Melko usein matemaattisessa tieteessä on useita vaikeuksia ja kysymyksiä, ja monet vastaukset eivät aina ole selkeitä. Ei poikkeus ollut sellainen aihe kuin sarjojen kardinaalisuus. Itse asiassa tämä ei ole muuta kuin objektien lukumäärän numeerinen ilmaus. Yleisesti ottaen joukko on aksiooma; sillä ei ole määritelmää. Se perustuu mihin tahansa esineeseen tai pikemminkin niiden joukkoon, joka voi olla tyhjä, äärellinen tai ääretön. Lisäksi se sisältää kokonaislukuja tai luonnollisia lukuja, matriiseja, sekvenssejä, segmenttejä ja viivoja.
Tietoja olemassa olevista muuttujista
Nolla- tai tyhjä joukko, jolla ei ole sisäistä arvoa, katsotaan kardinaalielementiksi, koska se on osajoukko. Ei-tyhjän joukon S kaikkien osajoukkojen kokoelma on joukko joukkoja. Näin ollen tietyn joukon potenssijoukon katsotaan olevan monia, ajateltavissa olevia, mutta yksittäisiä. Tätä joukkoa kutsutaan S:n potenssijoukoksi ja sitä merkitään P (S). Jos S sisältää N elementtiä, niin P(S) sisältää 2^n osajoukkoa, koska P(S):n osajoukko on joko ∅ tai osajoukko, joka sisältää r elementtiä S:stä, r=1, 2, 3, … Koostuu kaikesta äärettömästäjoukkoa M kutsutaan tehosuureeksi ja sitä merkitään symbolisesti P (M).
Joukkoteorian elementit
Tämän tietokentän kehitti George Cantor (1845-1918). Nykyään sitä käytetään melkein kaikilla matematiikan aloilla ja se toimii sen perusosana. Joukkoteoriassa alkiot esitetään luettelon muodossa ja ne annetaan tyypeillä (tyhjä joukko, singleton, äärelliset ja äärettömät joukot, yhtäläiset ja ekvivalentit, universaalit), liiton, leikkauspisteen, erotuksen ja lukujen yhteenlaskennan. Arkielämässä puhumme usein esineiden kokoelmasta, kuten avainnippu, lintuparvi, korttipakkaus jne. Matematiikan luokalla 5 ja sen jälkeen on luonnollisia, kokonaislukuja, alkulukuja ja yhdistelmälukuja.
Seuraavia sarjoja voidaan harkita:
- luonnolliset numerot;
- aakkosten kirjaimet;
- ensisijaiset kertoimet;
- kolmiot eri sivuilla.
Voidaan nähdä, että nämä määritellyt esimerkit ovat hyvin määriteltyjä objektijoukkoja. Harkitse vielä muutamia esimerkkejä:
- maailman viisi kuuluisinta tiedemiestä;
- seitsemän kaunista tyttöä yhteiskunnassa;
- kolme parasta kirurgia.
Nämä kardinaalisuusesimerkit eivät ole tarkasti määriteltyjä esinekokoelmia, koska "kuuluisin", "kaunein", "paras" kriteerit vaihtelevat henkilöstä toiseen.
Lavat
Tämä arvo on hyvin määritelty määrä erilaisia objekteja. Olettaen, että:
- sanajoukko on synonyymi, aggregaatti, luokka ja sisältää elementtejä;
- objektit, jäsenet ovat samat ehdot;
- sarjat merkitään yleensä isoilla kirjaimilla A, B, C;
- joukkoelementit esitetään pienillä kirjaimilla a, b, c.
Jos "a" on joukon A elementti, niin sanotaan "a" kuuluvan A:lle. Merkitään lause "kuuluu" kreikkalaisella merkillä "∈" (epsilon). Siten käy ilmi, että a ∈ A. Jos 'b' on elementti, joka ei kuulu A:hen, tämä esitetään muodossa b ∉ A. Jotkut luokan 5 matematiikassa käytetyt tärkeät joukot esitetään kolmella seuraavalla menetelmällä:
- sovellukset;
- rekisterit tai taulukko;
- muodostelman luomissääntö.
