Matriiseja (numeerisia elementtejä sisältäviä taulukoita) voidaan käyttää erilaisiin laskelmiin. Jotkut niistä ovat kertomista luvulla, vektorilla, toisella matriisilla, useilla matriiseilla. Tuote on joskus virheellinen. Virheellinen tulos on seurausta laskennallisten toimintojen suorittamista koskevien sääntöjen tietämättömyydestä. Selvitetään kuinka kertominen tehdään.
Matriisi ja numero
Aloitetaan yksinkertaisimmasta asiasta - numeroiden taulukon kertomisesta tietyllä arvolla. Meillä on esimerkiksi matriisi A, jonka elementit ovat aij (i ovat rivinumerot ja j ovat sarakkeiden numerot) ja numero e. Matriisin tulo luvulla e on matriisi B elementeillä bij, jotka löytyvät kaavasta:
bij=e × aij.
T. e. saadaksesi elementin b11 sinun on otettava elementti a11 ja kerrottava se halutulla luvulla saadaksesi b12 vaaditaan elementin a12 ja luvun e tulo jne.
Ratkaistaan kuvassa esitetty tehtävä numero 1. Saadaksesi matriisi B, kerro A:n elementit 3:lla:
- a11 × 3=18. Kirjoita tämä arvo matriisiin B kohtaan, jossa sarake nro 1 ja rivi nro 1 leikkaavat.
- a21 × 3=15. Saimme elementin b21.
- a12 × 3=-6. Saimme elementin b12. Kirjoitetaan se matriisiin B kohtaan, jossa sarake 2 ja rivi 1 leikkaavat.
- a22 × 3=9. Tämä tulos on elementti b22.
- a13 × 3=12. Syötä tämä luku matriisiin elementin b13 tilalle.
- a23 × 3=-3. Viimeksi vastaanotettu numero on elementti b23.
Näin saimme suorakaiteen muotoisen taulukon, jossa on numeerisia elementtejä.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorit ja matriisien tulon olemassaolon ehto
Matematiikan tieteenaloilla on sellainen asia kuin "vektori". Tämä termi viittaa järjestettyyn joukkoon arvoja välillä a1 - . Niitä kutsutaan vektoriavaruuden koordinaateiksi ja ne kirjoitetaan sarakkeeksi. On myös termi "transponoitu vektori". Sen osat on järjestetty merkkijonoksi.
Vektoreita voidaan kutsua matriiseiksi:
- sarakevektori on matriisi, joka on rakennettu yhdestä sarakkeesta;
- rivivektori on matriisi, joka sisältää vain yhden rivin.
Kun valmiskertolaskujen matriisien kohdalla on tärkeää muistaa, että tulon olemassaololle on ehto. Laskennallinen toimenpide A × B voidaan suorittaa vain, kun taulukon A sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin taulukon B rivien lukumäärä. Laskennan tuloksena saadussa matriisissa on aina taulukon A rivien määrä ja sarakkeiden lukumäärä taulukossa B.
Kerrottaessa matriiseja (kertoimia) ei suositella järjestelemään uudelleen. Niiden tulo ei yleensä vastaa kertolaskun kommutatiivista (siirtymä)lakia, eli operaation A × B tulos ei ole yhtä suuri kuin operaation B × A tulos. matriiseja. Joissakin tapauksissa kertolasku A × B on yhtä suuri kuin kertolasku B × A tulos, eli tulo on kommutiivinen. Matriiseja, joille yhtälö A × B=B × A pätee, kutsutaan permutaatiomatriiseiksi. Katso esimerkkejä tällaisista taulukoista alla.
Kerto sarakevektorilla
Kun kerrotaan matriisia sarakevektorilla, meidän on otettava huomioon tuotteen olemassaolon ehto. Taulukon sarakkeiden lukumäärän (n) on vastattava vektorin muodostavien koordinaattien määrää. Laskennan tulos on muunnettu vektori. Sen koordinaattien määrä on yhtä suuri kuin taulukon rivien lukumäärä (m).
Miten vektorin y koordinaatit lasketaan, jos on matriisi A ja vektori x? Laskelmille luodut kaavat:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
jossa x1, …, x ovat koordinaatteja x-vektorista, m on matriisin rivien lukumäärä ja luku koordinaattien määrä uudessa y-vektorissa, n on sarakkeiden lukumäärä matriisissa ja koordinaattien lukumäärä x-vektorissa, a11, a12, …, amn– matriisin A elementit.
Siten uuden vektorin i:nnen komponentin saamiseksi suoritetaan skalaaritulo. I:nnen rivin vektori otetaan matriisista A, ja se kerrotaan käytettävissä olevalla vektorilla x.
