Todennäköisyysteoria on matematiikan erikoisala, jota opiskelevat vain korkeakoulujen opiskelijat. Rakastatko laskelmia ja kaavoja? Etkö pelkää mahdollisuuksia tutustua normaalijakaumaan, ensemblen entropiaan, matemaattiseen odotukseen ja diskreetin satunnaismuuttujan varianssiin? Sitten tämä aihe kiinnostaa sinua suuresti. Tutustutaan joihinkin tämän tieteen osan tärkeimpiin peruskäsitteisiin.
Muista perusasiat
Vaikka muistaisitkin yksinkertaisimmat todennäköisyysteorian käsitteet, älä unohda artikkelin ensimmäisiä kappaleita. Tosiasia on, että ilman selkeää perusasioiden ymmärtämistä et voi työskennellä alla käsiteltyjen kaavojen kanssa.
Joten, on jokin satunnainen tapahtuma, jokin kokeilu. Tehtyjen toimien seurauksena voimme saada useita tuloksia - jotkut niistä ovat yleisempiä, toiset vähemmän yleisiä. Tapahtuman todennäköisyys on yhden tyyppisten tosiasiallisesti vastaanotettujen tulosten lukumäärän suhde mahdollisten tulosten kokonaismäärään. Vain tietäen tämän käsitteen klassisen määritelmän, voit alkaa tutkia jatkuvan matemaattista odotusta ja varianssia.satunnaismuuttujat.
Aritmeettinen keskiarvo
Jopa koulussa, matematiikan tunneilla, aloit työskennellä aritmeettisen keskiarvon kanssa. Tätä käsitettä käytetään laaj alti todennäköisyysteoriassa, joten sitä ei voida jättää huomiotta. Meille tällä hetkellä pääasia on, että kohtaamme sen satunnaismuuttujan matemaattisen odotuksen ja varianssin kaavoissa.
Meillä on lukujono ja haluamme löytää aritmeettisen keskiarvon. Meiltä vaaditaan vain summaamalla kaikki saatavilla oleva ja jakaminen sekvenssin elementtien lukumäärällä. Olkoon numerot 1 - 9. Alkioiden summa on 45 ja jaamme tämän arvon 9:llä. Vastaus: - 5.
Dispersio
Tieteellisesti varianssi on saatujen piirrearvojen aritmeettisesta keskiarvosta poikkeamien keskineliö. Yksi on merkitty isolla latinalaiskirjaimella D. Mitä sen laskemiseen tarvitaan? Jokaiselle sekvenssin elementille lasketaan käytettävissä olevan luvun ja aritmeettisen keskiarvon välinen erotus ja se neliöitetään. Arvoja tulee olemaan tarkalleen niin monta kuin voi olla tuloksia harkitsemamme tapahtumalla. Seuraavaksi teemme yhteenvedon kaikesta vastaanotetusta ja jaamme sekvenssin elementtien lukumäärällä. Jos meillä on viisi mahdollista tulosta, jaa viidellä.
Dispersiolla on myös ominaisuuksia, jotka sinun tulee muistaa, jotta voit käyttää sitä tehtävien ratkaisussa. Esimerkiksi, jos satunnaismuuttujaa suurennetaan X kertaa, varianssi kasvaa X kertaa neliö (eli XX). Se ei ole koskaan pienempi kuin nolla, eikä se ole riippuvainensiirtää arvoja yhtä suurella arvolla ylös tai alas. Myös riippumattomissa kokeissa summan varianssi on yhtä suuri kuin varianssien summa.
Nyt meidän on ehdottomasti harkittava esimerkkejä diskreetin satunnaismuuttujan varianssista ja matemaattisesta odotuksesta.
Oletetaan, että suoritimme 21 koetta ja saimme 7 erilaista tulosta. Tarkastelimme kutakin niistä 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 kertaa. Mikä on varianssi?