Tarkemmin tarkasteltuna hakulomake perustuu seuraavaan. Tässä tapauksessa annetaan selkeä kuvaus joukon elementeistä. Ne kaikki on suljettu kiharaisiin a altosulkeisiin. Esimerkki:
- joukko parittomia lukuja, jotka ovat pienempiä kuin 7 - kirjoitetaan muodossa {vähemmän kuin 7};
- joukko numeroita, jotka ovat suurempia kuin 30 ja pienempiä kuin 55;
- luokan oppilaiden lukumäärä, jotka painavat enemmän kuin opettaja.
Rekisteri (taulukko) -muodossa joukon elementit on lueteltu suluissa {} ja erotettu pilkuilla. Esimerkki:
- Olkoon N viiden ensimmäisen luonnollisen luvun joukko. Siksi N=→ rekisteröintilomake
- Englannin aakkosten kaikki vokaalit. Tästä syystä V={a, e, i, o, u, y} → rekisteröintilomake
- Kaikkien parittomien lukujen joukko on pienempi kuin 9. Siksi X={1, 3, 5, 7} → muotorekisteri
- Sanan "Math" kaikki kirjaimet. Siksi Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Rekisterilomake
- W on vuoden neljän viimeisen kuukauden sarja. Siksi W={Syyskuu, lokakuu, marraskuu, joulukuu} → rekisteri.
Huomaa, että elementtien luettelointijärjestyksellä ei ole väliä, mutta niitä ei saa toistaa. Vakiintunut konstruktiomuoto, tietyssä tapauksessa sääntö, kaava tai operaattori kirjoitetaan hakasulkeisiin, jotta joukko määritellään oikein. Joukon rakentaja -lomakkeessa kaikilla elementeillä on oltava sama ominaisuus, jotta niistä voi tulla kyseisen arvon jäsen.
Tässä joukkoesitysmuodossa joukon elementtiä kuvataan merkillä "x" tai millä tahansa muulla muuttujalla, jota seuraa kaksoispiste (":" tai "|" käytetään osoittamaan). Olkoon P esimerkiksi yli 12 suurempien laskettavien lukujen joukko. P joukonmuodostajan muodossa kirjoitetaan - {countable number ja suurempi kuin 12}. Se lukee tietyllä tavalla. Toisin sanoen "P on joukko x-elementtejä siten, että x on laskettavissa ja suurempi kuin 12."
Ratkaistu esimerkki kolmella joukon esitystavalla: kokonaislukujen määrä välillä -2 ja 3. Alla on esimerkkejä erityyppisistä joukoista:
- Tyhjä tai nollajoukko, joka ei sisällä yhtään elementtiä ja joka on merkitty symbolilla ∅ ja luetaan phi-muodossa. Listamuodossa ∅ kirjoitetaan {}. Äärillinen joukko on tyhjä, koska elementtien lukumäärä on 0. Esimerkiksi kokonaislukuarvojen joukko on pienempi kuin 0.
- Ilmeisesti ei pitäisi olla <0. Siksi tämätyhjä sarja.
- Joukkoa, joka sisältää vain yhden muuttujan, kutsutaan singleton-joukoksi. Ei ole yksinkertainen eikä monimutkainen.
Rajallinen joukko
Joukkoa, joka sisältää tietyn määrän alkioita, kutsutaan äärelliseksi tai äärettömäksi joukoksi. Tyhjä viittaa ensimmäiseen. Esimerkiksi joukko sateenkaaren kaikkia värejä.
Infinity on joukko. Sen elementtejä ei voi luetella. Eli samank altaisten muuttujien sisältämistä kutsutaan äärettömäksi joukoksi. Esimerkkejä:
- tason kaikkien pisteiden joukon teho;
- joukko kaikkia alkulukuja.
Mutta sinun tulee ymmärtää, että kaikkia joukon liiton kardinaaleja ei voida ilmaista luettelon muodossa. Esimerkiksi reaaliluvut, koska niiden elementit eivät vastaa mitään tiettyä kaavaa.
Joukon kardinaaliluku on annetussa suuressa A olevien eri alkioiden lukumäärä. Sitä merkitään n (A).
Esimerkki:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Siksi n (A)=4.
- B=kirjainjoukko sanassa ALGEBRA.
Vastaavat sarjat sarjavertailua varten
Juukon A ja B kaksi kardinaalilukua ovat sellaisia, jos niiden kardinaaliluku on sama. Vastaavan joukon symboli on "↔". Esimerkki: A ↔ B.