Ratkaisemme tehtävän 2. Löydät matriisin ja vektorin tulon, koska A:ssa on 3 saraketta ja x koostuu 3 koordinaatista. Tämän seurauksena meidän pitäisi saada sarakevektori, jossa on 4 koordinaattia. Käytetään yllä olevia kaavoja:
- Laske y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Lopullinen arvo on 2.
- Laske y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Laskettaessa saamme 0.
- Laske y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Ilmoitettujen tekijöiden tulojen summa on 6.
- Laske y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinaatti on -8.
Rivivektori-matriisikertolasku
Et voi kertoa matriisia, jossa on useita sarakkeita, rivivektorilla. Tällaisissa tapauksissa teoksen olemassaolon ehto ei täyty. Mutta rivivektorin kertominen matriisilla on mahdollista. Tämälaskennallinen operaatio suoritetaan, kun vektorin koordinaattien lukumäärä ja taulukon rivien määrä täsmäävät. Vektorin ja matriisin tulon tulos on uusi rivivektori. Sen koordinaattien määrän on oltava yhtä suuri kuin matriisin sarakkeiden lukumäärä.
Uuden vektorin ensimmäisen koordinaatin laskeminen edellyttää rivivektorin ja ensimmäisen sarakevektorin kertomista taulukosta. Toinen koordinaatti lasketaan samalla tavalla, mutta ensimmäisen sarakevektorin sijasta otetaan toinen sarakevektori. Tässä on yleinen kaava koordinaattien laskemiseen:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, jossa yk on koordinaatti y-vektorista (k on 1:n ja n:n välillä), m on matriisin rivien lukumäärä ja koordinaattien määrä x-vektorissa n on sarakkeiden lukumäärä matriisissa ja koordinaattien lukumäärä y-vektorissa, a aakkosnumeerisilla indekseillä ovat matriisin A elementit.
Suorakulmamatriisien tuote
Tämä laskelma voi tuntua monimutkaiselta. Kertominen on kuitenkin helppoa. Aloitetaan määritelmästä. Matriisin A, jossa on m riviä ja n saraketta ja matriisin B, jossa on n riviä ja p saraketta, tulo on matriisi C, jossa on m riviä ja p saraketta, jossa elementti cij on taulukon A rivin elementtien tulojen summa ja taulukon B j-sarakkeen tulojen summa. Yksinkertaisemmin elementti cij on i:nnen rivin skalaaritulo vektori taulukosta A ja j:s sarakevektori taulukosta B.
Otetaan nyt selvää, kuinka löytää suorakaiteen muotoisten matriisien tulo. Ratkaistaan tätä varten tehtävä nro 3. Tuotteen olemassaolon ehto täyttyy. Aloitetaan elementtien laskeminen cij:
- Matrix C:ssä on 2 riviä ja 3 saraketta.
- Laske elementti c11. Tätä varten suoritamme matriisin A rivin 1 ja matriisin B sarakkeen 1 skalaaritulon. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Jatketaan sitten samalla tavalla, muutetaan vain rivejä, sarakkeita (riippuen elementtiindeksistä).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementit lasketaan. Nyt on vain tehtävä vastaanotetuista numeroista suorakaiteen muotoinen lohko.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Kolmen matriisin kertolasku: teoreettinen osa
Löydätkö kolmen matriisin tulon? Tämä laskennallinen operaatio on toteutettavissa. Tulos voidaan saada useilla tavoilla. Esimerkiksi on 3 neliötaulukkoa (samassa järjestyksessä) - A, B ja C. Laskeaksesi tuotteen, voit:
- Kerto ensin A ja B. Kerro sitten tulos C:lla.
- Etsi ensin B:n ja C:n tulo. Kerro sitten matriisi A tuloksella.
Jos sinun on kerrottava suorakulmaisia matriiseja, sinun on ensin varmistettava, että tämä laskennallinen operaatio on mahdollista. Pitäisituotteet A × B ja B × C on olemassa.
Inkrementaalinen kertolasku ei ole virhe. On olemassa sellainen asia kuin "matriisin kertolaskujen assosiatiivisuus". Tämä termi viittaa yhtälöön (A × B) × C=A × (B × C).
Kolmen matriisin kertolaskuharjoitus
Neliömatriisit
Aloita kertomalla pienet neliömatriisit. Alla oleva kuva näyttää ongelman numero 4, joka meidän on ratkaistava.
Käytämme assosiatiivisuusominaisuutta. Ensin kerrotaan joko A ja B tai B ja C. Muistamme vain yhden asian: kertoimia ei voi vaihtaa, eli ei voi kertoa B × A tai C × B. Tällä kertolaskulla saamme virheellinen tulos.
