuntaa porrastettuun muotoon. Tämä tehdään alkeismuunnoksilla. Niihin kuuluvat:

• jonojen uudelleenjärjestely;
• Toisen rivin lisääminen yhdelle riville, tarvittaessa kerrottuna jollakin luvulla (voit myös tehdä vähennyslaskutoiminnon).

Katsotaan perusmuunnoksia tietyn ongelman ratkaisemisessa. Alla olevassa kuvassa on matriisi A, joka on pelkistettävä porrastettuun muotoon.

Ongelman ratkaisemiseksi noudatamme algoritmia:

• On kätevää suorittaa muunnoksia matriisissa käyttämälläensimmäinen elementti vasemmassa yläkulmassa (eli "johtava" elementti) on 1 tai -1. Meidän tapauksessamme ylimmän rivin ensimmäinen elementti on 2, joten vaihdetaan ensimmäinen ja toinen rivi.
• Suoritetaan riveihin 2, 3 ja 4 vaikuttavia vähennyslaskuoperaatioita. Ensimmäiseen sarakkeeseen "johtava"-elementin alle pitäisi saada nollia. Tämän tuloksen saavuttamiseksi: rivin nro 2 elementeistä vähennetään peräkkäin rivin nro 1 elementit kerrottuna kahdella; rivin nro 3 elementeistä vähennetään peräkkäin rivin nro 1 elementit kerrottuna 4:llä; rivin 4 elementeistä vähennämme rivin 1 elementit peräkkäin.
• Seuraavaksi työskentelemme typistetyn matriisin kanssa (ilman saraketta 1 ja ilman riviä 1). Uusi "johtava" elementti, joka seisoo toisen sarakkeen ja toisen rivin leikkauskohdassa, on yhtä suuri kuin -1. Rivejä ei tarvitse järjestää uudelleen, joten kirjoitamme ensimmäisen sarakkeen sekä ensimmäisen ja toisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Suoritetaan vähennysoperaatioita saadaksemme nollia toiseen sarakkeeseen "johtavan" elementin alle: kolmannen rivin elementeistä vähennetään peräkkäin toisen rivin elementit kerrottuna 3:lla; vähennä toisen rivin elementit kerrottuna 2:lla neljännen rivin alkioista.
• Viimeistä riviä on vielä muutettava. Sen elementeistä vähennetään peräkkäin kolmannen rivin elementit. Siten saimme porrastetun matriisin.

Matriisien pelkistämistä askelmuotoon käytetään lineaaristen yhtälöjärjestelmien (SLE) ratkaisemisessa Gaussin menetelmällä. Ennen kuin tarkastelemme tätä menetelmää, ymmärrämme joitain SLN:hen liittyviä termejä.

Matriisit ja lineaariyhtälöjärjestelmät

Matriiseja käytetään eri tieteissä. Lukutaulukoiden avulla voit esimerkiksi ratkaista lineaariyhtälöitä, jotka on yhdistetty systeemiksi Gaussin menetelmällä. Ensin tutustutaan muutamaan termiin ja niiden määritelmiin ja katsotaan myös kuinka matriisi muodostuu järjestelmästä, joka yhdistää useita lineaarisia yhtälöitä.

SLU – useita yhdistettyjä algebrallisia yhtälöitä, joiden ensimmäinen potenssi on tuntematon eikä tuotetermejä.

SLE-ratkaisu – löydetyt tuntemattomien arvot, jotka korvaavat järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi.

Yhdistetty SLE on yhtälöjärjestelmä, jolla on vähintään yksi ratkaisu.

Epäjohdonmukainen SLE on yhtälöjärjestelmä, jolla ei ole ratkaisuja.

