Yksi yliopistomatematiikan vaikeimmista ja käsittämättömimmistä aiheista on integraatio ja differentiaalilaskenta. Sinun on tiedettävä ja ymmärrettävä nämä käsitteet sekä osattava soveltaa niitä. Monet yliopiston tekniset tieteenalat on sidottu differentiaaleihin ja integraaleihin.
Lyhyt tietoa yhtälöistä
Nämä yhtälöt ovat yksi koulutusjärjestelmän tärkeimmistä matemaattisista käsitteistä. Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää riippumattomat muuttujat, löydettävän funktion ja funktion derivaatat muuttujiin, joiden oletetaan olevan riippumattomia. Differentiaalilaskentaa yhden muuttujan funktion löytämiseksi kutsutaan tavalliseksi. Jos haluttu funktio riippuu useista muuttujista, puhutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.
Itse asiassa tietyn vastauksen löytäminen yhtälöön edellyttää integrointia, ja ratkaisumenetelmä määräytyy yhtälön tyypin mukaan.
Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt
Ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka voi kuvata muuttujan, halutun funktion ja sen ensimmäisen derivaatan. Tällaiset yhtälöt voidaan antaa kolmessa muodossa: eksplisiittinen, implisiittinen, differentiaalinen.
Ratkaisemiseen tarvittavat käsitteet
Alkuehto - halutun funktion arvon asettaminen tietylle muuttujan arvolle, joka on riippumaton.
Differentiaaliyhtälön ratkaisu - mikä tahansa differentioituva funktio, joka on täsmälleen korvattu alkuperäisellä yhtälöllä, muuttaa sen identtiseksi yhtäläiseksi. Saatu ratkaisu, joka ei ole eksplisiittinen, on yhtälön integraali.
Differentiaaliyhtälöiden yleinen ratkaisu on funktio y=y(x;C), joka voi täyttää seuraavat päätökset:
- Funktionilla voi olla vain yksi mieliv altainen vakio С.
- Saadun funktion on oltava ratkaisu yhtälöön mieliv altaisen vakion mieliv altaisille arvoille.
- Tietyllä alkuehdolla mieliv altainen vakio voidaan määrittää ainutlaatuisella tavalla, jotta tuloksena oleva tietty ratkaisu on yhdenmukainen annetun aikaisen alkuehdon kanssa.
Käytännössä käytetään usein Cauchyn ongelmaa - ratkaisun löytäminen, joka on erityinen ja jota voidaan verrata alussa asetettuun ehtoon.
Cauchyn lause on lause, joka korostaa tietyn ratkaisun olemassaoloa ja ainutlaatuisuutta differentiaalilaskennassa.
Geometrinen tunne:
- Yleinen ratkaisu y=y(x;C)yhtälö on integraalikäyrien kokonaismäärä.
- Differentiaalilaskennan avulla voit yhdistää XOY-tason pisteen koordinaatit integraalikäyrään piirretyn tangentin kanssa.
- Alkuehdon asettaminen tarkoittaa pisteen asettamista tasolle.
- Cauchyn ongelman ratkaiseminen tarkoittaa, että koko yhtälön samaa ratkaisua edustavien integraalikäyrien joukosta on valittava ainoa, joka kulkee ainoan mahdollisen pisteen kautta.
- Cauchyn lauseen ehtojen täyttyminen pisteessä tarkoittaa, että integraalikäyrä (lisäksi vain yksi) kulkee välttämättä valitun tason pisteen läpi.
Erotettavissa oleva muuttujayhtälö
Määritelmän mukaan differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa sen oikea puoli kuvaa tai heijastuu kahden funktion tulona (joskus suhdelukuna), joista toinen riippuu vain "x:stä" ja toinen - vain "y:stä" ". Selkeä esimerkki tällaisesta: y'=f1(x)f2(y).
Jotta voit ratkaista tietyn muotoisia yhtälöitä, sinun on ensin muunnettava derivaatta y'=dy/dx. Sitten yhtälöä muokkaamalla sinun on saatettava se muotoon, jossa voit integroida yhtälön kaksi osaa. Tarvittavien muunnosten jälkeen integroimme molemmat osat ja yksinkertaistamme tulosta.
Homogeeniset yhtälöt
Määritelmän mukaan differentiaaliyhtälöä voidaan kutsua homogeeniseksi, jos sillä on seuraava muoto: y'=g(y/x).
Tässä tapauksessa käytetään useimmiten korvausta y/x=t(x).
Tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on tarpeen pelkistää homogeeninen yhtälö muotoon, jossa on erotettavia muuttujia. Voit tehdä tämän suorittamalla seuraavat toiminnot:
- Näyttö, joka ilmaisee alkuperäisen funktion derivaatan mistä tahansa alkuperäisestä funktiosta uutena yhtälönä.