Yhtäsuuret joukot: joukon A ja B kaksi kardinaalia, jos ne sisältävät samat alkiot. Jokainen A:n kerroin on muuttuja B:stä ja jokainen B on A:n määritetty arvo. Siksi A=B. Erityyppiset kardinaaliliitot ja niiden määritelmät selitetään annettujen esimerkkien avulla.
Erällisyyden ja äärettömyyden olemus
Mitä eroja on äärellisen joukon ja äärettömän joukon kardinaalisuuden välillä?
Ensimmäisellä arvolla on seuraava nimi, jos se on tyhjä tai siinä on äärellinen määrä elementtejä. Äärillisessä joukossa muuttuja voidaan määrittää, jos sillä on rajoitettu määrä. Esimerkiksi käyttämällä luonnollista lukua 1, 2, 3. Ja listausprosessi päättyy johonkin N:ään. Äärilliseen joukkoon S laskettujen eri alkioiden lukumäärää merkitään n:llä (S). Sitä kutsutaan myös järjestykseksi tai kardinaaliksi. Symbolisesti merkitty standardiperiaatteen mukaisesti. Siten, jos joukko S on venäjän aakkoset, se sisältää 33 elementtiä. On myös tärkeää muistaa, että elementti ei esiinny useammin kuin kerran joukossa.
Ääretön sarjassa
Joukkoa kutsutaan äärettömäksi, jos elementtejä ei voida luetella. Jos sillä on rajoittamaton (eli laskematon) luonnollinen luku 1, 2, 3, 4 mille tahansa n:lle. Joukkoa, joka ei ole äärellinen, kutsutaan äärettömäksi. Voimme nyt keskustella esimerkkejä tarkasteltavista numeerisista arvoista. Loppuarvovaihtoehdot:
- Annetaan Q={luonnolliset luvut alle 25}. Silloin Q on äärellinen joukko ja n (P)=24.
- Annetaan R={kokonaislukuja 5 ja 45 välillä}. Silloin R on äärellinen joukko ja n (R)=38.
- Annetaan S={numerot modulo 9}. Sitten S={-9, 9} on äärellinen joukko ja n (S)=2.
- Kaikkien ihmisten joukko.
- Kaikkien lintujen lukumäärä.
Äärettömät esimerkit:
- olemassa olevien pisteiden lukumäärä koneessa;
- kaikkien pisteiden lukumäärä janassa;
- 3:lla jaettavissa olevien positiivisten kokonaislukujen joukko on ääretön;
- kaikki kokonais- ja luonnolliset luvut.
Yllä olevasta päättelystä on siis selvää, miten äärelliset ja äärettömät joukot erotetaan toisistaan.
Jatkojoukon teho
Jos vertaamme joukkoa ja muita olemassa olevia arvoja, joukkoon liitetään lisäys. Jos ξ on universaali ja A on ξ:n osajoukko, niin A:n komplementti on niiden ξ:n kaikkien alkioiden lukumäärä, jotka eivät ole A:n elementtejä. Symbolisesti A:n komplementti suhteessa ξ:ään on A'. Esimerkiksi 2, 4, 5, 6 ovat ainoat ξ:n alkiot, jotka eivät kuulu A:een. Siksi A'={2, 4, 5, 6}
Kardinaalisuusjatkumolla varustetussa sarjassa on seuraavat ominaisuudet:
- yleissuureen täydennys on kyseessä oleva tyhjä arvo;
- tämä nollajoukkomuuttuja on universaali;
- summa ja sen komplementti ovat hajanaisia.
Esimerkki:
- Olkoon luonnollisten lukujen lukumäärä universaalijoukko ja A parillinen. Sitten A '{x: x on pariton joukko, jossa on samat numerot}.
- Olkoon ξ=aakkosten kirjainjoukko. A=joukko konsonantteja. Sitten A '=vokaalien määrä.
- Universaalisarjan täydennys on tyhjä määrä. Voidaan merkitä ξ:llä. Silloin ξ '=Niiden alkioiden joukko, jotka eivät sisälly ξ:hen. Tyhjä joukko φ kirjoitetaan ja merkitään. Siksi ξ=φ. Täten yleisjoukon komplementti on tyhjä.
