Käänteiset trigonometriset funktiot aiheuttavat perinteisesti vaikeuksia koululaisille. Kyky laskea luvun arctangentti saattaa olla tarpeen planimetrian ja stereometrian USE-tehtävissä. Yhtälön ja parametrin ongelman ratkaiseminen onnistuneesti edellyttää, että ymmärrät arctangenttifunktion ominaisuudet.
Määritelmä
Luvun x arctangentti on luku y, jonka tangentti on x. Tämä on matemaattinen määritelmä.
Arktitangenttifunktio kirjoitetaan muodossa y=arctg x.
Yleisemmin: y=Carctg (kx + a).
Laskelma
Ymmärtääksesi, kuinka arktangentin käänteinen trigonometrinen funktio toimii, sinun on ensin muistettava, kuinka luvun tangentin arvo määritetään. Katsotaanpa tarkemmin.
X:n tangentti on x:n sinin ja x:n kosinin suhde. Jos ainakin toinen näistä kahdesta suuresta tunnetaan, niin toisen moduuli voidaan saada trigonometrisen perusidentiteetistä:
sin2 x + cos2 x=1.
Tosin moduulin lukituksen avaaminen edellyttää arviointia.
Jositse luku tunnetaan, ei sen trigonometrisiä ominaisuuksia, niin useimmissa tapauksissa on tarpeen arvioida likimääräisesti luvun tangentti viittaamalla Bradis-taulukkoon.
Poikkeuksia ovat niin sanotut vakioarvot.
Ne on esitetty seuraavassa taulukossa:
Yllämainittujen lisäksi kaikkia arvoja, jotka saadaan tiedoista lisäämällä numero muotoon ½πк (к - mikä tahansa kokonaisluku, π=3, 14), voidaan pitää vakiona.
Täsmälleen sama koskee arctangenttia: useimmiten likimääräinen arvo näkyy taulukosta, mutta vain muutama arvo tunnetaan varmasti:
Käytännössä koulumatematiikan tehtäviä ratkaistaessa on tapana antaa vastaus arctangentin sisältävän lausekkeen muodossa, ei sen likimääräistä arviota. Esimerkiksi arctg 6, arctg (-¼).
Kaavion piirtäminen
Koska tangentti voi ottaa minkä tahansa arvon, arktangenttifunktion alue on koko lukurivi. Selitetään tarkemmin.
Sama tangentti vastaa ääretöntä määrää argumentteja. Esimerkiksi, ei vain nollan tangentti ole yhtä suuri kuin nolla, vaan myös minkä tahansa π k -muodon luvun tangentti, jossa k on kokonaisluku. Siksi matemaatikot sopivat valitsevansa arkitangentin arvot väliltä -½ π - ½ π. Se on ymmärrettävä tällä tavalla. Arktangenttifunktion alue on väli (-½ π; ½ π). Raon päitä ei sisällytetä, koska tangentteja -½p ja ½p ei ole olemassa.
Määritetyllä aikavälillä tangentti on jatkuvalisääntyy. Tämä tarkoittaa, että myös arkitangentin käänteisfunktio kasvaa jatkuvasti koko lukusuoralla, mutta ylhäältä ja alha alta rajoitettuna. Tämän seurauksena sillä on kaksi vaakasuuntaista asymptoottia: y=-½ π ja y=½ π.
Tässä tapauksessa tg 0=0, muut leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa, paitsi (0;0), kuvaajalla ei voi olla kasvun vuoksi.
Kuten tangenttifunktion pariteetista seuraa, arktangentilla on samanlainen ominaisuus.
Jos haluat muodostaa kaavion, ota useita pisteitä vakioarvoista:
Funktion y=arctg x derivaatta missä tahansa pisteessä lasketaan kaavalla:
Huomaa, että sen johdannainen on kaikkialla positiivinen. Tämä on yhdenmukainen aiemmin tehdyn päätelmän kanssa funktion jatkuvasta kasvusta.
Arktangentin toinen derivaatta katoaa pisteessä 0, on negatiivinen argumentin positiivisille arvoille ja päinvastoin.
Tämä tarkoittaa, että arctangenttifunktion kuvaajalla on käännepiste nollassa ja se on alaspäin kupera välillä (-∞; 0] ja ylöspäin kupera välillä [0; +∞).