Miten matriisi muodostetaan lineaarisia yhtälöitä yhdistävän järjestelmän perusteella? On olemassa sellaisia käsitteitä kuin järjestelmän pää- ja laajennetut matriisit. Järjestelmän päämatriisin saamiseksi on tarpeen laittaa taulukkoon kaikki tuntemattomien kertoimet. Laajennettu matriisi saadaan lisäämällä päämatriisiin vapaiden termien sarake (se sisältää tunnettuja elementtejä, joihin järjestelmän jokainen yhtälö rinnastetaan). Voit ymmärtää koko prosessin tutkimalla alla olevaa kuvaa.

Ensimmäinen asia, jonka näemme kuvassa, on järjestelmä, joka sisältää lineaariset yhtälöt. Sen elementit: a_ij – numeeriset kertoimet, x_j – tuntemattomat arvot, b_i – vakiotermit (jossa i=1, 2, …, m ja j=1, 2, …, n). Kuvan toinen elementti on kertoimien päämatriisi. Jokaisesta yhtälöstä kertoimet kirjoitetaan riville. Tämän seurauksena matriisissa on yhtä monta riviä kuin järjestelmässä on yhtälöitä. Sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin minkä tahansa yhtälön suurin kertoimien lukumäärä. Kolmas elementti kuvassa on lisätty matriisi, jossa on vapaita termejä.

Yleistä tietoa Gaussin menetelmästä

Lineaarisessa algebrassa Gaussin menetelmä on klassinen tapa ratkaista SLE. Se kantaa Carl Friedrich Gaussin nimeä, joka asui 1700-1800-luvuilla. Tämä on yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista. Gaussin menetelmän ydin on suorittaa alkeismuunnoksia lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmälle. Muunnoksilla SLE pelkistetään vastaavaksi kolmiomaiseksi (porrastetun) systeemiksi, josta kaikki muuttujat löytyvät.

On syytä huomata, että Carl Friedrich Gauss ei ole klassisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisumenetelmän keksijä. Menetelmä keksittiin paljon aikaisemmin. Sen ensimmäinen kuvaus löytyy muinaisten kiinalaisten matemaatikoiden tietosanakirjasta, nimeltään "Matematiikka 9 kirjassa".

Esimerkki SLE:n ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Katsotaan järjestelmien ratkaisua Gaussin menetelmällä tietyssä esimerkissä. Työskentelemme kuvassa näkyvän SLU:n kanssa.

Ratkaisualgoritmi:

1. Pelvennämme järjestelmän askelmuotoon Gaussin menetelmän suoralla siirrolla, mutta ensinmuodostamme laajennetun matriisin numeerisista kertoimista ja vapaista jäsenistä.
2. Matriisin ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä (eli saattamiseksi porrastettuun muotoon) toisen ja kolmannen rivin elementeistä vähennetään peräkkäin ensimmäisen rivin elementit. Saamme nollia ensimmäiseen sarakkeeseen "johtava"-elementin alle. Seuraavaksi muutamme toista ja kolmatta riviä paikoin mukavuuden vuoksi. Lisää viimeisen rivin elementteihin peräkkäin toisen rivin elementit kerrottuna luvulla 3.
3. Matriisin Gauss-menetelmällä laskennan tuloksena saimme porrastetun elementtijoukon. Sen perusteella laadimme uuden lineaariyhtälöjärjestelmän. Gaussin menetelmän käänteisellä kurssilla löydämme tuntemattomien termien arvot. Viimeisestä lineaarisesta yhtälöstä voidaan nähdä, että x₃ on yhtä suuri kuin 1. Korvaamme tämän arvon järjestelmän toiselle riville. Saat yhtälön x₂ – 4=–4. Tästä seuraa, että x₂ on 0. Korvaa x₂ ja x₃ järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön: x1 _{+ 0 +3=2. Tuntematon termi on -1.}

Vastaus: käyttämällä matriisia, Gaussin menetelmää, löysimme tuntemattomien arvot; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordanin menetelmä

Lineaarisessa algebrassa on myös sellainen asia kuin Gauss-Jordan-menetelmä. Sitä pidetään Gaussin menetelmän muunnelmana ja sitä käytetään käänteismatriisin löytämiseen, algebrallisten lineaaristen yhtälöiden neliöjärjestelmien tuntemattomien termien laskemiseen. Gauss-Jordan menetelmä on kätevä, koska se mahdollistaa SLE:n ratkaisemisen yhdessä vaiheessa (ilman suoraa ja käänteistäliikkeet).

