Algebralliset epäyhtälöt tai niiden järjestelmät rationaalisilla kertoimilla, joiden ratkaisuja etsitään integraali- tai kokonaislukuina. Yleensä tuntemattomien määrä diofantiiniyhtälöissä on suurempi. Siksi niitä kutsutaan myös määrittelemättömiksi epätasa-arvoiksi. Nykyaikaisessa matematiikassa yllä olevaa käsitettä sovelletaan algebrallisiin yhtälöihin, joiden ratkaisuja etsitään Q-rationaalisten muuttujien kentän jonkin laajennuksen algebrallisista kokonaisluvuista, p-adic-muuttujien kentästä jne.
Näiden eriarvoisuuksien alkuperä
Diofantiiniyhtälöiden tutkimus on lukuteorian ja algebrallisen geometrian rajalla. Ratkaisujen löytäminen kokonaislukumuuttujista on yksi vanhimmista matemaattisista ongelmista. Jo toisen vuosituhannen alussa eKr. muinaiset babylonialaiset onnistuivat ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä kahdella tuntemattomalla. Tämä matematiikan haara kukoisti eniten antiikin Kreikassa. Diofantoksen aritmetiikka (noin 3. vuosisadalla jKr.) on merkittävä ja päälähde, joka sisältää erilaisia yhtälötyyppejä ja -järjestelmiä.
Tässä kirjassa Diophantus näki joukon menetelmiä toisen ja kolmannen epätasa-arvon tutkimiseksitutkinnot, jotka kehitettiin täysin 1800-luvulla. Tämän antiikin Kreikan tutkijan luoma rationaalilukujen teoria johti epämääräisten järjestelmien loogisten ratkaisujen analysointiin, joita hänen kirjassaan seurataan systemaattisesti. Vaikka hänen työnsä sisältää ratkaisuja tiettyihin diofantiiniyhtälöihin, on syytä uskoa, että hän tunsi myös useita yleisiä menetelmiä.
Näiden eriarvoisuuksien tutkimiseen liittyy yleensä vakavia vaikeuksia. Johtuen siitä, että ne sisältävät polynomeja kokonaislukukertoimilla F (x, y1, …, y). Tämän perusteella tehtiin johtopäätökset, että ei ole olemassa yhtä algoritmia, jolla voitaisiin määrittää mille tahansa x:lle, onko yhtälö F (x, y1, …., y ). Tilanne on ratkaistavissa y1, …, y . Esimerkkejä tällaisista polynomeista voidaan kirjoittaa.
Yksinkertaisin epätasa-arvo
ax + by=1, missä a ja b ovat suhteellisen kokonaislukuja ja alkulukuja, sillä on v altava määrä suorituksia (jos x0, y0 muodostetaan tulos, sitten muuttujapari x=x0 + b ja y=y0 -an, jossa n on mieliv altainen, pidetään myös epäyhtälönä). Toinen esimerkki diofantiiniyhtälöistä on x2 + y2 =z2. Tämän epäyhtälön positiivisia integraaliratkaisuja ovat pienten sivujen x, y ja suorakulmaisten kolmioiden pituudet sekä hypotenuusa z, jonka sivumitat ovat kokonaislukuja. Nämä numerot tunnetaan Pythagoraan numeroina. Kaikki kolmiot suhteessa alkulukuon on ilmoitettuyllä olevat muuttujat on annettu kaavalla x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, jossa m ja n ovat kokonaislukuja ja alkulukuja (m>n>0).
Diophantus etsii aritmetiikassaan rationaalisia (ei välttämättä integraalisia) ratkaisuja erityyppisille epäyhtälöille. C. G. Baschet kehitti 1600-luvulla yleisen teorian ensimmäisen asteen diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseksi. Muut tiedemiehet 1800-luvun alussa tutkivat pääasiassa samanlaisia epätasa-arvoja, kuten ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, jossa a, b, c, d, e ja f ovat yleisiä, heterogeenisia, ja niissä on kaksi toisen asteen tuntematonta. Lagrange käytti tutkimuksessaan jatkuvia fraktioita. Gauss kehitti toisen asteen muodoille yleisen teorian joidenkin ratkaisutyyppien taustalla.
