Käytännössä syntyy usein tehtäviä, jotka edellyttävät kykyä rakentaa erimuotoisia geometrisia muotoja ja löytää leikkauspinta-ala. Tässä artikkelissa tarkastellaan, kuinka tärkeät osat prismasta, pyramidista, kartiosta ja sylinteistä rakennetaan ja kuinka niiden pinta-alat lasketaan.
3D-figuurit
Stereometriasta tiedetään, että täysin minkä tahansa tyyppistä kolmiulotteista hahmoa rajoittavat useat pinnat. Esimerkiksi sellaisille monitahoisille kuin prisma ja pyramidi nämä pinnat ovat monikulmiosivuja. Sylinterin ja kartion kohdalla puhumme lieriömäisten ja kartiomaisten kuvioiden pyörimispinnoista.
Jos otamme tason ja leikkaamme mieliv altaisesti kolmiulotteisen hahmon pinnan, saamme poikkileikkauksen. Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen tason osan pinta-ala, joka on kuvion tilavuuden sisällä. Tämän alueen minimiarvo on nolla, joka toteutuu, kun taso koskettaa kuvaa. Esimerkiksi yhdestä pisteestä muodostuva leikkaus saadaan, jos taso kulkee pyramidin tai kartion huipun läpi. Poikkileikkausalan enimmäisarvo riippuukuvion ja tason suhteellinen sijainti sekä kuvion muoto ja koko.
Alla pohditaan, kuinka lasketaan muotoiltujen poikkileikkausten pinta-ala kahdelle kierrosluvulle (sylinteri ja kartio) ja kahdelle polyhedralle (pyramidi ja prisma).
Sylinteri
Pyöreä sylinteri on suorakulmion pyörimisluku minkä tahansa sivunsa ympäri. Sylinterille on tunnusomaista kaksi lineaarista parametria: perussäde r ja korkeus h. Alla oleva kaavio näyttää, miltä pyöreä suora sylinteri näyttää.
Tälle luvulle on kolme tärkeää osiotyyppiä:
- kierros;
- suorakulmainen;
- elliptinen.
Elliptinen muodostuu, kun taso leikkaa kuvion sivupinnan jossain kulmassa sen pohjaan nähden. Pyöreä on tulos sivupinnan leikkaustason leikkauspisteestä, joka on yhdensuuntainen sylinterin pohjan kanssa. Lopuksi saadaan suorakaiteen muotoinen, jos leikkaustaso on yhdensuuntainen sylinterin akselin kanssa.
Pyöreä pinta-ala lasketaan kaavalla:
S1=pir2
Sylinterin akselin läpi kulkevan aksiaalisen osan eli suorakaiteen pinta-ala määritellään seuraavasti:
S2=2rh
Kartioosat
Kartio on suorakulmaisen kolmion kiertokuva yhden jalan ympärillä. Kartiossa on yksi yläosa ja pyöreä pohja. Sen parametrit ovat myös säde r ja korkeus h. Alla on esimerkki paperikartiosta.
Kartioprofiileja on useita tyyppejä. Listataan ne:
- kierros;
- elliptinen;
- parabolinen;
- hyperbolinen;
- kolmio.
Ne korvaavat toisensa, jos lisäät leikkaustason k altevuuskulmaa pyöreään alustaan nähden. Helpoin tapa on kirjoittaa muistiin kaavat ympyrän ja kolmion poikkileikkauspinta-alalle.
Ympyrän muotoinen leikkaus muodostuu kartion muotoisen pinnan ja alustan kanssa yhdensuuntaisen tason leikkaamisen seurauksena. Sen alueelle pätee seuraava kaava:
S1=pir2z2/h 2
Tässä z on etäisyys kuvion yläreunasta muodostettuun osaan. Voidaan nähdä, että jos z=0, niin taso kulkee vain kärjen kautta, joten alue S1 on yhtä suuri kuin nolla. Koska z < h, tutkittavan osan pinta-ala on aina pienempi kuin sen kanta-arvo.
Kolmio saadaan, kun taso leikkaa kuvion sen pyörimisakselia pitkin. Tuloksena olevan osan muoto on tasakylkinen kolmio, jonka sivut ovat pohjan ja kartion kahden generaattorin halkaisija. Kuinka löytää kolmion poikkileikkauspinta-ala? Vastaus tähän kysymykseen on seuraava kaava:
S2=rh
Tämä yhtälö saadaan soveltamalla mieliv altaisen kolmion pinta-alan kaavaa sen kantan ja korkeuden pituuden kautta.
Prismaosuudet
Prisma on suuri joukko hahmoja, joille on ominaista kaksi identtistä monikulmion kantaa, jotka ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa,yhdistetty suunnikasilla. Mikä tahansa prisman osa on monikulmio. Ottaen huomioon tarkasteltavien kuvioiden monimuotoisuuden (viistot, suorat, n-kulmaiset, säännölliset, koverat prismat), myös niiden poikkileikkausten monimuotoisuus on suuri. Alla tarkastellaan vain joitain erikoistapauksia.
Jos leikkaustaso on yhdensuuntainen kannan kanssa, niin prisman poikkileikkauspinta-ala on yhtä suuri kuin tämän kannan pinta-ala.
Jos taso kulkee kahden kannan geometristen keskipisteiden läpi, eli se on yhdensuuntainen kuvion sivureunojen kanssa, muodostuu leikkaukseen suuntaviiva. Suorien ja säännöllisten prismien tapauksessa tarkasteltu leikkausnäkymä on suorakulmio.
Pyramidi
Pyramidi on toinen monitahoinen, joka koostuu n-kulmiosta ja n kolmiosta. Alla on esimerkki kolmiopyramidista.
Jos leikkaus piirretään tasolla, joka on yhdensuuntainen n-kulmaisen kannan kanssa, sen muoto on täsmälleen sama kuin kannan muoto. Tällaisen osan pinta-ala lasketaan kaavalla:
S1=So(h-z)2/h 2
Missä z on etäisyys pohjasta leikkaustasoon, So on kannan pinta-ala.
Jos leikkaustaso sisältää pyramidin huipun ja leikkaa sen pohjan, saadaan kolmion muotoinen leikkaus. Laskeaksesi sen pinta-alan, sinun on käytettävä sopivaa kolmion kaavaa.
