Fourier-sarja on esitys mieliv altaisesti valitusta funktiosta, jossa on tietty jakso sarjana. Yleisesti ottaen tätä ratkaisua kutsutaan elementin hajottamiseksi ortogonaalisesti. Fourier-sarjan funktioiden laajentaminen on varsin tehokas työkalu erilaisten ongelmien ratkaisemiseen johtuen tämän muunnoksen ominaisuuksista integroitaessa, differentioitaessa ja siirrettäessä lauseketta argumentissa ja konvoluutiossa.
Henkilö, joka ei tunne korkeampaa matematiikkaa eikä ranskalaisen tiedemiehen Fourier'n töitä, ei todennäköisesti ymmärrä, mitä nämä "rivit" ovat ja mihin ne on tarkoitettu. Samaan aikaan tämä muutos on tullut melko tiheäksi elämässämme. Sitä käyttävät paitsi matemaatikot, myös fyysikot, kemistit, lääkärit, tähtitieteilijät, seismologit, merentutkijat ja monet muut. Katsotaanpa lähemmin suuren ranskalaisen tiedemiehen töitä, joka teki löydön aikaansa edellä.
Ihminen ja Fourier-muunnos
Fourier-sarjat ovat yksi Fourier-muunnoksen menetelmistä (analyysin ja muiden ohella). Tämä prosessi tapahtuu aina, kun henkilö kuulee äänen. Korvamme muuntaa äänen automaattisestiaallot. Alkuainehiukkasten värähtelevät liikkeet elastisessa väliaineessa hajoavat riveiksi (spektrillä) peräkkäisten äänenvoimakkuustason arvojen eri korkeuksille. Seuraavaksi aivot muuttavat nämä tiedot meille tutuiksi ääniksi. Kaikki tämä tapahtuu halumme tai tietoisuutemme lisäksi, itsestään, mutta näiden prosessien ymmärtäminen kestää useita vuosia korkeamman matematiikan opiskelussa.
Lisätietoja Fourier-muunnoksesta
Fourier-muunnos voidaan suorittaa analyyttisillä, numeerisilla ja muilla menetelmillä. Fourier-sarjat viittaavat numeeriseen tapaan hajottaa kaikki värähtelevät prosessit - v altameren vuorovedestä ja valon aalloista auringon (ja muiden tähtitieteellisten kohteiden) toiminnan sykleihin. Näitä matemaattisia tekniikoita käyttämällä on mahdollista analysoida funktioita, jotka edustavat mitä tahansa värähteleviä prosesseja sarjana sinimuotoisia komponentteja, jotka siirtyvät minimistä maksimiin ja päinvastoin. Fourier-muunnos on funktio, joka kuvaa tiettyä taajuutta vastaavien sinia altojen vaihetta ja amplitudia. Tätä prosessia voidaan käyttää ratkaisemaan erittäin monimutkaisia yhtälöitä, jotka kuvaavat dynaamisia prosesseja, jotka tapahtuvat lämmön, valon tai sähköenergian vaikutuksesta. Fourier-sarjat mahdollistavat myös monimutkaisten värähtelysignaalien vakiokomponenttien eristämisen, mikä mahdollisti saatujen kokeellisten havaintojen oikean tulkinnan lääketieteen, kemian ja tähtitieteen alalla.
Historiallista taustaa
Tämän teorian perustajaJean Baptiste Joseph Fourier on ranskalainen matemaatikko. Tämä muutos nimettiin myöhemmin hänen mukaansa. Aluksi tiedemies käytti menetelmäään tutkiakseen ja selittääkseen lämmönjohtavuuden mekanismeja - lämmön leviämistä kiinteissä aineissa. Fourier ehdotti, että lämpöaallon alkuperäinen epäsäännöllinen jakautuminen voidaan hajottaa yksinkertaisimpiin sinimuotoihin, joista jokaisella on oma lämpötilan minimi- ja maksiminsa sekä oma vaiheensa. Tässä tapauksessa jokainen tällainen komponentti mitataan minimistä maksimiin ja päinvastoin. Matemaattista funktiota, joka kuvaa käyrän ylä- ja alahuippuja sekä kunkin harmonisen vaihetta, kutsutaan lämpötilajakauman lausekkeen Fourier-muunnokseksi. Teorian kirjoittaja pelkisti matemaattisesti vaikeasti kuvattavan yleisen jakaumafunktion erittäin helposti käsiteltäväksi sarjaksi jaksollisia kosini- ja sinifunktioita, jotka laskevat yhteen alkuperäisen jakauman.
Muunnuksen periaate ja aikalaisten näkemykset
Tutkijan aikalaiset - 1800-luvun alun johtavat matemaatikot - eivät hyväksyneet tätä teoriaa. Suurin vastalause oli Fourier'n väite, jonka mukaan epäjatkuva funktio, joka kuvaa suoraa tai epäjatkuvaa käyrää, voidaan esittää sinimuotoisten lausekkeiden summana, jotka ovat jatkuvia. Esimerkkinä harkitse Heavisiden "askelta": sen arvo on nolla aukon vasemmalla puolella ja yksi oikealla. Tämä toiminto kuvaa sähkövirran riippuvuutta aikamuuttujasta, kun piiri on kiinni. Tuolloin teorian aikalaiset eivät olleet koskaan kohdanneet sellaistatilanne, jossa epäjatkuva lauseke kuvattaisiin jatkuvien, tavallisten funktioiden yhdistelmällä, kuten eksponentiaalinen, sinimuotoinen, lineaarinen tai neliö.
