Mitä ovat muuttujat? Muuttuja matematiikassa

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Muuttujien merkitys matematiikassa on suuri, koska sen olemassaolon aikana tiedemiehet onnistuivat tekemään monia löytöjä tällä alueella, ja voidaksemme ilmaista lyhyesti ja selkeästi tämän tai toisen lauseen, käytämme muuttujia vastaavien kaavojen kirjoittamiseen.. Esimerkiksi Pythagoraan lause suorakulmaisessa kolmiossa: a² =b² + c^{2. Kuinka kirjoittaa joka kerta kun ratkaistaan ongelma: Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa - kirjoitamme tämän muistiin kaavalla, ja kaikki tulee heti selväksi.}

Joten, tässä artikkelissa käsitellään muuttujia, niiden tyyppejä ja ominaisuuksia. Myös erilaisia matemaattisia lausekkeita tarkastellaan: epäyhtälöt, kaavat, järjestelmät ja algoritmit niiden ratkaisemiseksi.

Vaihtuva käsite

Ensinnäkin mikä on muuttuja? Tämä on numeerinen arvo, joka voi ottaa monia arvoja. Se ei voi olla vakio, koska eri ongelmissa ja yhtälöissä käytämme mukavuussyistä ratkaisujamuuttuja eri numeroita, eli esimerkiksi z on yleinen nimitys jokaiselle suurelle, jolle se on otettu. Yleensä ne on merkitty latinalaisten tai kreikkalaisten aakkosten kirjaimilla (x, y, a, b ja niin edelleen).

On olemassa erilaisia muuttujia. Ne asettavat sekä fyysisiä suureita - polun (S), ajan (t) että yksinkertaisesti tuntemattomia arvoja yhtälöihin, funktioihin ja muihin lausekkeisiin.

Esimerkiksi on olemassa kaava: S=Vt. Tässä muuttujat tarkoittavat tiettyjä todelliseen maailmaan liittyviä suureita - polkua, nopeutta ja aikaa.

Ja on yhtälö muotoa: 3x - 16=12x. Tässä x on jo otettu abstraktiksi numeroksi, joka on järkevä tässä merkinnässä.

Määrätyypit

Määrä tarkoittaa jotain, joka ilmaisee tietyn esineen, aineen tai ilmiön ominaisuuksia. Esimerkiksi ilman lämpötila, eläimen paino, vitamiiniprosentti tabletissa - nämä ovat kaikki määriä, joiden numeeriset arvot voidaan laskea.

Jokaisella suurella on omat mittayksikkönsä, jotka yhdessä muodostavat järjestelmän. Sitä kutsutaan numerojärjestelmäksi (SI).

Mitä ovat muuttujat ja vakiot? Harkitse niitä erityisillä esimerkeillä.

Otetaan suoraviivainen yhtenäinen liike. Avaruuden piste liikkuu joka kerta samalla nopeudella. Eli aika ja matka muuttuvat, mutta nopeus pysyy samana. Tässä esimerkissä aika ja etäisyys ovat muuttujia, ja nopeus on vakio.

Tai esimerkiksi "pi". Tämä on irrationaalinen luku, joka jatkuu toistumattanumerosarja eikä sitä voida kirjoittaa kokonaan, joten matematiikassa se ilmaistaan yleisesti hyväksytyllä symbolilla, joka ottaa vain tietyn äärettömän murtoluvun arvon. Eli "pi" on vakioarvo.

Historia

Muuttujien merkitsemisen historia alkaa 1700-luvulla tiedemiehestä René Descartesista.

Hän merkitsi tunnetut arvot aakkosten ensimmäisillä kirjaimilla: a, b ja niin edelleen, ja tuntemattomille hän ehdotti viimeisten kirjainten käyttöä: x, y, z. On huomionarvoista, että Descartes piti tällaisia muuttujia ei-negatiivisina lukuina, ja negatiivisten parametrien edessä hän laittoi muuttujan eteen miinusmerkin tai, jos ei tiedetty, mikä merkki numero oli, ellipsin. Mutta ajan myötä muuttujien nimet alkoivat merkitä minkä tahansa merkin numeroita, ja tämä alkoi matemaatikko Johann Huddesta.

