Tilavuus on ominaisuus mille tahansa kuviolle, jonka mitat ovat nollasta poikkeavat kaikissa kolmessa avaruuden ulottuvuudessa. Tässä artikkelissa tarkastelemme stereometrian (tilakuvioiden geometrian) näkökulmasta prismaa ja näytämme kuinka löytää erityyppisten prismien tilavuuksia.
Mikä on prisma?
Stereometrialla on tarkka vastaus tähän kysymykseen. Siinä oleva prisma ymmärretään kuvioksi, joka muodostuu kahdesta identtisestä monikulmiopinnasta ja useista suunnikasista. Alla olevassa kuvassa on neljä erilaista prismaa.
Jokainen niistä voidaan saada seuraavasti: sinun on otettava monikulmio (kolmio, nelikulmio ja niin edelleen) ja tietyn pituinen segmentti. Sitten jokainen monikulmion kärkipiste tulee siirtää rinnakkaisten segmenttien avulla toiselle tasolle. Uudessa tasossa, joka on yhdensuuntainen alkuperäisen kanssa, saadaan uusi monikulmio, samanlainen kuin alun perin valittu.
Prismat voivat olla erityyppisiä. Joten ne voivat olla suoria, vinoja ja oikeita. Jos prisman sivureuna (segmentti,yhdistämällä kantojen kärjet) kohtisuorassa kuvan kantaan nähden, niin jälkimmäinen on suora. Näin ollen, jos tämä ehto ei täyty, puhumme k altevasta prismasta. Säännöllinen luku on suora prisma, jolla on tasakulmainen ja tasasivuinen kanta.
Myöhemmin artikkelissa näytämme, kuinka kunkin tällaisten prismatyyppien tilavuus lasketaan.
Tavallisten prismien tilavuus
Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta. Annamme kaavan säännöllisen prisman tilavuudelle, jolla on n-kulmainen kanta. Tilavuuskaava V mille tahansa tarkasteltavan luokan luvulle on seuraava:
V=Soh.
Toisin sanoen tilavuuden määrittämiseksi riittää, kun lasketaan yhden kantakohdan pinta-ala So ja kerrotaan se kuvan korkeudella h.
Kun kyseessä on säännöllinen prisma, merkitään sen pohjan sivun pituus kirjaimella a ja korkeus, joka on yhtä suuri kuin sivureunan pituus, kirjaimella h. Jos n-kulman kanta on oikea, helpoin tapa laskea sen pinta-ala on käyttää seuraavaa yleiskaavaa:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Korvaamalla sivujen lukumäärän n arvon ja yhden sivun pituuden a tasa-arvoon, voit laskea n-kulmaisen kannan alueen. Huomaa, että tässä kotangenttifunktio lasketaan kulman pi/n, joka ilmaistaan radiaaneina.
Kun otetaan huomioon S:lle kirjoitettu yhtäläisyys, saadaan lopullinen kaava säännöllisen prisman tilavuudelle:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Jokaisessa erityistapauksessa voit kirjoittaa vastaavat kaavat V:lle, mutta ne kaikkiseuraavat yksiselitteisesti kirjoitetusta yleisilmauksesta. Esimerkiksi säännölliselle nelikulmaiselle prismmalle, joka yleensä on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, saamme:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Jos tässä lausekkeessa otetaan h=a, saamme kuution tilavuuden kaavan.
Suorien prismien tilavuus
Huomioimme heti, että suorille luvuille ei ole olemassa yleistä tilavuuden laskentakaavaa, joka on annettu yllä tavallisille prismille. Kun etsitään kyseistä arvoa, tulee käyttää alkuperäistä lauseketta:
V=Soh.
Tässä h on sivureunan pituus, kuten edellisessä tapauksessa. Mitä tulee perusalueelle So, se voi saada useita arvoja. Suoran tilavuusprisman laskentatehtävä rajoittuu sen pohjan alueen löytämiseen.
Soarvon laskeminen tulisi suorittaa itse kannan ominaisuuksien perusteella. Jos se on esimerkiksi kolmio, pinta-ala voidaan laskea seuraavasti:
So3=1/2aha.
Tässä ha on kolmion apoteemi, eli sen korkeus laskettuna kantaan a.
Jos kanta on nelikulmio, se voi olla puolisuunnikkaan, suunnikas, suorakulmio tai täysin mieliv altainen tyyppi. Kaikissa näissä tapauksissa sinun tulee käyttää asianmukaista planimetriakaavaa alueen määrittämiseen. Esimerkiksi puolisuunnikkaan tämä kaava näyttää tältä:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Missä ha on puolisuunnikkaan korkeus, a1 ja a2 ovat pituuksia sen yhdensuuntaisista sivuista.
Korkeamman asteen monikulmioiden alueen määrittämiseksi sinun tulee jakaa ne yksinkertaisiin muotoihin (kolmioihin, nelikulmioihin) ja laskea jälkimmäisten pinta-alojen summa.
Tilted Prism Volume
Tämä on vaikein tapaus laskea prisman tilavuus. Tällaisten lukujen yleinen kaava pätee myös:
V=Soh.
Kuitenkin mieliv altaista monikulmion tyyppiä edustavan kannan alueen löytämisen monimutkaisuuteen liittyy kuvion korkeuden määrittämisongelma. Se on aina pienempi kuin k altevan prisman sivureunan pituus.
Helppoin tapa löytää tämä korkeus on, jos tiedät minkä tahansa kuvion kulman (tasainen tai kaksitahoinen). Jos tällainen kulma on annettu, niin sen avulla pitäisi rakentaa prisman sisälle suorakulmainen kolmio, jonka yhtenä sivuna on korkeus h ja löytää trigonometristen funktioiden ja Pythagoraan lauseen avulla arvo h.
Geometrinen tilavuusongelma
Annetaan säännöllinen prisma, jonka pohja on kolmio ja jonka korkeus on 14 cm ja sivun pituus 5 cm. Mikä on kolmion muotoisen prisman tilavuus?
Koska puhumme oikeasta kuviosta, meillä on oikeus käyttää tunnettua kaavaa. Meillä on:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Kolmion muotoinen prisma on melko symmetrinen hahmo, jonka muotoon tehdään usein erilaisia arkkitehtonisia rakenteita. Tätä lasiprismaa käytetään optiikassa.
