Matrix on matematiikan erikoisobjekti. Se on kuvattu suorakaiteen tai neliön muotoisena taulukona, joka koostuu tietystä määrästä rivejä ja sarakkeita. Matematiikassa on monenlaisia matriisetyyppejä, jotka vaihtelevat kooltaan tai sisällöltään. Sen rivien ja sarakkeiden numeroita kutsutaan tilauksiksi. Näitä objekteja käytetään matematiikassa lineaaristen yhtälöjärjestelmien kirjoittamisen järjestämiseen ja niiden tulosten kätevään etsimiseen. Matriisia käyttävät yhtälöt ratkaistaan Carl Gaussin, Gabriel Cramerin menetelmällä, mollilla ja algebrallisilla lisäyksillä ja monilla muilla tavoilla. Perustaito matriisien kanssa työskennellessä on saada ne vakiomuotoon. Otetaan kuitenkin ensin selvää, minkä tyyppisiä matriiseja matemaatikot erottavat.
Nullatyyppi
Kaikki tällaisen matriisin komponentit ovat nollia. Sillä välin sen rivien ja sarakkeiden määrä on täysin erilainen.
Neliön tyyppi
Tämän tyyppisen matriisin sarakkeiden ja rivien määrä on sama. Toisin sanoen se on "neliön" muotoinen pöytä. Sen sarakkeiden (tai rivien) lukumäärää kutsutaan järjestykseksi. Erikoistapauksia ovat toisen asteen (matriisi 2x2), neljännen asteen (4x4), kymmenes (10x10), seitsemännentoista (17x17) ja niin edelleen matriisin olemassaolo.
Sarakevektori
Tämä on yksi yksinkertaisimmista matriisityypeistä, joka sisältää vain yhden sarakkeen, joka sisältää kolme numeerista arvoa. Se edustaa sarjaa vapaita termejä (muuttujista riippumattomia lukuja) lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä.
Rivivektori
Katso samanlainen kuin edellinen. Koostuu kolmesta numeerisesta elementistä, jotka on puolestaan järjestetty yhdelle riville.
Diagonaalinen tyyppi
Vain päädiagonaalin komponentit (korostettu vihreällä) ottavat numeerisia arvoja matriisin diagonaalimuodossa. Päädiagonaali alkaa vasemmassa yläkulmassa olevasta elementistä ja päättyy vastaavasti oikeassa alakulmassa olevaan elementtiin. Loput komponentit ovat nolla. Diagonaalityyppi on vain neliömatriisi, jossa on jonkinlaista järjestystä. Diagonaalimuodon matriiseista voidaan erottaa skalaari. Kaikilla sen komponenteilla on samat arvot.
Identiteettimatriisi
Diagonaalimatriisin alalaji. Kaikki sen numeeriset arvot ovat yksiköitä. Suorita yhden tyyppisiä matriisitaulukoita käyttämällä sen perusmuunnoksia tai etsi matriisi käänteinen alkuperäiselle.
Kanoninen tyyppi
Matriisin kanonista muotoa pidetään yhtenä tärkeimmistä; siihen tarvitaan usein valua toimiakseen. Kanonisen matriisin rivien ja sarakkeiden lukumäärä on erilainen, se ei välttämättä kuulu neliötyyppiin. Se on jossain määrin samanlainen kuin identiteettimatriisi, mutta siinä tapauksessa kaikki päädiagonaalin komponentit eivät saa yhtä suurta arvoa kuin yksi. Päälävistäjäyksiköitä voi olla kaksi tai neljä (kaikki riippuu matriisin pituudesta ja leveydestä). Tai yksikköä ei ehkä ole ollenkaan (silloin sitä pidetään nollana). Muut kanonisen tyypin komponentit sekä diagonaalin ja identiteetin elementit ovat yhtä suuria kuin nolla.
Kolmiotyyppi
Yksi tärkeimmistä matriisityypeistä, jota käytetään haettaessa sen determinanttia ja suoritettaessa yksinkertaisia operaatioita. Kolmiotyyppi tulee diagonaalityypistä, joten matriisi on myös neliö. Matriisin kolmionäkymä on jaettu ylempään kolmioon ja alempaan kolmioon.
Ylemmän kolmion matriisissa (kuva 1) vain elementit, jotka ovat päälävistäjän yläpuolella, saavat arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla. Itse diagonaalin komponentit ja sen alla oleva matriisin osa sisältävät numeerisia arvoja.
Alemmassa kolmiomatriisissa (kuva 2) matriisin alaosassa sijaitsevat elementit ovat päinvastoin nolla.
Step Matrix
Näkymä on välttämätön matriisin asteen löytämiseksi sekä niiden perusoperaatioiden tekemiseksi (kolmiotyypin kanssa). Askelmatriisi on nimetty näin, koska se sisältää tyypillisiä nollien "askeleita" (kuten kuvassa). Porrastetussa tyypissä muodostetaan nollien diagonaali (ei välttämättä pääasiallinen), ja kaikilla tämän lävistäjän alla olevilla elementeillä on myös nollan arvot. Edellytyksenä on seuraava: jos askelmatriisissa on nolla rivi, niin muut sen alla olevat rivit eivät myöskään sisällä numeerisia arvoja.