Muuttujalla matematiikan laskelmat on helpompi ratkaista, koska esimerkiksi miten nyt ratkaistaan bikvadraattiset yhtälöt? Syötetään muuttuja. Esimerkki:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Katso x2 otamme jonkin k:n ja yhtälö tulee selväksi:

x2=k, k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Se on mitä muuttujien käyttöönotto matematiikassa tuo.

Epätasa-arvot, esimerkkejä ratkaisuista

Epäyhtälö on tietue, jossa kaksi matemaattista lauseketta tai kaksi lukua on yhdistetty vertailumerkillä:, ≦, ≧. Ne ovat tiukkoja ja ilmaistaan merkeillä tai ei-tiukoilla merkeillä ≦, ≧.

Ensimmäistä kertaa nämä merkit käyttöönThomas Harriot. Thomasin kuoleman jälkeen hänen kirjansa näillä merkinnöillä julkaistiin, matemaatikot pitivät niistä, ja ajan myötä niitä käytettiin laaj alti matemaattisissa laskelmissa.

Yksittäisen muuttujan epäyhtälöjä ratkaistaessa on noudatettava useita sääntöjä:

Kun siirrät luvun epäyhtälön osasta toiseen, vaihda sen etumerkki päinvastaiseksi.
Kun kerrotaan tai jaetaan epäyhtälön osia negatiivisella luvulla, niiden etumerkit ovat käänteisiä.
Jos kerrot tai jaat epäyhtälön molemmat puolet positiivisella luvulla, saat epäyhtälön, joka on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Epäyhtälön ratkaiseminen tarkoittaa muuttujan kaikkien kelvollisten arvojen löytämistä.

Yksittäisen muuttujan esimerkki:

10x - 50 > 150

Ratkaisemme sen tavallisen lineaarisen yhtälön tavoin - siirrämme termit muuttujan kanssa vasemmalle, ilman muuttujaa - oikealle ja annamme samanlaiset termit:

10x > 200

Jaamme epäyhtälön molemmat puolet 10:llä ja saamme:

x > 20

Selvyyden vuoksi piirrä esimerkissä epäyhtälön ratkaisemisesta yhdellä muuttujalla numeroviiva, merkitse siihen rei'itetty piste 20, koska epäyhtälö on tiukka, eikä tämä luku sisälly sen ratkaisujen joukkoon.

Ratkaisu tähän epäyhtälöön on väli (20; +∞).

Epä-tiukan epätasa-arvon ratkaisu suoritetaan samalla tavalla kuin tiukka:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Mutta on yksi poikkeus. Tietue, jonka muoto on x ≧ 5, tulee ymmärtää seuraavasti: x on suurempi tai yhtä suuri kuin viisi, mikä tarkoittaaluku viisi sisältyy epäyhtälön ratkaisujen joukkoon, eli vastausta kirjoitettaessa laitetaan hakasulke luvun viisi eteen.

x ∈ [5; +∞)

Neliö-epätasa-arvo

Jos otamme toisen asteen yhtälön muotoa ax2 + bx +c=0 ja muutamme siinä olevan yhtäläisyysmerkin epäyhtälömerkiksi, niin saadaan vastaavasti neliöllinen epäyhtälö.

Jos haluat ratkaista toisen asteen epäyhtälön, sinun on kyettävä ratkaisemaan toisen asteen yhtälöt.

y=ax2 + bx + c on neliöfunktio. Voimme ratkaista sen käyttämällä diskriminanttia tai käyttämällä Vieta-lausetta. Muista kuinka nämä yhtälöt ratkaistaan:

1) y=x2 + 12x + 11 - funktio on paraabeli. Sen haarat ovat ylöspäin, koska kertoimen "a" etumerkki on positiivinen.

2) x2 + 12x + 11=0 - vastaa nollaan ja ratkaise erottimen avulla.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 juurta

Neliöyhtälön juuren kaavan mukaan saamme:

x₁ =-1, x_2=-11

Tai voit ratkaista tämän yhtälön käyttämällä Vieta-lausetta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Valintamenetelmää käyttämällä saadaan samat yhtälön juuret.

Parabola

Joten, ensimmäinen tapa ratkaista neliöllinen epäyhtälö on paraabeli. Algoritmi sen ratkaisemiseksi on seuraava:

1. Selvitä mihin paraabelin haarat ovat suunnattu.

2. Yhdistä funktio nollaan ja etsi yhtälön juuret.

3. Rakennamme lukuviivan, merkitsemme siihen juuret, piirrämme paraabelin ja etsimme tarvitsemamme aukon epäyhtälön merkistä riippuen.