Näiden toisen asteen eriarvoisuuksien tutkimuksessa saavutettiin merkittävää edistystä vasta 1900-luvulla. A. Thue havaitsi, että diofantiiniyhtälö a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, missä n≧3, a0, …, a , c ovat kokonaislukuja ja a0tn + …+ a ei voi olla ääretöntä määrää kokonaislukuratkaisuja. Thun menetelmää ei kuitenkaan kehitetty kunnolla. A. Baker loi tehokkaita lauseita, jotka antavat arvioita joidenkin tämän tyyppisten yhtälöiden toimivuudesta. BN Delaunay ehdotti toista tutkimusmenetelmää, joka soveltuisi näiden epätasa-arvojen kapeampaan luokkaan. Erityisesti muoto ax3 + y3 =1 on täysin ratkaistavissa tällä tavalla.
Diofantiiniyhtälöt: ratkaisumenetelmät
Diofantoksen teorialla on monia suuntauksia. Näin ollen hyvin tunnettu ongelma tässä järjestelmässä on hypoteesi, jonka mukaan ei ole ei-triviaalista ratkaisua diofantiiniyhtälöille xn + y =z n jos n ≧ 3 (Fermatin kysymys). Epäyhtälön kokonaislukujen täyttymysten tutkiminen on luonnollinen yleistys Pythagoraan kolmosten ongelmasta. Euler sai positiivisen ratkaisun Fermatin tehtävälle arvolle n=4. Tämän tuloksen perusteella se viittaa puuttuvan kokonaisluvun todistukseen, yhtälön nollasta poikkeaviin tutkimuksiin, jos n on pariton alkuluku.
Päätöstä koskevaa tutkimusta ei ole saatu päätökseen. Sen toteuttamisen vaikeudet liittyvät siihen, että yksinkertainen tekijöiden jako algebrallisten kokonaislukujen renkaassa ei ole ainutlaatuinen. Tämän järjestelmän jakajien teoria monille alkueksponenttiluokille n mahdollistaa Fermatin lauseen pätevyyden vahvistamisen. Siten lineaarinen diofantiiniyhtälö kahdella tuntemattomalla täyttyy olemassa olevilla menetelmillä ja tavoilla.
Kuvattujen tehtävien tyypit ja tyypit
Algebrallisten kokonaislukujen renkaiden aritmetiikkaa käytetään myös monissa muissa diofantiiniyhtälöiden ongelmissa ja ratkaisuissa. Tällaisia menetelmiä sovellettiin esimerkiksi, kun täytettiin muotoa N(a1 x1 +…+ a x)=m, missä N(a) on a:n normi ja x1, …, xn integraalit rationaaliset muuttujat löytyvät. Tämä luokka sisältää Pell-yhtälön x2–dy2=1.
Näkyvät arvot a1, …, a , nämä yhtälöt on jaettu kahteen tyyppiin. Ensimmäinen tyyppi - ns. täydelliset muodot - sisältävät yhtälöt, joissa a joukossa on m lineaarisesti riippumatonta lukua rationaalisten muuttujien Q kentän yli, missä m=[Q(a1, …, a):Q], jossa on algebrallisten eksponentien Q (a1, …, a ) aste Q:n yläpuolella. Epätäydellisiä lajeja ovat joka maksimimäärä a i pienempi kuin m.
Täydet lomakkeet ovat yksinkertaisempia, niiden tutkimus on valmis ja kaikki ratkaisut voidaan kuvata. Toinen tyyppi, epätäydellinen laji, on monimutkaisempi, eikä tällaisen teorian kehitystä ole vielä saatu päätökseen. Tällaisia yhtälöitä tutkitaan käyttämällä diofantiiniapproksimaatioita, jotka sisältävät epäyhtälön F(x, y)=C, missä F (x, y) on pelkistymätön, homogeeninen polynomi, jonka aste on n≧3. Siten voimme olettaa, että yi→∞. Vastaavasti, jos yi on tarpeeksi suuri, niin epäyhtälö on ristiriidassa Thuen, Siegelin ja Rothin lauseen kanssa, josta seuraa, että F(x, y)=C, missä F on kolmannen asteen muoto tai sitä korkeampi, pelkistymättömällä ei voi olla ääretöntä määrää ratkaisuja.
Miten ratkaistaan diofantiiniyhtälö?