Matematiikassa "jatkuvuutta" käytetään joskus edustamaan todellista suoraa. Ja yleisemmin kuvaamaan samank altaisia esineitä:
- jatkuvuus (joukkoteoriassa) - reaaliviiva tai vastaava kardinaaliluku;
- lineaarinen - mikä tahansa järjestetty joukko, jolla on tietyt todellisen rivin ominaisuudet;
- jatkuvuus (topologiassa) - ei-tyhjä kompakti yhdistetty metriavaruus (joskus Hausdorff);
- hypoteesi, jonka mukaan mikään ääretön joukko ei ole suurempi kuin kokonaisluku mutta pienempi kuin reaaliluku;
- jatkuvuuden potenssi on kardinaaliluku, joka edustaa reaalilukujoukon kokoa.
Pohjimmiltaan jatkumo (mittaus), teorioita tai malleja, jotka selittävät asteittaisen siirtymisen tilasta toiseen ilman äkillisiä muutoksia.
Yhtymän ja risteyksen ongelmat
On tunnettua, että kahden tai useamman joukon leikkauspiste on luku, joka sisältää kaikki näissä arvoissa yhteiset alkiot. Joukkojen sanatehtävät ratkaistaan saadakseen perusideoita joukkojen liitos- ja leikkausominaisuuksien käytöstä. Ratkaisi tärkeimmät sanaongelmatsarjat näyttävät tältä:
Olkoon A ja B kaksi äärellistä joukkoa. Ne ovat sellaisia, että n (A)=20, n (B)=28 ja n (A ∪ B)=36, etsi n (A ∩ B)
Suhde joukoissa Venn-kaavion avulla:
- Kahden joukon liitto voidaan esittää varjostetulla alueella, joka edustaa A ∪ B. A ∪ B, kun A ja B ovat disjunktoituja joukkoja.
- Kahden joukon leikkauspiste voidaan esittää Venn-kaaviolla. Varjostettu alue edustaa A ∩ B.
- Kahden joukon välinen ero voidaan esittää Venn-kaavioilla. Varjostettu alue edustaa A - B.
- Kolmen joukon välinen suhde Venn-kaavion avulla. Jos ξ edustaa universaalia määrää, niin A, B, C ovat kolme osajoukkoa. Tässä kaikki kolme sarjaa menevät päällekkäin.
Järjestön tietojen yhteenveto
Juukon kardinaalisuus määritellään joukon yksittäisten elementtien kokonaismääränä. Ja viimeksi määritetty arvo kuvataan kaikkien osajoukkojen lukumääränä. Tällaisia kysymyksiä tutkittaessa tarvitaan menetelmiä, menetelmiä ja ratkaisuja. Joten joukon kardinaalisuuden kann alta seuraavat esimerkit voivat toimia seuraavasti:
Anna A={0, 1, 2, 3}| |=4, missä | A | edustaa joukon A kardinaalisuutta.
Nyt löydät akkusi. Se on myös melko yksinkertainen. Kuten jo sanottiin, tehojoukko asetetaan tietyn luvun kaikista osajoukoista. Joten pitäisi periaatteessa määritellä kaikki A:n muuttujat, elementit ja muut arvot,jotka ovat {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nyt tehoselvitä P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, jossa on 16 elementtiä. Näin ollen joukon A kardinaalisuus=16. On selvää, että tämä on työläs ja hankala menetelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi. On kuitenkin olemassa yksinkertainen kaava, jolla voit suoraan tietää elementtien lukumäärän tietyn luvun potenssijoukossa. | P |=2 ^ N, missä N on jonkin A:n alkioiden lukumäärä. Tämä kaava voidaan saada käyttämällä yksinkertaista kombinatoriikkaa. Joten kysymys on 2^11, koska joukon A elementtien lukumäärä on 11.
Joten joukko on mikä tahansa numeerisesti ilmaistu suure, joka voi olla mikä tahansa mahdollinen objekti. Esimerkiksi autot, ihmiset, numerot. Matemaattisessa mielessä tämä käsite on laajempi ja yleistetympi. Jos alkuvaiheessa numerot ja niiden ratkaisuvaihtoehdot selvitetään, niin keski- ja ylemmissä vaiheissa olosuhteet ja tehtävät ovat monimutkaisia. Itse asiassa joukon liiton kardinaalisuuden määrää esineen kuuluminen mihin tahansa ryhmään. Eli yksi elementti kuuluu luokkaan, mutta sillä on yksi tai useampi muuttuja.