Olemme siis tarkastelleet tärkeimmät matriisityypit, joita tarvitaan niiden kanssa työskentelyyn. Käsitellään nyt matriisin muuntamista vaadittuun muotoon.
Pienennä kolmion muotoon
Kuinka matriisi saatetaan kolmiomaiseen muotoon? Useimmiten tehtävissä joudut muuttamaan matriisi kolmion muotoon, jotta voit löytää sen determinantin, jota kutsutaan muuten determinantiksi. Tätä toimenpidettä suoritettaessa on erittäin tärkeää "säilyttää" matriisin päädiagonaali, koska kolmiomatriisin determinantti on täsmälleen sen päädiagonaalin komponenttien tulos. Haluan myös muistuttaa vaihtoehtoisista menetelmistä determinantin löytämiseksi. Neliön muotoinen determinantti löydetään erityisillä kaavoilla. Voit esimerkiksi käyttää kolmiomenetelmää. Muissa matriiseissa käytetään rivien, sarakkeen tai niiden elementtien mukaan hajottamista. Voit myös soveltaa matriisin mollien ja algebrallisten komplementtien menetelmää.
TiedotAnalysoidaan prosessia, jossa matriisi tuodaan kolmiomaiseen muotoon esimerkkien avulla joistakin tehtävistä.
Tehtävä 1
Esitettävän matriisin determinantti on löydettävä käyttämällä menetelmää tuoda se kolmiomaiseen muotoon.
Meille annettu matriisi on kolmannen asteen neliömatriisi. Siksi, jotta se muunnetaan kolmiomaiseksi, meidän on mitätöitävä ensimmäisen sarakkeen kaksi komponenttia ja yksi toisen sarakkeen komponentti.
Saat sen kolmion muotoon aloittamalla muunnos matriisin vasemmasta alakulmasta - numerosta 6. Jos haluat muuttaa sen nollaan, kerro ensimmäinen rivi kolmella ja vähennä se viimeisestä rivistä.
Tärkeää! Ylärivi ei muutu, mutta pysyy samana kuin alkuperäisessä matriisissa. Sinun ei tarvitse kirjoittaa merkkijonoa neljä kertaa alkuperäiseen verrattuna. Mutta niiden merkkijonojen arvot, joiden komponentit täytyy mitätöidä, muuttuvat jatkuvasti.
Seuraavaksi käsitellään seuraavaa arvoa - ensimmäisen sarakkeen toisen rivin elementtiä, numero 8. Kerro ensimmäinen rivi neljällä ja vähennä se toisesta rivistä. Saamme nollan.
Vain viimeinen arvo jää - toisen sarakkeen kolmannen rivin elementti. Tämä on numero (-1). Jos haluat muuttaa sen nollaksi, vähennä toinen ensimmäisestä rivistä.
Tarkistataan:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Joten tehtävän vastaus on -22.
Tehtävä 2
Meidän on löydettävä matriisin determinantti tuomalla se kolmiomaiseen muotoon.
Esitetty matriisikuuluu neliötyyppiin ja on neljännen asteen matriisi. Tämä tarkoittaa, että ensimmäisen sarakkeen kolme komponenttia, toisen sarakkeen kaksi komponenttia ja kolmannen sarakkeen yksi komponentti on nollattava.
Aloitetaan sen pienentäminen vasemmassa alakulmassa olevasta elementistä - numerosta 4. Tämä luku on muutettava nollaan. Helpoin tapa tehdä tämä on kertoa ylin rivi neljällä ja sitten vähentää se neljännestä rivistä. Kirjataan ylös muunnoksen ensimmäisen vaiheen tulos.
Joten, neljännen rivin komponentti asetetaan nollaan. Siirrytään kolmannen rivin ensimmäiseen elementtiin, numeroon 3. Suoritamme samanlaisen toimenpiteen. Kerro kolmella ensimmäinen rivi, vähennä se kolmannesta rivistä ja kirjoita tulos.
Seuraavaksi näemme numeron 2 toisella rivillä. Toistamme toiminnon: kerro ylin rivi kahdella ja vähennä se toisesta.
Onnistuimme nollaamaan kaikki tämän neliömatriisin ensimmäisen sarakkeen komponentit lukuun ottamatta numeroa 1, päälävistäjän elementtiä, joka ei vaadi muuntamista. Nyt on tärkeää säilyttää saadut nollat, joten teemme muunnoksia riveillä, ei sarakkeilla. Siirrytään esitetyn matriisin toiseen sarakkeeseen.
Aloitetaan jälleen alha alta - viimeisen rivin toisen sarakkeen elementistä. Tämä on numero (-7). Tässä tapauksessa on kuitenkin helpompaa aloittaa numerolla (-1) - kolmannen rivin toisen sarakkeen elementillä. Jos haluat muuttaa sen nollaksi, vähennä toinen rivi kolmannesta rivistä. Sitten kerromme toisen rivin seitsemällä ja vähennämme sen neljännestä. Saimme nollan toisen sarakkeen neljännellä rivillä sijaitsevan elementin sijaan. Siirrytään nyt kolmanteensarake.
