Satunnaismuuttujien ja niiden muuttujien jakaumafunktioiden löytämiseksi on tarpeen tutkia kaikkia tämän tietokentän piirteitä. Kyseisten arvojen löytämiseen on useita eri menetelmiä, mukaan lukien muuttujan muuttaminen ja hetken generointi. Jakauma on käsite, joka perustuu sellaisiin elementteihin kuin dispersio, variaatiot. Ne kuvaavat kuitenkin vain sironnan amplitudin astetta.
Satunnaismuuttujien tärkeämpiä funktioita ovat ne, jotka liittyvät toisiinsa ja ovat riippumattomia ja jakautuvat tasaisesti. Esimerkiksi, jos X1 on satunnaisesti valitun yksilön paino miespopulaatiosta, X2 on toisen paino, … ja Xn on yhden muun henkilön paino miespopulaatiosta, meidän on tiedettävä, kuinka satunnainen funktio X on jaettu. Tässä tapauksessa pätee klassinen lause, jota kutsutaan keskusrajalauseeksi. Sen avulla voit osoittaa, että suurella n:llä funktio noudattaa vakiojakaumia.
Yhden satunnaismuuttujan funktiot
Keskirajalause on tarkoitettu tarkasteltavien diskreettien arvojen, kuten binomiaalin ja Poissonin, lähentämiseen. Satunnaismuuttujien jakautumisfunktioita tarkastellaan ensinnäkin yhden muuttujan yksinkertaisilla arvoilla. Esimerkiksi jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on oma todennäköisyysjakauma. Tässä tapauksessa tutkimme kuinka löytää Y:n tiheysfunktio käyttämällä kahta erilaista lähestymistapaa, nimittäin jakaumafunktiomenetelmää ja muuttujan muutosta. Ensinnäkin vain yksi-yhteen arvot otetaan huomioon. Sitten sinun on muutettava muuttujan muuttamistekniikkaa sen todennäköisyyden selvittämiseksi. Lopuksi meidän on opittava, kuinka käänteinen kumulatiivinen jakautumisfunktio voi auttaa mallintamaan satunnaislukuja, jotka noudattavat tiettyjä peräkkäisiä kaavoja.
Osattujen arvojen jakautumismenetelmä
Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktion menetelmää voidaan soveltaa sen tiheyden selvittämiseen. Tätä menetelmää käytettäessä lasketaan kumulatiivinen arvo. Sitten erottamalla sen saat todennäköisyystiheyden. Nyt kun meillä on jakelufunktiomenetelmä, voimme tarkastella vielä muutamia esimerkkejä. Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on tietty todennäköisyystiheys.
Mikä on x2:n todennäköisyystiheysfunktio? Jos katsot tai piirrät funktiota (ylhäällä ja oikealla) y \u003d x2, voit huomata, että se on kasvava X ja 0 <y<1. Nyt sinun on käytettävä tarkasteltua menetelmää Y:n löytämiseen. Ensin löydetään kumulatiivinen jakaumafunktio, sinun tarvitsee vain erottaa todennäköisyystiheys. Näin saamme: 0<y<1. Jakaumamenetelmä on onnistuneesti toteutettu Y:n löytämiseksi, kun Y on X:n kasvava funktio. Muuten, f(y) integroituu luvuksi 1 yli y:n.
Edellisessä esimerkissä kumulatiiviset funktiot ja todennäköisyystiheys indeksoitiin erittäin huolellisesti joko X:llä tai Y:llä sen osoittamiseksi, mihin satunnaismuuttujaan ne kuuluivat. Esimerkiksi kun etsimme Y:n kumulatiivista jakaumafunktiota, saimme X. Jos haluat löytää satunnaismuuttujan X ja sen tiheyden, sinun tarvitsee vain erottaa se.