Lasketaan ensin aritmeettinen keskiarvo: alkioiden summa on tietysti 21. Jaa se 7:llä, jolloin saadaan 3. Nyt vähennetään 3 jokaisesta alkuperäisen sarjan numerosta, neliötetään jokainen arvo ja lisätään tulokset yhdessä. Osoittautuu, että 12. Nyt meidän on jaettava luku elementtien lukumäärällä, ja näyttää siltä, että siinä kaikki. Mutta siinä on saalis! Keskustellaan siitä.
Riippuvuus kokeiden määrästä
On käynyt ilmi, että varianssia laskettaessa nimittäjä voi olla toinen kahdesta luvusta: joko N tai N-1. Tässä N on suoritettujen kokeiden lukumäärä tai sekvenssin elementtien lukumäärä (joka itse asiassa on sama). Mistä se riippuu?
Jos testien lukumäärä mitataan sadoissa, niin nimittäjään on laitettava N. Jos yksikköinä, niin N-1. Tiedemiehet päättivät piirtää rajan melko symbolisesti: nykyään se kulkee numeroa 30 pitkin. Jos teimme alle 30 koetta, jaamme määrän N-1:llä ja jos enemmän, niin N.
Tehtävä
Palataanpa esimerkkiimme varianssi- ja odotusongelman ratkaisemisesta. Mesai väliluvun 12, joka oli jaettava N:llä tai N-1:llä. Koska suoritimme 21 koetta, mikä on vähemmän kuin 30, valitsemme toisen vaihtoehdon. Joten vastaus on: varianssi on 12 / 2=2.
Odotus
Siirrytään toiseen käsitteeseen, jota meidän on tarkasteltava tässä artikkelissa. Matemaattinen odotus saadaan laskemalla yhteen kaikki mahdolliset tulokset kerrottuna vastaavilla todennäköisyyksillä. On tärkeää ymmärtää, että tuloksena oleva arvo, kuten myös varianssin laskennan tulos, saadaan vain kerran koko tehtävälle riippumatta siitä, kuinka monta tulosta se ottaa huomioon.
Odotuskaava on melko yksinkertainen: otamme tuloksen, kerromme sen todennäköisyydellä, lisäämme saman toiselle, kolmannelle tulokselle jne. Kaikki tähän käsitteeseen liittyvä on helppo laskea. Esimerkiksi matemaattisten odotusten summa on yhtä suuri kuin summan matemaattinen odotus. Sama pätee työhön. Kaikki todennäköisyysteorian suuret eivät salli näin yksinkertaisten operaatioiden suorittamista. Otetaan tehtävä ja lasketaan kahden tutkimamme käsitteen arvo kerralla. Lisäksi teoria häiritsi meitä – on aika harjoitella.
Toinen esimerkki
Suoritimme 50 koetta ja saimme 10 erilaista tulosta - numerot nollasta 9:ään - eri prosentteina. Nämä ovat vastaavasti: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Muista, että saadaksesi todennäköisyydet, sinun on jaettava prosenttiarvot 100:lla. Siten saamme 0,02; 0, 1 jne. Esitetään satunnaisen varianssiaarvo ja matemaattinen odotusesimerkki ongelman ratkaisemisesta.
Laske aritmeettinen keskiarvo kaavalla, jonka muistamme peruskoulusta: 50/10=5.
Käännetään nyt todennäköisyydet tulosten lukumääräksi "palasina", jotta laskeminen olisi helpompaa. Saamme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Vähennä jokaisesta saadusta arvosta aritmeettinen keskiarvo, jonka jälkeen neliöimme jokaisen saadun tuloksen. Katso, miten tämä tehdään käyttämällä esimerkkiä ensimmäistä elementtiä: 1 - 5=(-4). Lisäksi: (-4)(-4)=16. Muille arvoille, tee nämä toiminnot itse. Jos teit kaiken oikein, kaikkien välitulosten lisäämisen jälkeen saat 90.