Päätöksen eteneminen.
Vaihe yksi. Löytääksemme yhteistulon kerromme ensin A:lla B. Kun kerromme kahta matriisia, ohjaamme sääntöjä, jotka on esitetty edellä. Joten A:n ja B:n kertomisen tulos on matriisi D, jossa on 2 riviä ja 2 saraketta, eli suorakaiteen muotoinen matriisi sisältää 4 elementtiä. Etsitään ne laskemalla:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Välitulos valmis.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Vaihe kaksi. Kerrotaan nyt matriisi D matriisilla C. Tuloksena pitäisi olla neliömatriisi G, jossa on 2 riviä ja 2 saraketta. Laske elementit:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Siten neliömatriisien tulon tulos on taulukko G lasketuilla alkioilla.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Suorakulmamatriisit
Alla oleva kuva esittää tehtävän numero 5. On kerrottava suorakulmaiset matriisit ja löydettävä ratkaisu.
Tarkistataan, täyttyykö tulojen A × B ja B × C olemassaolon ehto. Ilmoitettujen matriisien järjestys sallii kertomisen. Aloitetaan ongelman ratkaiseminen.
Päätöksen eteneminen.
Vaihe yksi. Kerro B:llä C saadaksesi D. Matriisissa B on 3 riviä ja 4 saraketta ja matriisissa C on 4 riviä ja 2 saraketta. Tämä tarkoittaa, että saamme matriisin D, jossa on 3 riviä ja 2 saraketta. Lasketaan elementit. Tässä on 2 laskentaesimerkkiä:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Jatkamme ongelman ratkaisemista. Lisälaskelmien tuloksena saamme arvot d21, d2 2, d31 ja d32. Nämä elementit ovat vastaavasti 0, 19, 1 ja 11. Kirjoitetaan löydetyt arvot suorakaiteen muotoiseen taulukkoon.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Vaihe kaksi. Kerro A:lla D saadaksesi lopullisen matriisin F. Siinä on 2 riviä ja 2 saraketta. Laske elementit:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Laadi suorakaiteen muotoinen taulukko, joka on kolmen matriisin kertomisen lopputulos.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Johdatus suoraan työhön
Melko vaikeasti ymmärrettävää materiaalia on matriisien Kronecker-tulo. Sillä on myös lisänimi - suora teos. Mitä tällä termillä tarkoitetaan? Oletetaan, että meillä on taulukko A kertalukua m × n ja taulukko B kertalukua p × q. Matriisin A ja matriisin B suora tulo on matriisi, jonka kertaluku on mp × nq.
Meillä on 2 neliömatriisia A, B, jotka näkyvät kuvassa. Ensimmäisessä on 2 saraketta ja 2 riviä ja toisessa 3 saraketta ja 3 riviä. Näemme, että suoratuloksesta saatu matriisi koostuu 6 rivistä ja täsmälleen samasta määrästä sarakkeita.
Miten uuden matriisin elementit lasketaan suoratuloksessa? Vastauksen löytäminen tähän kysymykseen on erittäin helppoa, jos analysoit kuvaa. Täytä ensin ensimmäinen rivi. Ota ensimmäinen elementti taulukon A yläriviltä ja kerro se peräkkäin ensimmäisen rivin elementeillätaulukosta B. Ota seuraavaksi taulukon A ensimmäisen rivin toinen elementti ja kerro se peräkkäin taulukon B ensimmäisen rivin alkioilla. Täytä toinen rivi ottamalla ensimmäinen elementti taulukon A ensimmäisestä rivistä uudelleen ja kerro se taulukon B toisen rivin elementeillä.
Suoratulolla saatua lopullista matriisia kutsutaan lohkomatriisiksi. Jos analysoimme kuvion uudelleen, voimme nähdä, että tuloksemme koostuu 4 lohkosta. Ne kaikki sisältävät matriisin B elementtejä. Lisäksi jokaisen lohkon elementti kerrotaan tietyllä matriisin A elementillä. Ensimmäisessä lohkossa kaikki elementit kerrotaan a11:lla. toinen - a12, kolmannessa - a21, neljännessä - 22.
Tuotteen määräävä tekijä
Matriisikertolaskua tarkasteltaessa kannattaa harkita termiä "matriisien tulon determinantti". Mikä on determinantti? Tämä on neliömatriisin tärkeä ominaisuus, tietty arvo, joka on määritetty tälle matriisille. Determinantin kirjaimellinen nimitys on det.