Tämä esimerkki on melko kapea luokka kaikkien joukossa. Esimerkiksi yksinkertaisuudestaan huolimatta x3 + y3 + z3=N ja x2 +y 2 +z2 +u2 =N eivät sisälly tähän luokkaan. Ratkaisujen tutkiminen on melko huolellisesti tutkittu diofantiiniyhtälöiden haara, jonka perustana on esitys lukujen toisen asteen muodoilla. Lagrangeloi lauseen, joka sanoo, että täyttymys on olemassa kaikelle luonnolliselle N:lle. Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää kolmen neliön summana (Gaussin lause), mutta sen ei pitäisi olla muotoa 4a (8K-1), jossa a ja k ovat ei-negatiivisia kokonaislukueksponentteja.
Rationaaliset tai integraaliratkaisut F-tyypin diofantiiniyhtälön järjestelmälle (x1, …, x)=a, missä F (x 1, …, x) on neliömuoto, jossa on kokonaislukukertoimia. Siten Minkowski-Hasse-lauseen mukaan epäyhtälö ∑aijxixj=b ijja b on rationaalinen, sillä on integraaliratkaisu todellisissa ja p-adisissa luvuissa jokaiselle alkuluvulle p vain, jos se on ratkaistavissa tässä rakenteessa.
Luontaisista vaikeuksista johtuen lukujen tutkimista mieliv altaisilla kolmannen asteen tai sitä korkeammilla muodoilla on tutkittu vähäisemmässä määrin. Pääasiallinen suoritustapa on trigonometristen summien menetelmä. Tässä tapauksessa yhtälön ratkaisujen määrä kirjoitetaan eksplisiittisesti Fourier-integraalilla. Tämän jälkeen ympäristömenetelmällä ilmaistaan vastaavien kongruenssien epäyhtälön täyttymysten lukumäärä. Trigonometristen summien menetelmä riippuu epäyhtälöiden algebrallisista ominaisuuksista. Lineaaristen diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen on olemassa suuri joukko perusmenetelmiä.
Diofantiinianalyysi
Matematiikan laitos, jonka aiheena on algebran yhtälöjärjestelmien integraalisten ja rationaalisten ratkaisujen tutkimus geometrian menetelmin, samastapallot. 1800-luvun jälkipuoliskolla tämän lukuteorian ilmaantuminen johti diofantiiniyhtälöiden tutkimiseen mieliv altaisesta kertoimilla varustetusta kentästä, ja ratkaisuja harkittiin joko siinä tai sen renkaissa. Algebrallisten funktioiden järjestelmä kehittyi rinnakkain numeroiden kanssa. Näiden kahden välinen perusanalogia, jota D. Hilbert ja erityisesti L. Kronecker korostivat, johti erilaisten aritmeettisten käsitteiden yhtenäiseen rakentamiseen, joita yleensä kutsutaan globaaleiksi.
Tämä on erityisen havaittavissa, jos tutkittavat algebralliset funktiot äärellisessä vakiokentässä ovat yksi muuttuja. Käsitteet, kuten luokkakenttäteoria, jakaja ja haarautuminen ja tulokset ovat hyvä esimerkki yllä olevasta. Tämä näkemys omaksuttiin diofantinisten epäyhtälöiden järjestelmässä vasta myöhemmin, ja systemaattinen tutkimus paitsi numeeristen kertoimien, myös kertoimien, jotka ovat funktioita, kanssa alkoi vasta 1950-luvulla. Yksi ratkaisevista tekijöistä tässä lähestymistavassa oli algebrallisen geometrian kehitys. Lukujen ja funktioiden kenttien samanaikainen tutkiminen, jotka syntyvät saman aiheen kahtena yhtä tärkeänä näkökohtana, ei antanut vain elegantteja ja vakuuttavia tuloksia, vaan johti molempien aiheiden keskinäiseen rikastumiseen.
Algebrallisessa geometriassa lajikkeen käsite korvataan ei-invariantilla epäyhtälöiden joukolla tietyssä kentässä K, ja niiden ratkaisut korvataan rationaalisilla pisteillä, joiden arvot ovat K:ssä tai sen äärellisessä laajenteessa. Voidaan siis sanoa, että diofantiinigeometrian perusongelma on rationaalisten pisteiden tutkiminenalgebrallisen joukon X(K), kun taas X on tiettyjä lukuja kentässä K. Kokonaislukusuorituksella on geometrinen merkitys lineaarisissa diofantiiniyhtälöissä.