Aloitetaan termillä "käänteimatriisi". Oletetaan, että meillä on matriisi A. Sen käänteisarvo on matriisi A^-1, kun taas ehto täyttyy: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, eli näiden matriisien tulo on yhtä suuri kuin identiteettimatriisi (identiteettimatriisin päädiagonaalin alkiot ovat ykkösiä ja loput nollia).}

Tärkeä vivahde: lineaarialgebrassa on lause käänteimatriisin olemassaolosta. Riittävä ja välttämätön ehto matriisin A^-1 olemassaololle on, että matriisi A on epäsingulaarinen.

Perusvaiheet, joihin Gauss-Jordan-menetelmä perustuu:

1. Katso tietyn matriisin ensimmäistä riviä. Gauss-Jordan menetelmä voidaan käynnistää, jos ensimmäinen arvo ei ole nolla. Jos ensimmäinen paikka on 0, vaihda rivit niin, että ensimmäisellä elementillä on nollasta poikkeava arvo (on toivottavaa, että luku on lähempänä yhtä).
2. Jaa kaikki ensimmäisen rivin elementit ensimmäisellä numerolla. Päädyt merkkijonoon, joka alkaa yhdellä.
3. Vähennä toiselta riviltä ensimmäinen rivi kerrottuna toisen rivin ensimmäisellä alkiolla, eli lopulta saat rivin, joka alkaa nollasta. Tee sama muille riveille. Jaa jokainen rivi sen ensimmäisellä nollasta poikkeavalla elementillä saadaksesi ykköset diagonaalisesti.
4. Tämän tuloksena saat ylemmän kolmion matriisin käyttämällä Gauss - Jordan -menetelmää. Siinä päädiagonaalia edustavat yksiköt. Alakulma on täynnä nollia jayläkulma - eri arvoja.
5. Vähennä toiseksi viimeiseltä riviltä viimeinen rivi kerrottuna vaaditulla kertoimella. Sinun pitäisi saada merkkijono, jossa on nollia ja yksi. Toista sama toimenpide muille riveille. Kaikkien muunnosten jälkeen saadaan identiteettimatriisi.

Esimerkki käänteismatriisin löytämisestä Gauss-Jordan-menetelmällä

Käänteimatriisin laskemiseksi sinun on kirjoitettava lisätty matriisi A|E ja suoritettava tarvittavat muunnokset. Tarkastellaanpa yksinkertaista esimerkkiä. Alla oleva kuva näyttää matriisin A.

Ratkaisu:

1. Etsitään ensin matriisideterminantti Gaussin menetelmällä (det A). Jos tämä parametri ei ole yhtä suuri kuin nolla, matriisia pidetään ei-singulaarisena. Tämän avulla voimme päätellä, että A:lla on ehdottomasti A^-1. Determinantin laskemiseksi muunnamme matriisin vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnoksilla. Lasketaan luku K yhtä suureksi kuin rivipermutaatioiden määrä. Vaihdoimme rivejä vain 1 kerran. Lasketaan determinantti. Sen arvo on yhtä suuri kuin päälävistäjän elementtien tulo kerrottuna (–1)^K. Laskentatulos: det A=2.
2. Laadi lisätty matriisi lisäämällä identiteettimatriisi alkuperäiseen matriisiin. Saatua elementtijoukkoa käytetään käänteismatriisin löytämiseen Gauss-Jordan-menetelmällä.
3. Ensimmäisen rivin ensimmäinen elementti on yhtä suuri kuin yksi. Tämä sopii meille, koska rivejä ei tarvitse järjestää uudelleen ja jakaa annettua riviä jollain numerolla. Aloitetaan työskentelytoisella ja kolmannella rivillä. Jos haluat muuttaa toisen rivin ensimmäisen elementin nollaksi, vähennä ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla toisesta rivistä. Vähennä ensimmäinen rivi kolmannesta rivistä (kertoja ei tarvita).
4. Saadussa matriisissa toisen rivin toinen elementti on -4 ja kolmannen rivin toinen elementti -1. Vaihdetaan linjat mukavuuden vuoksi. Kolmannesta rivistä vähennetään toinen rivi kerrottuna 4:llä. Jaa toinen rivi -1:llä ja kolmas rivi 2:lla. Saadaan ylempi kolmiomatriisi.
5. Veistetään viimeinen rivi kerrottuna 4:llä toisesta rivistä ja viimeinen rivi kerrottuna 5:llä ensimmäisestä rivistä. Seuraavaksi vähennetään ensimmäisestä rivistä toinen rivi kerrottuna 2:lla. Vasemmalla saamme identiteettimatriisi. Oikealla on käänteimatriisi.