Mikä hämmensi ranskalaiset matemaatikot Fourier-teoriassa?
Jos matemaatikko oli väitteissään oikeassa, niin loputtomat trigonometriset Fourier-sarjat summaamalla saadaan tarkka esitys askellausekkeesta, vaikka siinä olisi monta samank altaista askelta. 1800-luvun alussa tällainen lausunto vaikutti absurdilta. Mutta kaikista epäilyistä huolimatta monet matemaatikot ovat laajentaneet tämän ilmiön tutkimuksen alaa viemällä sen lämmönjohtavuustutkimusten ulkopuolelle. Useimmat tutkijat kuitenkin jatkoivat tuskaa kysymyksen suhteen: "Voiko sinimuotoisen sarjan summa konvergoida epäjatkuvan funktion tarkkaan arvoon?"
Fourier-sarjan konvergenssi: esimerkki
Kysymys lähentymisestä nousee esiin aina, kun on tarpeen laskea yhteen ääretön lukusarja. Ymmärtääksesi tämän ilmiön, harkitse klassista esimerkkiä. Voitko koskaan päästä seinään, jos jokainen peräkkäinen askel on puolet edellisestä? Oletetaan, että olet kaksi metriä tavoitteesta, ensimmäinen askel vie sinut lähemmäksi puoliväliä, seuraava kolmen neljäsosan merkkiä ja viidennen jälkeen kattaat lähes 97 prosenttia matkasta. Riippumatta siitä, kuinka monta askelta otat, et saavuta tavoitettasi tiukasti matemaattisessa mielessä. Numeeristen laskelmien avulla voidaan todistaa, että lopulta pääsee niin lähelle kuin haluaa.pieni määrätty etäisyys. Tämä todiste vastaa sen osoittamista, että puolen, neljäsosan jne. summa-arvo pyrkii yhteen.
Kysymys lähentymisestä: Toinen tuleminen tai Lord Kelvinin laite
Tämä kysymys esitettiin toistuvasti 1800-luvun lopulla, kun Fourier-sarjoja yritettiin käyttää ennustamaan laskusuhdanteen voimakkuutta. Tällä hetkellä Lord Kelvin keksi laitteen, joka on analoginen laskentalaite, jonka avulla armeijan ja kauppalaivaston merimiehet pystyivät seuraamaan tätä luonnonilmiötä. Tämä mekanismi määritti vaiheiden ja amplitudien sarjat vuorovesikorkeuksien ja niitä vastaavien aikahetkien taulukosta, joka mitattiin tarkasti tietyssä satamassa vuoden aikana. Jokainen parametri oli vuoroveden korkeuden ilmaisun sinimuotoinen komponentti ja yksi säännöllisistä komponenteista. Mittausten tulokset syötettiin Lord Kelvinin laskimeen, joka syntetisoi käyrän, joka ennusti veden korkeuden ajan funktiona seuraavalle vuodelle. Hyvin pian samanlaiset käyrät piirrettiin kaikille maailman satamille.
Ja jos prosessi katkeaa epäjatkuvan toiminnon takia?
Tuohon aikaan näytti ilmeiseltä, että hyökyaallon ennustaja, jossa on suuri määrä laskentaelementtejä, pystyi laskemaan suuren määrän vaiheita ja amplitudeja ja siten tarjoamaan tarkempia ennusteita. Kuitenkin kävi ilmi, että tätä säännöllisyyttä ei havaita tapauksissa, joissa vuoroveden ilmaisu, joka seuraasyntetisoi, sisälsi terävän hypyn, eli se oli epäjatkuva. Siinä tapauksessa, että laitteeseen syötetään dataa aikahetkitaulukosta, se laskee useita Fourier-kertoimia. Alkuperäinen toiminta palautetaan sinimuotoisten komponenttien ansiosta (löydettyjen kertoimien mukaan). Alkuperäisen ja palautetun lausekkeen välinen ero voidaan mitata missä tahansa kohdassa. Toistuvia laskelmia ja vertailuja suoritettaessa voidaan nähdä, että suurimman virheen arvo ei laske. Ne sijaitsevat kuitenkin epäjatkuvuuspistettä vastaavalla alueella, ja niillä on taipumus nollata missä tahansa muussa kohdassa. Joshua Willard Gibbs Yalen yliopistosta vahvisti tämän tuloksen teoreettisesti vuonna 1899.