Epätasa-arvotutkimukset ja toteutusvaihtoehdot
Kun tutkitaan rationaalisia (tai integraali-) pisteitä algebrallisilla variaatioilla, syntyy ensimmäinen ongelma, joka on niiden olemassaolo. Hilbertin kymmenes tehtävä on muotoiltu ongelmaksi löytää yleinen menetelmä tämän ongelman ratkaisemiseksi. Algoritmin tarkkaa määritelmää luotaessa ja sen jälkeen, kun osoitettiin, että tällaisia suorituksia ei ole olemassa suurelle määrälle ongelmia, ongelma sai ilmeisen negatiivisen tuloksen, ja mielenkiintoisin kysymys on diofantiiniyhtälöiden luokkien määrittely. joille yllä oleva järjestelmä on olemassa. Algebrallisesta näkökulmasta luonnollisin lähestymistapa on ns. Hasse-periaate: alkukenttää K tutkitaan sen täydennyksineen Kv kaikkien mahdollisten estimaattien yli. Koska X(K)=X(Kv) ovat olemassaolon välttämätön ehto, ja K-piste ottaa huomioon, että joukko X(Kv) ei ole tyhjä kaikille v.
Tärkeää on se, että se yhdistää kaksi ongelmaa. Toinen on paljon yksinkertaisempi, se voidaan ratkaista tunnetulla algoritmilla. Siinä erityistapauksessa, jossa variaatio X on projektiivinen, Hanselin lemma ja sen yleistykset mahdollistavat edelleen pelkistyksen: ongelma voidaan pelkistää rationaalisten pisteiden tutkimiseen äärellisen kentän yli. Sitten hän päättää rakentaa konseptin joko johdonmukaisella tutkimuksella tai tehokkaammilla menetelmillä.
Viimeinentärkeä huomio on, että joukot X(Kv) ovat ei-tyhjiä kaikille paitsi äärelliselle määrälle v, joten ehtojen määrä on aina äärellinen ja ne voidaan testata tehokkaasti. Hassen periaate ei kuitenkaan päde astekäyriin. Esimerkiksi 3x3 + 4y3=5 sisältää pisteitä kaikissa p-adic-lukukentissä ja reaalilukujärjestelmässä, mutta sillä ei ole rationaalisia pisteitä.
Tämä menetelmä toimi lähtökohtana käsitteen rakentamiselle, joka kuvaa Abelin lajikkeiden päähomogeenisten tilojen luokkia "poikkeamiseksi" Hasse-periaatteesta. Sitä kuvataan erityisellä rakenteella, joka voidaan liittää jokaiseen jakoputkeen (Tate-Shafarevich-ryhmä). Teorian suurin vaikeus piilee siinä, että ryhmien laskentamenetelmiä on vaikea saada. Tämä käsite on myös laajennettu muihin algebrallisten lajikkeiden luokkiin.
Etsi algoritmi epätasa-arvojen täyttämiseen
Toinen heuristinen idea, jota käytetään diofantiiniyhtälöiden tutkimuksessa, on, että jos epäyhtälöiden joukkoon osallistuvien muuttujien määrä on suuri, järjestelmällä on yleensä ratkaisu. Tätä on kuitenkin erittäin vaikea todistaa yksittäisessä tapauksessa. Tämän tyyppisten ongelmien yleinen lähestymistapa käyttää analyyttistä lukuteoriaa ja perustuu trigonometristen summien arvioihin. Tätä menetelmää sovellettiin alun perin erikoistyyppisiin yhtälöihin.
Myöhemmin sen avulla kuitenkin todistettiin, että jos parittoman asteen muoto on F, d:ssäja n muuttujaa ja rationaalisilla kertoimilla, niin n on riittävän suuri verrattuna d:hen, joten projektitiivisella hyperpinnalla F=0 on rationaalinen piste. Artinin oletuksen mukaan tämä tulos on totta, vaikka n > d2. Tämä on todistettu vain neliömuotoisille muodoille. Samanlaisia ongelmia voidaan kysyä myös muilta aloilta. Diofantiinigeometrian keskeinen ongelma on kokonaisluku- eli rationaalipisteiden joukon rakenne ja niiden tutkiminen, ja ensimmäinen selvitettävä kysymys on, onko tämä joukko äärellinen. Tässä tehtävässä tilanteessa on yleensä äärellinen määrä suorituksia, jos järjestelmän aste on paljon suurempi kuin muuttujien lukumäärä. Tämä on perusoletus.