Jatka varianssin ja keskiarvon laskemista jakamalla 90 N:llä. Miksi valitsemme N emmekä N-1? Se on totta, koska tehtyjen kokeiden määrä ylittää 30. Joten: 90/10=9. Saimme dispersion. Jos saat toisen numeron, älä ole epätoivoinen. Todennäköisesti teit banaalin virheen laskelmissa. Tarkista kirjoittamasi, niin kaikki loksahtaa varmasti paikoilleen.
Muistataan lopuksi odotuskaava. Emme anna kaikkia laskelmia, kirjoitamme vain vastauksen, jonka voit tarkistaa suoritettuasi kaikki vaaditut toimenpiteet. Odotusarvo on 5, 48. Muistamme vain, kuinka operaatiot suoritetaan käyttämällä esimerkkiä ensimmäisistä elementeistä: 00, 02 + 10, 1… ja niin edelleen. Kuten näet, kerromme tuloksen arvon sen todennäköisyydellä.
Poikkeama
Toinen varianssiin ja odotusarvoon läheisesti liittyvä käsite onkeskihajonta. Sitä merkitään joko latinalaisilla kirjaimilla sd tai kreikkalaisilla pienillä kirjaimilla "sigma". Tämä konsepti osoittaa, kuinka arvot keskimäärin poikkeavat keskeisestä ominaisuudesta. Sen arvon löytämiseksi sinun on laskettava varianssin neliöjuuri.
Jos rakennat graafin normaalijakaumasta ja haluat nähdä siinä suoraan keskihajonnan arvon, se voidaan tehdä useassa vaiheessa. Ota puolet kuvasta tilan vasemmalle tai oikealle puolelle (keskiarvo), piirrä kohtisuora vaaka-akseliin nähden niin, että tuloksena olevien lukujen alueet ovat yhtä suuret. Jakauman keskikohdan ja tuloksena olevan vaaka-akselin projektion välisen segmentin arvo on keskihajonta.
Ohjelmisto
Kuten kaavojen kuvauksista ja esitetyistä esimerkeistä näkyy, varianssin ja matemaattisen odotuksen laskeminen ei ole aritmeettiselta kann alta helpoin toimenpide. Jotta ei tuhlata aikaa, on järkevää käyttää korkea-asteen koulutuksessa käytettyä ohjelmaa - sitä kutsutaan nimellä "R". Siinä on toimintoja, joiden avulla voit laskea arvoja monille käsitteille tilastoista ja todennäköisyysteoriasta.
Esimerkiksi määrität arvojen vektorin. Tämä tehdään seuraavasti: vektori <-c(1, 5, 2…). Nyt, kun sinun on laskettava joitain arvoja tälle vektorille, kirjoitat funktion ja annat sen argumentiksi. Varianssin löytämiseksi sinun on käytettävä var. Esimerkki hänestäkäyttö: var(vektori). Sitten painat "enter" ja saat tuloksen.
Lopuksi
Varianssi ja matemaattinen odotus ovat todennäköisyysteorian peruskäsitteitä, joita ilman on vaikea laskea mitään tulevaisuudessa. Yliopistojen luentojen pääkurssilla ne huomioidaan jo aineen opiskelun ensimmäisinä kuukausina. Juuri näiden yksinkertaisten käsitteiden ymmärtämättömyyden ja niiden laskemisen puutteen vuoksi monet opiskelijat alkavat välittömästi jäädä jälkeen ohjelmasta ja saavat myöhemmin istunnon lopussa huonoja arvosanoja, mikä vie heiltä stipendejä.
Harjoittele vähintään yksi viikko puoli tuntia päivässä ja ratkaise tässä artikkelissa esitettyjen k altaisia ongelmia. Sitten missä tahansa todennäköisyysteoriakokeessa selviät esimerkeistä ilman ylimääräisiä vihjeitä ja huijauslappuja.