Ratkaise epäyhtälö x2 + x - 12 > 0

Kirjoita funktiona:

1) y=x2 + x - 12 - paraabeli, haarautuu ylöspäin.

Aseta nollaan.

2) x2 + x -12=0

Seuraavaksi ratkaisemme toisen asteen yhtälön ja etsimme funktion nollat:

x₁ =3, x_2=-4

3) Piirrä numeroviiva, jossa on pisteet 3 ja -4. Paraabeli kulkee niiden läpi, haarautuu ja vastaus epäyhtälöön on joukko positiivisia arvoja, eli (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallimenetelmä

Toinen tapa on välitysmenetelmä. Algoritmi sen ratkaisemiseksi:

1. Etsi juuret yhtälölle, jonka epäyhtälö on nolla.

2. Merkitsemme ne numeroriville. Siten se on jaettu useisiin aikaväleihin.

3. Määritä minkä tahansa välin etumerkki.

4. Laitamme kylttejä jäljellä olevin välein, vaihdamme ne yhden jälkeen.

Ratkaise epäyhtälö (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Epäyhtälön nollat: 4, 5 ja -7.

2) Piirrä ne numeroviivalle.

3) Määritä intervallien merkit.

Vastaus: (-∞; -7]; [4; 5].

Ratkaise vielä yksi epäyhtälö: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Epäyhtälön nollat: 0, 2, -2 ja 1.

2. Merkitse ne numeroriville.

3. Määritä intervallimerkit.

Rivi on jaettu aikaväleihin - -2 - 0, 0 - 1, 1 - 2.

Ota arvo ensimmäiseltä aikaväliltä - (-1). Korvaava epätasa-arvossa. Tällä arvolla epäyhtälöstä tulee positiivinen, mikä tarkoittaa, että tämän välin etumerkki on +.

Edelleen, ensimmäisestä aukosta alkaen, järjestämme kyltit ja vaihdamme ne yhden jälkeen.

Epäyhtälö on suurempi kuin nolla, eli sinun on löydettävä riviltä joukko positiivisia arvoja.

Vastaus: (-2; 0), (1; 2).

Yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmä, jossa on kaksi muuttujaa, on kaksi yhtälöä, jotka on yhdistetty a altosulkeen ja joille on löydettävä yhteinen ratkaisu.

Järjestelmät voivat olla ekvivalentteja, jos toisen yleinen ratkaisu on toisen ratkaisu tai molemmilla ei ole ratkaisuja.

Tutkimme kahden muuttujan yhtälöjärjestelmien ratkaisua. On olemassa kaksi tapaa ratkaista ne - korvausmenetelmä tai algebrallinen menetelmä.

Algebrallinen menetelmä

Kuvassa näkyvän järjestelmän ratkaisemiseksi tällä menetelmällä, sinun on ensin kerrottava yksi sen osa sellaisella luvulla, jotta voit myöhemmin kumota yhden muuttujan molemmista yhtälön osista. Tässä kerrotaan kolmella, piirretään viiva järjestelmän alle ja lasketaan yhteen sen osat. Seurauksena on, että x:istä tulee moduuliltaan identtisiä, mutta etumerkillisesti vastakkaisia, ja vähennämme niitä. Seuraavaksi saamme lineaarisen yhtälön yhdellä muuttujalla ja ratkaisemme sen.

Löysimme Y:n, mutta emme voi lopettaa tähän, koska emme ole vielä löytäneet X:ää. KorvaavaY siihen osaan, josta X on kätevä poistaa, esimerkiksi:

-x + 5y=8, jossa y=1

-x + 5=8

Ratkaise tuloksena oleva yhtälö ja etsi x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Järjestelmän ratkaisussa pääasia on kirjoittaa vastaus ylös oikein. Monet opiskelijat tekevät virheen kirjoittaessaan:

Vastaus: -3, 1.

Mutta tämä on väärä merkintä. Loppujen lopuksi, kuten jo edellä mainittiin, yhtälöjärjestelmää ratkaiseessa etsimme sen osille yleistä ratkaisua. Oikea vastaus olisi:

(-3; 1)