Tärkeä geometrinen objekti, jota tutkitaan tasaisessa avaruudessa, on suora viiva. Kolmiulotteisessa avaruudessa on suoran lisäksi myös taso. Molemmat objektit määritellään kätevästi suuntavektoreilla. Mikä se on, miten näitä vektoreita käytetään määrittämään suoran ja tason yhtälöt? Näitä ja muita kysymyksiä käsitellään artikkelissa.
Suoralinja ja miten se määritellään
Jokaisella opiskelijalla on hyvä käsitys siitä, mistä geometrisesta esineestä hän puhuu. Matematiikan näkökulmasta suora on joukko pisteitä, jotka mieliv altaisen pariyhteyden tapauksessa johtavat joukkoon rinnakkaisia vektoreita. Tätä suoran määritelmää käytetään yhtälön kirjoittamiseen sille sekä kahdessa että kolmessa ulottuvuudessa.
Tarkastelevan yksiulotteisen objektin kuvaamiseen käytetään erityyppisiä yhtälöitä, jotka on lueteltu alla olevassa luettelossa:
- yleisnäkymä;
- parametrinen;
- vektori;
- kanoninen tai symmetrinen;
- osissa.
Jokaisella näistä lajeista on joitain etuja muihin verrattuna. Esimerkiksi segmentissä olevaa yhtälöä on kätevä käyttää tutkittaessa suoran käyttäytymistä suhteessa koordinaattiakseleihin, yleinen yhtälö on kätevä, kun löydetään suunta, joka on kohtisuora tiettyyn suoraan nähden, sekä laskettaessa sen kulmaa. leikkauspiste x-akselin kanssa (tasaisessa tapauksessa).
Koska tämän artikkelin aihe liittyy suoran suuntausvektoriin, tarkastelemme edelleen vain yhtälöä, jossa tämä vektori on perustavanlaatuinen ja sisältyy eksplisiittisesti, eli vektorilauseke.
Suoran määrittäminen vektorin kautta
Oletetaan, että meillä on jokin vektori v¯, jonka koordinaatit tunnetaan (a; b; c). Koska koordinaatteja on kolme, vektori on annettu avaruudessa. Kuinka kuvata se suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä? Tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti: jokaiselle kolmelle akselille piirretään segmentti, jonka pituus on yhtä suuri kuin vektorin vastaava koordinaatti. Kolmen xy-, yz- ja xz-tasoihin palautetun kohtisuoran leikkauspiste on vektorin loppu. Sen alku on piste (0; 0; 0).
Viktorin annettu sijainti ei kuitenkaan ole ainoa. Vastaavasti voidaan piirtää v¯ asettamalla sen origo mieliv altaiseen avaruuden pisteeseen. Nämä argumentit sanovat, että on mahdotonta asettaa tiettyä viivaa vektorin avulla. Se määrittelee perheen, jossa on ääretön määrä rinnakkaisia viivoja.
Nytkorjaa jokin piste P(x0; y0; z0) avaruudesta. Ja asetimme ehdon: P:n läpi tulee kulkea suora. Tässä tapauksessa vektorin v¯ tulee sisältää myös tämä piste. Viimeinen tosiasia tarkoittaa, että yksi rivi voidaan määritellä käyttämällä P ja v¯. Se kirjoitetaan seuraavalla yhtälöllä:
Q=P + λ × v¯
Tässä Q on mikä tahansa viivaan kuuluva piste. Tämä piste saadaan valitsemalla sopiva parametri λ. Kirjoitettua yhtälöä kutsutaan vektoriyhtälöksi ja v¯ suoran suuntavektoriksi. Järjestämällä se siten, että se kulkee P:n läpi ja muuttamalla sen pituutta parametrilla λ, saadaan jokainen Q:n piste suorana.
Koordinaattimuodossa yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Ja eksplisiittisessä (parametrisessa) muodossa voit kirjoittaa:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Jos jätämme kolmannen koordinaatin pois yllä olevista lausekkeista, saamme tason suoran vektoriyhtälöt.
Mihin tehtäviin on hyödyllistä tietää suuntavektori ?
Nämä ovat pääsääntöisesti tehtäviä suorien yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran määrittämiseksi. Suunnan määräävää suoraa vektoria käytetään myös laskettaessa suorien viivojen ja pisteen sekä suoran välistä etäisyyttä kuvaamaan suoran käyttäytymistä suhteessa tasoon.
Kaksisuorat ovat yhdensuuntaisia, jos niiden suuntavektorit ovat. Vastaavasti suorien kohtisuoraisuus todistetaan käyttämällä niiden vektoreiden kohtisuoraa. Tämän tyyppisissä ongelmissa vastauksen saamiseksi riittää laskea tarkasteltujen vektorien skalaaritulo.
Viivojen ja pisteiden välisten etäisyyksien laskentatehtävissä suuntavektori sisällytetään eksplisiittisesti vastaavaan kaavaan. Kirjoita se ylös:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Tässä P1P2¯ - rakennettu pisteisiin P1 ja P 2 suunnattu segmentti. Piste P2 on mieliv altainen, ja se sijaitsee suoralla vektorin v¯ kanssa, kun taas piste P1 on se, johon etäisyyden tulisi olla olla päättäväinen. Se voi olla joko itsenäinen tai kuulua toiselle linjalle tai tasolle.