Variable Change Technique
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka antaa jakaumafunktio, jolla on yhteinen nimittäjä f (x). Tässä tapauksessa, jos laitat y:n arvon X=v (Y), saat x:n arvon, esimerkiksi v (y). Nyt meidän on saatava jatkuvan satunnaismuuttujan Y jakaumafunktio. Missä ensimmäinen ja toinen yhtälö tapahtuvat kumulatiivisen Y:n määritelmästä. Kolmas yhtälö pätee, koska funktion osa, jolle u (X) ≦ y on myös totta, että X ≦ v (Y). Ja viimeinen tehdään jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyyden määrittämiseksi. Nyt meidän on otettava FY (y) derivaatta, Y:n kumulatiivinen jakaumafunktio, jotta saadaan todennäköisyystiheys Y.
Yleistys vähennystoiminnolle
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jolla on yhteinen f (x), joka on määritelty kohdassa c1<x<c2. Ja olkoon Y=u (X) X:n pienenevä funktio käänteisellä X=v (Y). Koska funktio on jatkuva ja laskeva, on olemassa käänteisfunktio X=v (Y).
Tämän ongelman ratkaisemiseksi voit kerätä kvantitatiivisia tietoja ja käyttää empiiristä kumulatiivista jakaumafunktiota. Näillä tiedoilla ja niihin vetoamalla sinun on yhdistettävä keinonäytteet, keskihajonnat, mediatiedot ja niin edelleen.
Samaan tapaan jopa melko yksinkertaisella todennäköisyysmallilla voi olla v altava määrä tuloksia. Jos esimerkiksi käännät kolikon 332 kertaa. Tällöin käännöksistä saatujen tulosten määrä on suurempi kuin googlella (10100) - luku, mutta vähintään 100 kvintiljoona kertaa suurempi kuin tunnetun universumin alkuainehiukkaset. En ole kiinnostunut analyysistä, joka antaa vastauksen kaikkiin mahdollisiin tuloksiin. Tarvittaisiin yksinkertaisempi käsite, kuten päiden lukumäärä tai pisin pyrstö. Jos haluat keskittyä kiinnostaviin asioihin, hyväksytään tietty tulos. Määritelmä tässä tapauksessa on seuraava: satunnaismuuttuja on todellinen funktio, jolla on todennäköisyysavaruus.
Satunnaismuuttujan aluetta S kutsutaan joskus tilaavaruudeksi. Jos X on siis kyseessä oleva arvo, niin N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ja niin edelleen. Näistä viimeistä, pyöristämällä X lähimpään kokonaislukuun, kutsutaan kerrosfunktioksi.
Jakelutoiminnot
Kun satunnaismuuttujan x kiinnostava jakaumafunktio on määritetty, kysytään yleensä: "Millä todennäköisyydillä X osuu johonkin B-arvojen osajoukkoon?". Esimerkiksi B={parittomat numerot}, B={suurempi kuin 1} tai B={välillä 2 ja 7} osoittaaksesi tulokset, joissa on X, arvosatunnaismuuttuja, osajoukossa A. Voit siis yllä olevassa esimerkissä kuvata tapahtumat seuraavasti.
{X on pariton luku}, {X on suurempi kuin 1}={X> 1}, {X on välillä 2 ja 7}={2 <X <7} vastaamaan kolmea yllä olevaa vaihtoehtoa osajoukolle B. Monet satunnaissuureiden ominaisuudet eivät liity tiettyyn X:ään. Pikemminkin ne riippuvat siitä, kuinka X allokoi arvonsa. Tämä johtaa määritelmään, joka kuulostaa tältä: satunnaismuuttujan x jakaumafunktio on kumulatiivinen ja määräytyy kvantitatiivisten havaintojen avulla.
Satunnaiset muuttujat ja jakautumisfunktiot
Siten voit laskea todennäköisyyden, että satunnaismuuttujan x jakaumafunktio ottaa arvot väliltä vähentämällä. Harkitse päätepisteiden sisällyttämistä tai poissulkemista.