Kahdesta sarakkeesta ja kahdesta rivistä koostuvan matriisin A determinantti on helppo löytää. On olemassa pieni kaava, joka on ero tiettyjen elementtien tulojen välillä:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Katsotaanpa esimerkkiä toisen asteen taulukon determinantin laskemisesta. On matriisi A, jossa a11=2, a12=3, a21=5 ja a22=1. Determinantin laskemiseksi käytä kaavaa:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 matriiseille determinantti lasketaan käyttämällä monimutkaisempaa kaavaa. Se esitetään alla matriisille A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Kaavan muistamiseksi keksimme kolmiosäännön, joka näkyy kuvassa. Ensin kerrotaan päädiagonaalin elementit. Niiden elementtien tulot, jotka on merkitty punaisilla sivuilla varustettujen kolmioiden kulmilla, lisätään saatuun arvoon. Seuraavaksi toissijaisen lävistäjän alkioiden tulo vähennetään ja sinisten kolmioiden kulmien osoittamien elementtien tulot vähennetään.
Puhutaan nyt matriisien tulon determinantista. On olemassa lause, joka sanoo, että tämä indikaattori on yhtä suuri kuin kerrointaulukoiden determinanttien tulo. Varmistetaan tämä esimerkillä. Meillä on matriisi A, jonka merkinnät a11=2, a12=3, a21=1 ja a22=1 ja matriisi B merkinnöillä b11=4, b12=5, b 21 =1 ja b22=2. Etsi determinantit matriiseille A ja B, tulo A × B ja tämän tulon determinantti.
Päätöksen eteneminen.
Vaihe yksi. Laske A:n determinantti: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Laske seuraavaksi B:n determinantti: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Vaihe kaksi. Etsitääntulo A × B. Merkitse uusi matriisi kirjaimella C. Laske sen elementit:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Vaihe kolme. Laske C:n determinantti: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Vertaa arvoon, joka voidaan saada kertomalla alkuperäisten matriisien determinantit. Numerot ovat samat. Yllä oleva lause on totta.
Tuotesijoitus
Matriisin sijoitus on ominaisuus, joka heijastaa lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden enimmäismäärää. Arvon laskemiseksi suoritetaan matriisin alkeismuunnokset:
- kahden rinnakkaisen rivin uudelleenjärjestely;
- kerrotaan kaikki taulukon tietyn rivin elementit nollasta poikkeavalla luvulla;
- lisäämällä yhden rivin elementteihin toiselta riviltä, kerrottuna tietyllä numerolla.
Katso alkeismuunnosten jälkeen nollasta poikkeavien merkkijonojen lukumäärä. Niiden lukumäärä on matriisin arvo. Harkitse edellistä esimerkkiä. Se esitti 2 matriisia: A elementeillä a11=2, a12=3, a21=1 ja a22 =1 ja B elementeillä b11=4, b12=5, b21=1 ja b22=2. Käytämme myös kertolaskulla saatua matriisia C. Jos suoritamme perusmuunnoksia, yksinkertaistetuissa matriiseissa ei ole nollarivejä. Tämä tarkoittaa, että sekä taulukon A että taulukon B sijoitus ja sijoitusTaulukko C on 2.
Kiinnitetään nyt erityistä huomiota matriisien tulon arvoon. On olemassa lause, joka sanoo, että numeerisia elementtejä sisältävien taulukoiden tulon arvo ei ylitä minkään tekijän arvoa. Tämä voidaan todistaa. Olkoon A k × s matriisi ja B s × m matriisi. A:n ja B:n tulo on yhtä suuri kuin C.
Tutkitaanpa yllä olevaa kuvaa. Se näyttää matriisin C ensimmäisen sarakkeen ja sen yksinkertaistetun merkintätavan. Tämä sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisiin A sisältyviä sarakkeita. Samoin voidaan sanoa mistä tahansa muusta sarakkeesta suorakaiteen muotoisesta taulukosta C. Näin ollen taulukon C sarakevektorien muodostama aliavaruus on taulukon C sarakevektoreiden muodostamassa aliavaruudessa. taulukon A sarakevektorit. Näin ollen aliavaruuden nro 1 ulottuvuus ei ylitä aliavaruuden nro 2 mittaa. Tämä tarkoittaa, että taulukon C sarakkeiden sijoitus ei ylitä taulukon A sarakkeiden arvoa, eli r(C) ≦ r(A). Jos väittelemme samalla tavalla, voimme varmistaa, että matriisin C rivit ovat lineaarisia yhdistelmiä matriisin B riveistä. Tästä seuraa epäyhtälö r(C) ≦ r(B).
Matriisien tulon löytäminen on melko monimutkainen aihe. Se voidaan hallita helposti, mutta saavuttaaksesi tällaisen tuloksen joudut viettämään paljon aikaa kaikkien olemassa olevien sääntöjen ja lauseiden opettelemiseen ulkoa.