- Seuraava vaihe on muuntaa tuloksena oleva funktio muotoon f(x;y)=g(y/x). Yksinkertaisemmin sanottuna yhtälö sisältää vain suhteen y/x ja vakiot.
- Korvaa seuraava: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Tehty korvaus auttaa jakamaan yhtälön muuttujat ja tuomaan sen vähitellen yksinkertaisempaan muotoon.
Lineaariset yhtälöt
Tällaisten yhtälöiden määritelmä on seuraava: lineaarinen differentiaaliyhtälö on yhtälö, jossa sen oikea puoli ilmaistaan lineaarisena lausekkeena suhteessa alkuperäiseen funktioon. Haluttu funktio tässä tapauksessa: y'=a(x)y + b(x).
Muuta määritelmä uudelleen seuraavasti: mistä tahansa 1. asteen yhtälöstä tulee muodossaan lineaarinen, jos alkuperäinen funktio ja sen derivaatta sisältyvät ensimmäisen asteen yhtälöön eikä niitä kerrota keskenään. Lineaarisen differentiaaliyhtälön "klassisella muodolla" on seuraava rakenne: y' + P(x)y=Q(x).
Ennen tällaisen yhtälön ratkaisemista se tulee muuntaa "klassiseen muotoon". Seuraava askel on ratkaisumenetelmän valinta: Bernoulli-menetelmä tai Lagrange-menetelmä.
Yhtälön ratkaiseminenBernoullin esittämää menetelmää käyttäen tarkoittaa lineaarisen differentiaaliyhtälön korvaamista ja pelkistämistä kahdeksi yhtälöksi, joissa on erilliset muuttujat suhteessa funktioihin U(x) ja V(x), jotka annettiin alkuperäisessä muodossaan.
Lagrangen menetelmä on löytää yleinen ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön.
- Homogeeniselle yhtälölle on löydettävä sama ratkaisu. Haun jälkeen meillä on funktio y=y(x, C), jossa C on mieliv altainen vakio.
- Etsimme ratkaisua alkuperäiseen yhtälöön samassa muodossa, mutta otamme huomioon C=C(x). Korvataan funktio y=y(x, C(x)) alkuperäiseen yhtälöön, etsitään funktio C(x) ja kirjoitetaan ylös yleisen alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Bernoullin yhtälö
Bernoullin yhtälö - jos laskennan oikea puoli on muodossa f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, missä k on mikä tahansa mahdollinen rationaalinen numeerinen arvo, jota ei oteta esimerkkitapaukset, joissa k=0 ja k=1.
Jos k=1, niin laskusta tulee erotettavissa oleva, ja kun k=0, yhtälö pysyy lineaarisena.
Katsotaanpa yleistä tapausta ratkaista tämän tyyppinen yhtälö. Meillä on standardi Bernoulli-yhtälö. Se on vähennettävä lineaariseksi, tätä varten sinun on jaettava yhtälö yk:llä. Korvaa tämän toimenpiteen jälkeen z(x)=y1-k. Muutossarjan jälkeen yhtälö pelkistyy lineaariseksi, useimmiten korvausmenetelmällä z=UV.
Yhtälöt kokonaisdifferentiaaleissa
Määritelmä. Yhtälöä, jonka rakenne on P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0, kutsutaan kokonaisuudessaan yhtälöksidifferentiaalit, jos seuraava ehto täyttyy (tässä ehdossa "d" on osittainen differentiaali): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Kaikki aiemmin tarkastellut ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan näyttää differentiaaleina.
Tällaiset laskelmat ratkaistaan useilla tavoilla. Mutta ne kaikki alkavat kuitenkin kuntotarkastuksella. Jos ehto täyttyy, yhtälön vasemmanpuoleisin alue on vielä tuntemattoman funktion U(x;y) kokonaisdifferentiaali. Tällöin yhtälön mukaisesti dU (x; y) on nolla, ja siksi yhtälön sama integraali kokonaisdifferentiaaleissa näytetään muodossa U (x; y) u003d C. Siksi yhtälön ratkaisu pelkistetään funktion U (x; y) löytämiseen.
Integrointitekijä
Jos ehto dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ei täyty yhtälössä, yhtälöllä ei ole yllä tarkasteltua muotoa. Mutta joskus on mahdollista valita jokin funktio M(x;y), jolla kerrottuna yhtälö saa yhtälön muodon täydessä "diffuurissa". Funktiota M (x;y) kutsutaan integroivaksi tekijäksi.
Integraattori löytyy vain, kun siitä tulee vain yhden muuttujan funktio.