Kutsumme satunnaismuuttujaa diskreetiksi, jos sillä on äärellinen tai laskettavasti ääretön tilaavaruus. Siten X on päiden lukumäärä kolmella riippumattomalla vinoutuneen kolikon heitolla, joka nousee todennäköisyydellä p. Meidän on löydettävä diskreetin satunnaismuuttujan FX kumulatiivinen jakautumisfunktio X:lle. Olkoon X huippujen lukumäärä kolmen kortin joukossa. Sitten Y=X3 FX:n kautta. FX alkaa 0:sta, päättyy 1:een eikä pienene x-arvojen kasvaessa. Diskreetin satunnaismuuttujan X kumulatiivinen FX-jakaumafunktio on vakio, lukuun ottamatta hyppyjä. Hyppääessä FX on jatkuva. Todista väite siitä, että se on oikeajakaumafunktion jatkuvuus todennäköisyysominaisuudesta on mahdollista määritelmää käyttämällä. Se kuulostaa tältä: vakiolla satunnaismuuttujalla on kumulatiivinen FX, joka on differentioituva.
Näyttääksemme, kuinka tämä voi tapahtua, voimme antaa esimerkin: kohde, jolla on yksikkösäde. Oletettavasti. tikka on jakautunut tasaisesti määritetylle alueelle. Joillekin λ> 0. Näin ollen jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumafunktiot kasvavat tasaisesti. FX:llä on jakelufunktion ominaisuudet.
Mies odottaa bussipysäkillä, kunnes bussi saapuu. Päätettyään itse kieltäytyä, kun odotusaika on 20 minuuttia. Tästä on löydettävä kumulatiivinen jakaumafunktio T:lle. Aika, jolloin henkilö on vielä linja-autoasemalla tai ei lähde. Huolimatta siitä, että kumulatiivinen jakaumafunktio on määritelty kullekin satunnaismuuttujalle. Muut ominaisuudet ovat kuitenkin käytössä melko usein: diskreetin muuttujan massa ja satunnaismuuttujan jakautumistiheysfunktio. Yleensä arvo tulostetaan jommankumman näistä arvoista.
Massafunktiot
Näitä arvoja huomioivat seuraavat ominaisuudet, joilla on yleinen (massa) luonne. Ensimmäinen perustuu siihen tosiasiaan, että todennäköisyydet eivät ole negatiivisia. Toinen seuraa havainnosta, että joukko kaikille x=2S, tila-avaruus X:lle, muodostaa osion X:n todennäköisyysvapaudesta. Esimerkki: heitetään vino kolikko, jonka tulokset ovat riippumattomia. Voit jatkaa tekemistätiettyjä toimia, kunnes saat pään pyörähtää. Olkoon X satunnaismuuttuja, joka antaa ensimmäisen pään edessä olevien häntien lukumäärän. Ja p tarkoittaa todennäköisyyttä missä tahansa tietyssä toiminnossa.
Joten massatodennäköisyysfunktiolla on seuraavat ominaispiirteet. Koska termit muodostavat numeerisen sekvenssin, X:ää kutsutaan geometriseksi satunnaismuuttujaksi. Geometrinen kaavio c, cr, cr2,.,,, crn:llä on summa. Ja siksi sn:n raja on n 1. Tässä tapauksessa ääretön summa on raja.
Yllä oleva massafunktio muodostaa geometrisen sekvenssin, jossa on suhde. Siksi luonnolliset luvut a ja b. Jakaumafunktion arvojen ero on yhtä suuri kuin massafunktion arvo.
Tarkasteltavana olevilla tiheysarvoilla on määritelmä: X on satunnaismuuttuja, jonka FX-jakaumalla on derivaatta. FX, joka täyttää Z xFX (x)=fX (t) dt-1, kutsutaan todennäköisyystiheysfunktioksi. Ja X:ää kutsutaan jatkuvaksi satunnaismuuttujaksi. Laskennan peruslauseessa tiheysfunktio on jakauman derivaatta. Voit laskea todennäköisyydet laskemalla tarkkoja integraaleja.
