Kaava ihanteellisten kaasumolekyylien neliönopeuden keskiarvolle. Esimerkki tehtävästä

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Molekyylikineettinen teoria mahdollistaa termodynaamisen järjestelmän tärkeiden makroskooppisten ominaisuuksien saamisen analysoimalla järjestelmän mikroskooppista käyttäytymistä ja käyttämällä tilastomekaniikan menetelmiä. Yksi mikroskooppisista ominaisuuksista, joka liittyy järjestelmän lämpötilaan, on kaasumolekyylien keskineliönopeus. Annamme sille kaavan ja tarkastelemme sitä artikkelissa.

Ihanteellinen kaasu

Huomioimme heti, että kaasumolekyylien neliöllisen keskinopeuden kaava annetaan nimenomaan ihanteellista kaasua varten. Sen alla fysiikassa tarkastellaan sellaista monihiukkasjärjestelmää, jossa hiukkaset (atomit, molekyylit) eivät ole vuorovaikutuksessa toistensa kanssa (niiden kineettinen energia ylittää vuorovaikutuksen potentiaalisen energian useilla suuruusluokilla) ja niillä ei ole mittoja, eli ne ovat pisteitä, joilla on äärellinen massa (hiukkasten välinen etäisyys useita suuruusluokkia suurempi kuin niiden koko.lineaarinen).

Kaikki kaasut, jotka koostuvat kemiallisesti neutraaleista molekyyleistä tai atomeista ja ovat alhaisen paineen alaisia ja joiden lämpötila on korkea, voidaan pitää ihanteellisena. Esimerkiksi ilma on ihanteellinen kaasu, mutta vesihöyry ei ole enää sellainen (vesimolekyylien välillä toimii vahvat vetysidokset).

Molecular Kinetic Theory (MKT)

Tutkiessasi ihanteellista kaasua MKT:n puitteissa, sinun tulee kiinnittää huomiota kahteen tärkeään prosessiin:

1. Kaasu luo painetta siirtämällä sitä sisältävän astian seinämiin liikkeen, kun molekyylit ja atomit törmäävät niihin. Tällaiset törmäykset ovat täysin joustavia.
2. Kaasun molekyylit ja atomit liikkuvat satunnaisesti kaikkiin suuntiin eri nopeuksilla, joiden jakauma noudattaa Maxwell-Boltzmannin tilastoja. Hiukkasten välisen törmäyksen todennäköisyys on erittäin pieni, koska niiden koko on mitätön ja niiden välinen pituus on suuri.

Huolimatta siitä, että yksittäisten kaasuhiukkasten nopeudet ovat hyvin erilaisia, tämän arvon keskiarvo pysyy ajan mittaan vakiona, jos järjestelmään ei kohdistu ulkoisia vaikutuksia. Kaasumolekyylien keskineliönopeuden kaava saadaan ottamalla huomioon kineettisen energian ja lämpötilan välinen suhde. Käsittelemme tätä asiaa artikkelin seuraavassa kappaleessa.

Ideaalisten kaasumolekyylien neliöllisen keskinopeuden kaavan johtaminen

Jokainen opiskelija tietää fysiikan yleiskurssilta, että kappaleen, jonka massa on m, translaatioliikkeen kineettinen energia lasketaan seuraavasti:

E_k=mv²/2

Missä v on lineaarinen nopeus. Toisa alta hiukkasen kineettinen energia voidaan määrittää myös absoluuttisen lämpötilan T avulla käyttämällä muuntokerrointa k_B(Boltzmannin vakio). Koska avaruutemme on kolmiulotteinen, E_k lasketaan seuraavasti:

E_k=3/2k_BT.

Ekvivalenttisesti molempia yhtälöitä ja ilmaisemalla niistä v, saamme kaavan neliöllisen ideaalikaasun keskinopeudelle:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

Tässä kaavassa m - on kaasuhiukkasen massa. Sen arvoa on hankala käyttää käytännön laskelmissa, koska se on pieni (≈ 10^-27kg). Tämän haitan välttämiseksi muistetaan yleinen kaasuvakio R ja moolimassa M. Vakio R k_B liittyy yhtälöön:

k_B=R/N_A.

M:n arvo määritellään seuraavasti:

M=mN_A.

Kumpikin yhtälö otetaan huomioon, saadaan seuraava lauseke molekyylien neliökeskiarvolle:

v=√(3RT/M).

Kaasuhiukkasten keskineliönopeus on siis suoraan verrannollinen absoluuttisen lämpötilan neliöjuureen ja kääntäen verrannollinen moolimassan neliöjuureen.

Esimerkki ongelmanratkaisusta

Kaikki tietävät, että hengittämämme ilma on 99 % typpeä ja happea. On tarpeen määrittää molekyylien N₂ ja O₂ keskimääräisten nopeuksien erot 15 °C:n lämpötilassa ^o C.

Tämä ongelma ratkaistaan peräkkäin. Ensin muunnetaan lämpötila absoluuttisiksi yksiköiksi, meillä on:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Kirjoita nyt kunkin tarkasteltavan molekyylin moolimassat:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Koska moolimassojen arvot vaihtelevat hieman, myös niiden keskinopeuksien pitäisi olla samassa lämpötilassa lähellä. V:n kaavalla saadaan seuraavat arvot typpi- ja happimolekyyleille:

v (N₂)=√(38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√(38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Koska typpimolekyylit ovat hieman kevyempiä kuin happimolekyylit, ne liikkuvat nopeammin. Keskinopeusero on:

v (N₂) - v (O₂)=506,6 - 473,9=32,7 m/s.

Saatu arvo on vain 6,5 % typpimolekyylien keskimääräisestä nopeudesta. Kiinnitämme huomion molekyylien suuriin nopeuksiin kaasuissa, jopa matalissa lämpötiloissa.