Huomaa, että viivojen välinen etäisyys on järkevää laskea vain, kun ne ovat yhdensuuntaisia tai leikkaavia. Jos ne leikkaavat, d on nolla.
Yllä oleva kaava d:lle pätee myös tason ja sen suuntaisen suoran välisen etäisyyden laskemiseen, vain tässä tapauksessa P1pitäisi kuulua tasoon.
Ratkaistaan useita tehtäviä näyttääksemme paremmin, kuinka tarkasteltua vektoria käytetään.
Vektoriyhtälöongelma
On tunnettua, että suoraa kuvaa seuraava yhtälö:
y=3 × x - 4
Kirjoita sopiva lauseke sisäänvektorimuoto.
Tämä on tyypillinen suoran yhtälö, jonka jokainen koululainen tuntee ja joka on kirjoitettu yleisessä muodossa. Näytämme kuinka se kirjoitetaan uudelleen vektorimuodossa.
Lauke voidaan esittää seuraavasti:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Voidaan nähdä, että jos avaat sen, saat alkuperäisen tasa-arvon. Nyt jaamme sen oikean puolen kahdeksi vektoriksi siten, että vain toinen niistä sisältää x:n, meillä on:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Enää jää ottaa x pois suluista, merkitä se kreikkalaisella symbolilla ja vaihtaa oikean puolen vektorit:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Saimme alkuperäisen lausekkeen vektorimuodon. Suoran suuntavektorikoordinaatit ovat (1; 3).
Viivojen suhteellisen sijainnin määrittäminen
Avaruudessa on annettu kaksi riviä:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Ovatko ne yhdensuuntaiset, risteävät vai leikkaavatko ne?
Nollasta poikkeavat vektorit (-1; 3; 1) ja (1; 2; 0) ohjaavat näitä rivejä. Esitetään nämä yhtälöt parametrimuodossa ja korvataan ensimmäisen koordinaatit toisella. Saamme:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Korvaa löydetty parametri λ kahdelle yllä olevalle yhtälölle, saamme:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ- 1=5
Parametri γ ei voi ottaa kahta eri arvoa samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että viivoilla ei ole yhtä yhteistä pistettä, eli ne leikkaavat. Ne eivät ole rinnakkaisia, koska nollasta poikkeavat vektorit eivät ole yhdensuuntaisia toistensa kanssa (niiden yhdensuuntaisuuden vuoksi on oltava luku, joka kertomalla yhdellä vektorilla johtaisi toisen koordinaatteihin).
Matemaattinen kuvaus tasosta
Asettaaksesi tason avaruuteen, annamme yleisen yhtälön:
A × x + B × y + C × z + D=0
Tässä latinalaiset isot kirjaimet edustavat tiettyjä numeroita. Kolme ensimmäistä niistä määrittelevät tason normaalivektorin koordinaatit. Jos se on merkitty n¯:lla, niin:
n¯=(A; B; C)
Tämä vektori on kohtisuorassa tasoon nähden, joten sitä kutsutaan ohjeeksi. Sen tieto sekä minkä tahansa tasoon kuuluvan pisteen tunnetut koordinaatit määräävät viimeksi mainitun yksiselitteisesti.
Jos piste P(x1; y1; z1) kuuluu tasoon, niin leikkauspiste D lasketaan seuraavasti:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Ratkaistaan pari tehtävää tason yleisen yhtälön avulla.
Tehtävä vartentason normaalivektorin löytäminen
Taso määritellään seuraavasti:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Kuinka löytää suuntavektori hänelle?
Yllä olevasta teoriasta seuraa, että normaalivektorin n¯ koordinaatit ovat kertoimia muuttujien edessä. Tässä suhteessa n¯:n löytämiseksi yhtälö tulee kirjoittaa yleisessä muodossa. Meillä on:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Sitten tason normaalivektori on:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Tason yhtälön laatimisen ongelma
Kolmen pisteen koordinaatit on annettu:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Miltä näyttää kaikki nämä pisteet sisältävän tason yhtälö.
Kolmen pisteen läpi, jotka eivät kuulu samalle suoralle, voidaan piirtää vain yksi taso. Sen yhtälön löytämiseksi lasketaan ensin tason n¯ suuntavektori. Tätä varten toimimme seuraavasti: löydämme mieliv altaiset kaksi tasoon kuuluvaa vektoria ja laskemme niiden vektoritulon. Se antaa vektorin, joka on kohtisuorassa tähän tasoon nähden, eli n¯. Meillä on:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Ota piste M1piirtääksesitasoilmaisuja. Saamme:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Olemme saaneet yleisen tyyppisen lausekkeen avaruuden tasolle määrittämällä sille ensin suuntavektorin.
Ristitulo-ominaisuus tulee muistaa tasotehtäviä ratkaistaessa, koska sen avulla voit määrittää normaalivektorin koordinaatit yksinkertaisella tavalla.