Koska tietoja kerätään useista havainnoista, useampaa kuin yhtä satunnaismuuttujaa on otettava kerrallaan huomioon kokeellisten menettelyjen mallintamisessa. Siksi näiden arvojen joukko ja niiden yhteinen jakautuminen kahdelle muuttujalle X1 ja X2 tarkoittaa tapahtumien katselua. Diskreeteille satunnaismuuttujille määritetään yhteiset todennäköisyysmassafunktiot. Jatkuville katsotaan fX1, X2, missäyhteinen todennäköisyystiheys täyttyy.
Riippumattomat satunnaismuuttujat
Kaksi satunnaismuuttujaa X1 ja X2 ovat riippumattomia, jos mitkä tahansa kaksi niihin liittyvää tapahtumaa ovat samat. Todennäköisyys, että kaksi tapahtumaa {X1 2 B1} ja {X2 2 B2} tapahtuu samaan aikaan, y, on sanoin yhtä suuri kuin yllä olevien muuttujien tulo, että kukin niistä esiintyy erikseen. Riippumattomille diskreeteille satunnaismuuttujille on olemassa yhteinen todennäköisyysfunktio, joka on rajoittavan ionitilavuuden tulo. Jatkuville satunnaismuuttujille, jotka ovat riippumattomia, yhteinen todennäköisyystiheysfunktio on marginaalitiheysarvojen tulo. Lopuksi tarkastellaan n itsenäistä havaintoa x1, x2,.,,, xn, jotka johtuvat tuntemattomasta tiheys- tai massafunktiosta f. Esimerkiksi tuntematon parametri funktioissa eksponentiaaliselle satunnaismuuttujalle, joka kuvaa väylän odotusaikaa.
Satunnaismuuttujien jäljitelmä
Tämän teoreettisen kentän päätavoitteena on tarjota työkalut, joita tarvitaan johtopäätösmenettelyjen kehittämiseen, jotka perustuvat järkeviin tilastotieteen periaatteisiin. Siten yksi erittäin tärkeä ohjelmiston käyttötapaus on kyky tuottaa pseudodataa todellisen tiedon jäljittelemiseksi. Tämä mahdollistaa analyysimenetelmien testaamisen ja parantamisen ennen kuin niitä joudutaan käyttämään oikeissa tietokannoissa. Tämä on tarpeen tietojen ominaisuuksien tutkimiseksimallinnus. Monille yleisesti käytetyille satunnaismuuttujien perheille R tarjoaa komennot niiden luomiseksi. Muissa olosuhteissa tarvitaan menetelmiä itsenäisten satunnaismuuttujien sarjan mallintamiseksi, joilla on yhteinen jakauma.
Erilliset satunnaismuuttujat ja komentokuvio. Sample-komentoa käytetään luomaan yksinkertaisia ja kerrostettuja satunnaisotoksia. Tämän seurauksena, jos syötetään sekvenssi x, näyte(x, 40) valitsee 40 tietuetta x:stä siten, että kaikilla koon 40 valinnoilla on sama todennäköisyys. Tämä käyttää oletusarvoista R-komentoa hakemiseen ilman korvaamista. Voidaan käyttää myös diskreettien satunnaismuuttujien mallintamiseen. Tätä varten sinun on annettava tila-avaruus vektoriin x ja massafunktioon f. Kutsu korvaamaan=TOSI osoittaa, että näytteenotto tapahtuu korvaamisen yhteydessä. Sitten otoksen saamiseksi n riippumattomasta satunnaismuuttujasta, joilla on yhteinen massafunktio f, käytetään näytettä (x, n, korvaa=TOSI, todennäköisyys=f).
