Planimetria on geometrian haara, joka tutkii tasokuvioiden ominaisuuksia. Näitä ovat paitsi tunnetut kolmiot, neliöt, suorakulmiot, myös suorat viivat ja kulmat. Planimetriassa on myös sellaisia käsitteitä kuin ympyrän kulmat: keskus ja piirretyt. Mutta mitä ne tarkoittavat?
Mikä on keskikulma?
Ymmärtääksesi, mikä keskikulma on, sinun on määritettävä ympyrä. Ympyrä on joukko pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä (ympyrän keskustasta).
On erittäin tärkeää erottaa se ympyrästä. On muistettava, että ympyrä on suljettu viiva ja ympyrä on osa sen rajoittamaa tasoa. Monikulmio tai kulma voidaan kirjoittaa ympyrään.
Keskikulma on kulma, jonka kärkipiste on sama kuin ympyrän keskipiste ja jonka sivut leikkaavat ympyrän kahdessa pisteessä. Kaarta, jota kulma rajoittaa leikkauspisteillä, kutsutaan kaareksi, jolla annettu kulma lepää.
Harkitse esimerkkiä 1.
Kuvassa kulma AOB on keskellä, koska kulman kärki ja ympyrän keskipiste ovat yksi piste O. Se lepää kaarella AB, joka ei sisällä pistettä C.
Miten sisäänkirjoitettu kulma eroaa keskikulmasta?
Keskisten lisäksi on kuitenkin myös kirjoitettuja kulmia. Mikä niiden ero on? Aivan kuten keskimmäinen, ympyrään piirretty kulma lepää tietyllä kaarella. Mutta sen kärki ei ole sama kuin ympyrän keskipiste, vaan sijaitsee sen päällä.
Otetaan seuraava esimerkki.
Kulmaa ACB kutsutaan kulmaksi, joka on piirretty ympyrään, jonka keskipiste on pisteessä O. Piste C kuuluu ympyrään, eli sijaitsee sen päällä. Kulma lepää kaarella AB.
Mikä on keskikulma
Geometrian ongelmien ratkaisemiseksi ei riitä, että pystytään erottamaan piirretyt ja keskikulmat. Pääsääntöisesti niiden ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä tarkalleen, kuinka löytää ympyrän keskikulma, ja kyettävä laskemaan sen arvo asteina.
Joten, keskikulma on yhtä suuri kuin kaaren astemitta, jolla se lepää.
Kuvassa kulma AOB lepää kaarella AB, joka on 66°. Joten kulma AOB on myös 66°.
Siten yhtäläisiin kaareihin perustuvat keskikulmat ovat yhtä suuret.
Kuvassa kaari DC on yhtä suuri kuin kaari AB. Joten kulma AOB on yhtä suuri kuin kulma DOC.
Kuinka löytää piirretty kulma
Saattaa vaikuttaa siltä, että ympyrään merkitty kulma on yhtä suuri kuin keskikulma,joka perustuu samaan kaariin. Tämä on kuitenkin törkeä virhe. Itse asiassa jopa vain katsomalla piirustusta ja vertaamalla näitä kulmia toisiinsa, voit nähdä, että niiden astemittauksilla on erilaiset arvot. Joten mikä on ympyrään merkitty kulma?
Kirjatun kulman astemitta on puolet kaaresta, johon se lepää, tai puolet keskikulmasta, jos ne perustuvat samaan kaareen.
Katsotaanpa esimerkkiä. Kulma ACB perustuu kaareen, joka on 66°.
Joten kulma DIA=66°: 2=33°
Katsotaanpa joitain tämän lauseen seurauksia.
- Kirjatut kulmat, jos ne perustuvat samaan kaariin, jänteeseen tai yhtä suuriin kaareihin, ovat yhtä suuret.
- Jos piirretyt kulmat perustuvat samaan jänteeseen, mutta niiden kärjet ovat sen vastakkaisilla puolilla, tällaisten kulmien astemittojen summa on 180°, koska tässä tapauksessa molemmat kulmat perustuvat kaareihin, jonka kokonaisastemitta on 360° (koko ympyrä), 360°: 2=180°
- Jos piirretty kulma perustuu annetun ympyrän halkaisijaan, sen astemitta on 90°, koska halkaisija muodostaa kaaren, joka on 180°, 180°: 2=90°
- Jos ympyrän keskikulmat ja sisäänkirjoitetut kulmat perustuvat samaan kaareen tai jänteeseen, sisäänkirjoitettu kulma on yhtä suuri kuin puolet keskikulmasta.
Mistä löytyy ongelmia tästä aiheesta? Niiden tyypit ja ratkaisut
Koska ympyrä ja sen ominaisuudet ovat yksi geometrian, erityisesti planimetrian, tärkeimmistä osista, ympyrän piirretyt ja keskikulmat ovat laaja ja yksityiskohtainen aihe.opiskeli koulun opetussuunnitelmassa. Niiden ominaisuuksille omistetut tehtävät löytyvät pääv altiokokeesta (OGE) ja yhtenäisestä v altionkokeesta (USE). Yleensä näiden ongelmien ratkaisemiseksi sinun tulee löytää ympyrän kulmat asteina.
Kulmat perustuvat samaan kaariin
Tämäntyyppinen ongelma on ehkä yksi helpoimmista, koska sen ratkaisemiseksi tarvitset vain kaksi yksinkertaista ominaisuutta: jos molemmat kulmat on merkitty ja nojaavat samaan jänteeseen, ne ovat yhtä suuret, jos toinen niistä on keskus, niin vastaava sisäänkirjoitettu kulma on yhtä suuri kuin puolet siitä. Niitä ratkaistaessa on kuitenkin oltava äärimmäisen varovainen: joskus tätä ominaisuutta on vaikea havaita, ja opiskelijat joutuvat umpikujaan ratkaiseessaan tällaisia yksinkertaisia ongelmia. Harkitse esimerkkiä.