Fourier-sarjan konvergenssi ja matematiikan kehitys yleensä
Fourier-analyysi ei sovellu lausekkeisiin, jotka sisältävät äärettömän määrän purskeita tietyllä aikavälillä. Yleensä Fourier-sarjat, jos alkuperäinen funktio on todellisen fysikaalisen mittauksen tulos, aina konvergoivat. Kysymykset tämän prosessin konvergenssista tietyille funktioluokille ovat johtaneet uusien osien syntymiseen matematiikassa, esimerkiksi yleistettyjen funktioiden teoriassa. Se yhdistetään sellaisiin nimiin kuin L. Schwartz, J. Mikusinsky ja J. Temple. Tämän teorian puitteissa luotiin selkeä ja tarkka teoreettinen perusta sellaisille lausekkeille kuin Diracin deltafunktio (se kuvaa yhden alueen aluetta, joka on keskittynyt äärettömän pieneen pisteen ympäristöön) ja Heaviside. askel”. Tämän työn ansiosta Fourier-sarjaa voidaan soveltaayhtälöiden ja ongelmien ratkaiseminen, joihin liittyy intuitiivisia käsitteitä: pistevaraus, pistemassa, magneettiset dipolit sekä säteen keskittynyt kuormitus.
Fourier-menetelmä
Fourier-sarjat alkavat interferenssin periaatteiden mukaisesti monimutkaisten muotojen hajottamisesta yksinkertaisempiin muotoihin. Esimerkiksi lämmönvirtauksen muutos selittyy sen kulkemisella erilaisten, epäsäännöllisen muotoisista lämpöä eristävästä materiaalista valmistettujen esteiden läpi tai maanpinnan muutoksella - maanjäristys, muutos taivaankappaleen kiertoradalla - vaikutuksesta planeetat. Yleensä samanlaiset yhtälöt, jotka kuvaavat yksinkertaisia klassisia järjestelmiä, ratkaistaan elementaarisesti jokaiselle yksittäiselle aallolle. Fourier osoitti, että yksinkertaisista ratkaisuista voidaan myös laskea ratkaisuja monimutkaisempiin ongelmiin. Matematiikan kielellä Fourier-sarja on tekniikka, jolla lauseke esitetään harmonisten - kosinin ja siniaalisten - summana. Siksi tämä analyysi tunnetaan myös nimellä "harmoninen analyysi".
Fourier-sarja - ihanteellinen tekniikka ennen "tietokoneikää"
Ennen tietokonetekniikan luomista Fourier-tekniikka oli paras ase tiedemiesten arsenaalissa työskennellessämme maailmamme a altoluonteen kanssa. Fourier-sarja monimutkaisessa muodossa mahdollistaa paitsi yksinkertaisten ongelmien ratkaisemisen, joita voidaan suoraan soveltaa Newtonin mekaniikan lakeihin, myös perusyhtälöitä. Suurin osa newtonilaisen tieteen löydöistä 1800-luvulla teki mahdolliseksi vain Fourier'n tekniikan.
Fourier-sarja tänään
Fourier-muunnostietokoneiden kehityksen myötänostettu kokonaan uudelle tasolle. Tämä tekniikka on juurtunut tiukasti lähes kaikilla tieteen ja teknologian aloilla. Esimerkki on digitaalinen ääni- ja videosignaali. Sen toteuttaminen tuli mahdolliseksi vain ranskalaisen matemaatikon 1800-luvun alussa kehittämän teorian ansiosta. Siten Fourier-sarja monimutkaisessa muodossa mahdollisti läpimurron ulkoavaruuden tutkimuksessa. Lisäksi se vaikutti puolijohdemateriaalien ja plasman fysiikan tutkimukseen, mikroa altouunien akustiikkaan, okeanografiaan, tutkaan, seismologiaan.
Trigonometrinen Fourier-sarja
Matematiikassa Fourier-sarja on tapa esittää mieliv altaiset monimutkaiset funktiot yksinkertaisempien funktioiden summana. Yleisissä tapauksissa tällaisten lausekkeiden määrä voi olla ääretön. Lisäksi mitä enemmän niiden lukumäärä otetaan huomioon laskennassa, sitä tarkempi lopputulos on. Useimmiten kosinin tai sinin trigonometrisiä funktioita käytetään yksinkertaisimpina. Tässä tapauksessa Fourier-sarjoja kutsutaan trigonometrisiksi, ja tällaisten lausekkeiden ratkaisua kutsutaan harmonisen laajenemiseksi. Tällä menetelmällä on tärkeä rooli matematiikassa. Ensinnäkin trigonometrinen sarja tarjoaa välineen kuvalle, samoin kuin funktioiden tutkimiseen, se on teorian päälaite. Lisäksi se mahdollistaa useiden matemaattisen fysiikan ongelmien ratkaisemisen. Lopuksi tämä teoria myötävaikutti matemaattisen analyysin kehittymiseen, synnytti useita erittäin tärkeitä matemaattisen tieteen osia (integraalien teoria, jaksollisten funktioiden teoria). Lisäksi se toimi lähtökohtana seuraavien teorioiden kehittämiselle: joukot, funktiottodellinen muuttuja, funktionaalinen analyysi ja loi myös perustan harmoniselle analyysille.