Epäyhtälöt suorilla ja käyrillä
Ryhmä X(K) voidaan esittää r-luokan vapaan rakenteen ja kertaluvun n äärellisen ryhmän suorana summana. 1930-luvulta lähtien on tutkittu kysymystä siitä, ovatko nämä luvut rajoittuneet kaikkien elliptisten käyrien joukkoon tietyllä kentällä K. Vääntön n rajallisuus osoitettiin 70-luvulla. Toiminnallisessa tapauksessa on mieliv altaisen korkean tason käyriä. Numeerisessa tapauksessa tähän kysymykseen ei vieläkään ole vastausta.
Lopuksi Mordellin olettamus toteaa, että integraalipisteiden lukumäärä on äärellinen suvun g>1 käyrällä. Toiminnallisessa tapauksessa Yu. I. Manin osoitti tämän konseptin vuonna 1963. Päätyökalu, jota käytetään äärellisyyslauseiden todistamisessa diofantiinigeometriassa, on korkeus. Algebrallisista lajikkeista yhden yläpuolella olevat mitat ovat Abelinjakoputket, jotka ovat elliptisten käyrien moniulotteisia analogeja, on tutkituimmin.
A. Weil yleisti lauseen rationaalisten pisteiden ryhmän generaattorien lukumäärän äärellisyydestä minkä tahansa ulottuvuuden Abelin muunnelmiin (Mordell-Weilin käsite) laajentaen sitä. 1960-luvulla ilmaantui Birchin ja Swinnerton-Dyerin arvelu, joka paransi tätä sekä ryhmän ja zeta-funktioita. Numeeriset todisteet tukevat tätä hypoteesia.
Ratkaisevuusongelma
Ongelma löytää algoritmi, jonka avulla voidaan määrittää, onko jollakin Diofantiiniyhtälöllä ratkaisu. Asetetun ongelman olennainen piirre on sellaisen universaalin menetelmän etsiminen, joka soveltuisi mihin tahansa epätasa-arvoon. Tällainen menetelmä mahdollistaisi myös yllä olevien järjestelmien ratkaisemisen, koska se vastaa P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 tai p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Ongelman löytää tällainen universaali tapa löytää ratkaisuja lineaarisille epäyhtälöille kokonaislukuina esitti D. Gilbert.
1950-luvun alussa ilmestyivät ensimmäiset tutkimukset, joiden tarkoituksena oli todistaa diofantiiniyhtälöiden ratkaisemiseen käytettävän algoritmin puuttuminen. Tällä hetkellä ilmestyi Davis-oletus, jonka mukaan mikä tahansa lueteltava joukko kuuluu myös kreikkalaiselle tiedemiehelle. Koska esimerkkejä algoritmisesti ratkaisemattomista joukoista tunnetaan, mutta ne ovat rekursiivisesti luettavissa. Tästä seuraa, että Davis-oletus on totta ja näiden yhtälöiden ratkaistavuusongelmaon negatiivinen suoritus.
Sen jälkeen Davis-oletuksella on vielä todistettava, että on olemassa menetelmä epäyhtälön muuntamiseksi, jolla myös (tai ei) on samaan aikaan ratkaisu. Osoitettiin, että tällainen diofantiiniyhtälön muutos on mahdollinen, jos sillä on kaksi yllä olevaa ominaisuutta: 1) missä tahansa tämän tyyppisessä ratkaisussa v ≦ uu; 2) millä tahansa k:llä on suoritus, jossa on eksponentiaalinen kasvu.
Esimerkki tämän luokan lineaarisesta diofantiiniyhtälöstä täydensi todistuksen. Ongelmaa algoritmin olemassaolosta näiden rationaalisten lukujen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi ja tunnistamiseksi pidetään edelleen tärkeänä ja avoimena kysymyksenä, jota ei ole tutkittu riittävästi.