Esimerkki SLE:n ratkaisemisesta Gauss-Jordan-menetelmällä

Kuvassa on lineaarinen yhtälöjärjestelmä. Tuntemattomien muuttujien arvot on löydettävä matriisin avulla, Gauss-Jordan menetelmällä.

Ratkaisu:

1. Luodetaan lisätty matriisi. Tätä varten laitamme kertoimet ja vapaat termit taulukkoon.
2. Ratkaise matriisi Gauss-Jordan-menetelmällä. Riviltä 2 vähennämme rivin 1. Riviltä 3 vähennämme rivin 1, joka on aiemmin kerrottu 2:lla.
3. Vaihda rivit 2 ja 3.
4. Riviltä 3 vähennä rivi 2 kerrottuna 2:lla. Jaa tuloksena saatu kolmas rivi -1:llä.
5. Vähennä rivi 3 riviltä 2.
6. Vähennä rivi 1 rivistä 12 kertaa -1. Sivulla saimme sarakkeen, joka koostuu numeroista 0, 1 ja -1. Tästä päätämme, että x₁=0, x₂=1 ja x₃ =–1.

Jos haluat, voit tarkistaa ratkaisun oikeellisuuden korvaamalla lasketut arvot yhtälöihin:

• 0 – 1=–1, ensimmäinen identiteetti järjestelmästä on oikea;
• 0 + 1 + (–1)=0, järjestelmän toinen identiteetti on oikea;
• 0 – 1 + (–1)=–2, kolmas identiteetti järjestelmästä on oikea.

Johtopäätös: Gauss-Jordan-menetelmää käyttämällä olemme löytäneet oikean ratkaisun neliöjärjestelmälle, joka yhdistää lineaariset algebralliset yhtälöt.

Verkkolaskimet

Nykyisten yliopistoissa opiskelevien ja lineaarialgebraa opiskelevien nuorten elämä on yksinkertaistunut huomattavasti. Muutama vuosi sitten jouduimme itse löytämään ratkaisuja järjestelmiin Gaussin ja Gauss-Jordanin menetelmällä. Osa oppilaista selviytyi tehtävistä onnistuneesti, toiset hämmentyivät ratkaisussa, tekivät virheitä, pyysivät luokkakavereilta apua. Nykyään voit käyttää online-laskijoita kotitehtäviä tehdessäsi. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, käänteisten matriisien etsimiseksi on kirjoitettu ohjelmia, jotka osoittavat oikeiden vastausten lisäksi myös tietyn ongelman ratkaisemisen edistymisen.

Internetissä on monia resursseja sisäänrakennetuilla online-laskimilla. Gaussin matriisit, yhtälöjärjestelmät ratkaistaan näillä ohjelmilla muutamassa sekunnissa. Opiskelijoiden tarvitsee vain määrittää vaaditut parametrit (esim. yhtälöiden lukumäärä,muuttujien määrä).