Ongelma 1
Annetaan ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O. Kulma AOB on 54°. Etsi kulman DIA astemitta.
Tämä tehtävä ratkaistaan yhdessä vaiheessa. Ainoa asia, jota tarvitset vastauksen löytämiseksi nopeasti, on huomata, että kaari, johon molemmat kulmat lepäävät, on yhteinen. Tämän nähdessään voit käyttää jo tuttua ominaisuutta. Kulma ACB on puolet kulmasta AOB. Joten
1) AOB=54°: 2=27°.
Vastaus: 54°.
Kulmat, jotka perustuvat saman ympyrän eri kaareihin
Joskus sen kaaren kokoa, jolla vaadittu kulma lepää, ei ole suoraan määritelty ongelman ehdoissa. Sen laskemiseksi sinun on analysoitava näiden kulmien suuruus ja verrattava niitä ympyrän tunnettuihin ominaisuuksiin.
Ongelma 2
Ympyrässä, jonka keskipiste on O, kulma AOCon 120° ja kulma AOB on 30°. Etsi nurkka SINÄ.
Aluksi on syytä sanoa, että tämä ongelma on mahdollista ratkaista tasakylkisten kolmioiden ominaisuuksien avulla, mutta tämä vaatii enemmän matemaattisia operaatioita. Siksi tässä analysoidaan ratkaisua käyttämällä ympyrän keski- ja sisäänkirjoitettujen kulmien ominaisuuksia.
Joten, kulma AOC lepää kaaressa AC ja on keskellä, mikä tarkoittaa, että kaari AC on yhtä suuri kuin kulma AOC.
AC=120°
Samalla tavalla kulma AOB lepää kaarella AB.
AB=30°.
Kun tiedät tämän ja koko ympyrän astemitan (360°), voit helposti löytää kaaren BC suuruuden.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Kulman CAB kärkipiste, piste A, on ympyrällä. Tästä syystä kulma CAB on merkitty ja yhtä suuri kuin puolet kaaresta CB.
CAB-kulma=210°: 2=110°
Vastaus: 110°
Ongelmia kaarisuhteiden perusteella
Jotkin tehtävät eivät sisällä tietoja kulmista ollenkaan, joten niitä on etsittävä vain tunnettujen lauseiden ja ympyrän ominaisuuksien perusteella.
Ongelma 1
Etsi ympyrään merkitty kulma, jota tukee jänne, joka on yhtä suuri kuin annetun ympyrän säde.
Jos piirrät mielessäsi viivoja, jotka yhdistävät janan päät ympyrän keskipisteeseen, saat kolmion. Kun olet tutkinut sen, voit nähdä, että nämä suorat ovat ympyrän säteitä, mikä tarkoittaa, että kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret. Tiedämme, että tasasivuisen kolmion kaikki kulmatovat yhtä suuria kuin 60°. Näin ollen kaari AB, joka sisältää kolmion kärjen, on yhtä suuri kuin 60°. Täältä löydämme kaaren AB, johon haluttu kulma perustuu.
AB=360° - 60°=300°
Kulma ABC=300°: 2=150°
Vastaus: 150°
Ongelma 2
Ympyrässä, jonka keskipiste on pisteessä O, kaaret ovat suhteessa 3:7. Etsi pienempi sisäänkirjoitettu kulma.
Ratkaisussa merkitsemme yhtä osaa X:ksi, jolloin yksi kaari on yhtä suuri kuin 3X ja toinen vastaavasti 7X. Kun tiedämme, että ympyrän astemitta on 360°, voimme kirjoittaa yhtälön.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Ehdon mukaan sinun on löydettävä pienempi kulma. On selvää, että jos kulman arvo on suoraan verrannollinen kaareen, jolla se lepää, niin vaadittu (pienempi) kulma vastaa kaarta, joka on yhtä suuri kuin 3X.
Joten pienempi kulma on (36°3): 2=108°: 2=54°
Vastaus: 54°
Ongelma 3
Ympyrässä, jonka keskipiste on pisteessä O, kulma AOB on 60° ja pienemmän kaaren pituus on 50. Laske suuremman kaaren pituus.
Suuremman kaaren pituuden laskemiseksi sinun on tehtävä suhde - kuinka pienempi kaari liittyy suurempaan. Tätä varten laskemme molempien kaarien suuruuden asteina. Pienempi kaari on yhtä suuri kuin kulma, joka lepää sen päällä. Sen astemitta on 60°. Suurempi kaari on yhtä suuri kuin ympyrän astemitan (se on 360° muista tiedoista riippumatta) ja pienemmän kaaren erotus.
Suuri kaari on 360° - 60°=300°.
Koska 300°: 60°=5, suurempi kaari on 5 kertaa pienempi.
Iso kaari=505=250
Vastaus: 250
Joten, tietysti on muitakinLähestymistapoja samank altaisten ongelmien ratkaisemiseen, mutta ne kaikki perustuvat jollain tavalla keskus- ja sisäänkirjoitettujen kulmien, kolmioiden ja ympyröiden ominaisuuksiin. Jotta voit ratkaista ne onnistuneesti, sinun on tutkittava huolellisesti piirustus ja verrattava sitä ongelman tietoihin sekä kyettävä soveltamaan teoreettista tietämystäsi käytännössä.