Määritettiin, että 1 on pienin esitetty arvo ja 4 on suurin kaikista. Jos komento prob=f jätetään pois, näyte ottaa tasaisesti näytteen vektorin x arvoista. Voit tarkistaa simulaation datan tuottaneeseen massafunktioon katsomalla kaksoissuuruusmerkkiä==. Ja laskea uudelleen havainnot, jotka ottavat x:n kaikki mahdolliset arvot. Voit tehdä pöydän. Toista tämä 1000:lle ja vertaa simulaatiota vastaavaan massafunktioon.
Todennäköisyysmuunnoksen kuva
Ensinsimuloi satunnaismuuttujien u1, u2,.,,, un välissä [0, 1]. Noin 10 % luvuista tulee olla [0, 3, 0, 4] sisällä. Tämä vastaa 10 % simulaatioista aikavälillä [0, 28, 0, 38] satunnaismuuttujalle, jossa on esitetty FX-jakaumafunktio. Samoin noin 10 % satunnaisluvuista tulisi olla välillä [0, 7, 0, 8]. Tämä vastaa 10 % simulaatioita satunnaismuuttujan välillä [0, 96, 1, 51] jakaumafunktiolla FX. Nämä x-akselin arvot saadaan ottamalla käänteisarvo FX:stä. Jos X on jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheys fX on positiivinen kaikkialla alueellaan, niin jakaumafunktio on tiukasti kasvava. Tässä tapauksessa FX:llä on käänteinen FX-1-funktio, joka tunnetaan nimellä kvantiilifunktio. FX (x) u vain, kun x FX-1 (u). Todennäköisyysmuunnos seuraa satunnaismuuttujan U=FX (X) analyysistä.
FX:n alue on 0-1. Se ei voi olla alle 0 tai yli 1. Arvoille u välillä 0 ja 1. Jos U voidaan simuloida, niin satunnaismuuttuja FX-jakaumalla on oltava simuloitu kvantiilifunktiolla. Ota derivaatta nähdäksesi, että tiheys u vaihtelee 1:n sisällä. Koska satunnaismuuttujan U tiheys on vakio mahdollisten arvojensa välillä, sitä kutsutaan yhtenäiseksi välillä [0, 1]. Se mallinnetaan R:llä runif-komennolla. Identiteettiä kutsutaan todennäköisyysmuunnokseksi. Voit nähdä kuinka se toimii tikkatauluesimerkissä. X välillä 0 ja 1, funktiojakauma u=FX (x)=x2, ja siten kvantiilifunktio x=FX-1 (u). On mahdollista mallintaa itsenäisiä havaintoja etäisyydestä tikkataulun keskipisteestä ja siten luoda yhtenäisiä satunnaismuuttujia U1, U2,.,, Un. Jakaumafunktio ja empiirinen funktio perustuvat 100 tikkataulun jakauman simulaatioon. Eksponentiaaliselle satunnaismuuttujalle oletettavasti u=FX (x)=1 - exp (- x), ja siten x=- 1 ln (1 - u). Joskus logiikka koostuu vastaavista lausunnoista. Tässä tapauksessa sinun on ketjutettava argumentin kaksi osaa. Leikkausidentiteetti on samanlainen kaikille 2 {S i i} S, jonkin arvon sijaan. Unioni Ci on yhtä suuri kuin tilaavaruus S ja jokainen pari on toisensa poissulkeva. Koska Bi - on jaettu kolmeen aksioomaan. Jokainen tarkistus perustuu vastaavaan todennäköisyyteen P. Kaikille osajoukoille. Identiteetin käyttäminen varmistaaksesi, että vastaus ei riipu siitä, sisällytetäänkö välin päätepisteet.
Eksponentiaalinen funktio ja sen muuttujat
Jokaiseen lopputulokseen kaikissa tapahtumissa käytetään lopulta todennäköisyyksien jatkuvuuden toista ominaisuutta, jota pidetään aksiomaattisena. Satunnaismuuttujan funktion jakautumislaki tässä osoittaa, että jokaisella on oma ratkaisunsa ja vastauksensa.