Tässä sarakkeessa meidän on käännettävä nollaan vain yksi numero - 4. Se on helppo tehdä: lisää vain kolmas viimeiselle riville ja katso tarvitsemamme nolla.
Kaikkien muunnosten jälkeen saimme ehdotetun matriisin kolmion muotoon. Nyt, jotta voit löytää sen determinantin, sinun tarvitsee vain kertoa päädiagonaalin tuloksena olevat elementit. Saamme: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Siksi ratkaisu on luku 160.
Joten nyt kysymys matriisin saattamisesta kolmiomaiseen muotoon ei vaikeuta sinua.
Alennus porrastettuun muotoon
Matriisien perusoperaatioissa porrastettu muoto on vähemmän "vaativa" kuin kolmiomuoto. Sitä käytetään yleisimmin matriisin arvon (eli sen nollasta poikkeavien rivien lukumäärän) löytämiseen tai lineaarisesti riippuvien ja riippumattomien rivien määrittämiseen. Porrastettu matriisinäkymä on kuitenkin monipuolisempi, koska se sopii paitsi neliön tyyppiin myös kaikille muille.
Matriisin pelkistämiseksi porrastettuun muotoon sinun on ensin löydettävä sen determinantti. Tätä varten yllä olevat menetelmät sopivat. Determinantin etsimisen tarkoituksena on selvittää, voidaanko se muuntaa askelmatriisiksi. Jos determinantti on suurempi tai pienempi kuin nolla, voit turvallisesti jatkaa tehtävään. Jos se on yhtä suuri kuin nolla, matriisin pelkistäminen porrastettuun muotoon ei toimi. Tässä tapauksessa sinun on tarkistettava, onko tietueessa tai matriisimuunnoksissa virheitä. Jos tällaisia epätarkkuuksia ei ole, tehtävää ei voida ratkaista.
Katsotaan kuinkatuo matriisi porrastettuun muotoon käyttämällä esimerkkejä useista tehtävistä.
Tehtävä 1. Etsi annetun matriisitaulukon sijoitus.
Edessämme on kolmannen asteen neliömatriisi (3x3). Tiedämme, että arvon löytämiseksi on välttämätöntä lyhentää se porrastettuun muotoon. Siksi meidän on ensin löydettävä matriisin determinantti. Kolmiomenetelmää käyttäen: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinantti=12. Se on suurempi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että matriisi voidaan pelkistää porrastettuun muotoon. Aloitetaan sen muunnokset.
Aloitetaan se kolmannen rivin vasemman sarakkeen elementillä - numerolla 2. Kerro ylärivi kahdella ja vähennä se kolmannesta. Tämän toiminnon ansiosta sekä tarvitsemamme elementti että numero 4 - kolmannen rivin toisen sarakkeen elementti - muuttuivat nollaksi.
Käännä seuraavaksi nollaksi ensimmäisen sarakkeen toisen rivin elementti - numero 3. Voit tehdä tämän kertomalla ylimmän rivin kolmella ja vähentämällä sen toisesta.
Näemme, että pelkistys johti kolmiomaiseen matriisiin. Meidän tapauksessamme muuntamista ei voida jatkaa, koska muita komponentteja ei voi nollata.
Joten päättelemme, että numeerisia arvoja sisältävien rivien lukumäärä tässä matriisissa (tai sen arvossa) on 3. Vastaus tehtävään: 3.
Tehtävä 2. Määritä tämän matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien lukumäärä.
Meidän on löydettävä merkkijonoja, joita ei voida kääntää millään muunnollanollaan. Itse asiassa meidän on löydettävä nollasta poikkeavien rivien lukumäärä tai esitetyn matriisin järjestys. Tehdään tämä yksinkertaistamalla sitä.
Näemme matriisin, joka ei kuulu neliötyyppiin. Sen mitat ovat 3x4. Aloitetaan myös heitto vasemman alakulman elementistä - numerosta (-1).
Lisää ensimmäinen rivi kolmanteen riviin. Seuraavaksi vähennä siitä toinen luvun 5 muuttamiseksi nollaan.
Lisämuutokset ovat mahdottomia. Päättelemme siis, että siinä olevien lineaarisesti riippumattomien juovien lukumäärä ja tehtävän vastaus on 3.
Matriisin saattaminen porrastettuun muotoon ei ole mahdoton tehtävä sinulle.
Näiden tehtävien esimerkeissä analysoimme matriisin pelkistämistä kolmiomaiseen muotoon ja porrastettuun muotoon. Matriisitaulukoiden haluttujen arvojen mitätöimiseksi joissakin tapauksissa on näytettävä mielikuvitusta ja muutettava niiden sarakkeet tai rivit oikein. Onnea matematiikassa ja matriisien kanssa työskentelyssä!
