Aksiomaattinen menetelmä on tapa rakentaa jo vakiintuneita tieteellisiä teorioita. Se perustuu väitteisiin, tosiasioihin, lausuntoihin, jotka eivät vaadi todisteita tai kumoamista. Itse asiassa tämä tiedon versio esitetään deduktiivisen rakenteen muodossa, joka sisältää aluksi sisällön loogisen perustelun perustekijöistä - aksioomista.
Tämä menetelmä ei voi olla löytö, vaan se on vain luokittelukäsite. Se sopii paremmin opetukseen. Peruste sisältää alkusäännökset ja loput tiedot seuraavat loogisena seurauksena. Missä on aksiomaattinen teorian rakentamismenetelmä? Se on useimpien nykyaikaisten ja vakiintuneiden tieteiden ytimessä.
Aksiomaattisen menetelmän käsitteen muodostuminen ja kehitys, sanan määritelmä
Ensinnäkin tämä käsite syntyi muinaisessa Kreikassa Eukleideen ansiosta. Hänestä tuli geometrian aksiomaattisen menetelmän perustaja. Nykyään se on yleistä kaikissa tieteissä, mutta ennen kaikkea matematiikassa. Tämä menetelmä muodostetaan vakiintuneiden lausuntojen perusteella, ja myöhemmät teoriat johdetaan loogisella konstruktiolla.
Tämä selitetään seuraavasti: on sanoja ja käsitteitä, jotkamääritellään muilla termeillä. Tämän seurauksena tutkijat tulivat siihen tulokseen, että on perusteltuja ja pysyviä perusjohtopäätöksiä - perus, eli aksioomit. Esimerkiksi lausetta todistaessaan he yleensä tukeutuvat jo vakiintuneisiin tosiasioihin, eivätkä vaadi kumoamista.
Ennen sitä ne piti kuitenkin perustella. Prosessissa käy ilmi, että perusteeton väite otetaan aksioomaksi. Vakiokäsitteiden joukon perusteella todistetaan muita lauseita. Ne muodostavat planimetrian perustan ja ovat geometrian looginen rakenne. Tämän tieteen vakiintuneet aksioomit määritellään minkä tahansa luonteisiksi kohteiksi. Niillä puolestaan on ominaisuuksia, jotka on määritelty vakiokäsitteissä.
Aksioomien lisätutkimus
Menetelmää pidettiin ihanteellisena 1800-luvulle asti. Peruskäsitteiden etsimisen loogisia keinoja ei tuohon aikaan tutkittu, mutta Euklidisessa järjestelmässä voidaan havaita rakenne, jolla aksiomaattisesta menetelmästä saadaan merkityksellisiä seurauksia. Tiedemiehen tutkimus osoitti ajatuksen siitä, kuinka saada täydellinen geometrisen tiedon järjestelmä, joka perustuu puhtaasti deduktiiviseen polkuun. Heille tarjottiin suhteellisen pieni määrä väitettyjä aksioomia, jotka ovat todistetusti totta.
Muinaisen kreikkalaisen mielen ansio
Eukleides osoitti monia käsitteitä, ja jotkut niistä olivat perusteltuja. Suurin osa kuitenkin pitää nämä ansiot Pythagoraksen, Demokritoksen ja Hippokrateen ansioissa. Jälkimmäinen laati täydellisen geometrian kurssin. Totta, myöhemmin Aleksandriassa ilmestyikokoelma "Alku", jonka kirjoittaja oli Euclid. Sitten se nimettiin uudelleen "Elementary Geometryksi". Jonkin ajan kuluttua he alkoivat arvostella häntä useista syistä:
- kaikki arvot rakennettiin vain viivaimella ja kompassilla;
- geometria ja aritmetiikka erotettiin ja todistettiin kelvollisilla luvuilla ja käsitteillä;
- aksioomia, joista osa, erityisesti viides postulaatti, ehdotettiin poistettavaksi yleisestä luettelosta.
Tämän seurauksena 1800-luvulla ilmaantuu ei-euklidinen geometria, jossa ei ole objektiivisesti totta postulaattia. Tämä toiminta antoi sysäyksen geometrisen järjestelmän kehittämiselle. Näin matemaattiset tutkijat päätyivät deduktiivisiin rakennusmenetelmiin.
Aksioomiin perustuvan matemaattisen tiedon kehittäminen
Kun uusi geometriajärjestelmä alkoi kehittyä, myös aksiomaattinen menetelmä muuttui. Matematiikassa he alkoivat kääntyä useammin puhtaasti deduktiiviseen teoriakonstruktioon. Tämän seurauksena modernissa numeerisessa logiikassa, joka on kaiken tieteen pääosa, on syntynyt kokonainen todistusjärjestelmä. Matemaattisessa rakenteessa alkoi ymmärtää perustelun tarve.
Siksi vuosisadan loppuun mennessä muodostui selkeät tehtävät ja monimutkaisten käsitteiden rakentaminen, jotka monimutkaisesta lauseesta pelkistettiin yksinkertaisimpaan loogiseen lauseeseen. Siten ei-euklidinen geometria loi vankan perustan aksiomaattisen menetelmän olemassaololle, samoin kuin yleisluonteisten ongelmien ratkaisemiselle.matemaattiset rakenteet:
- johdonmukaisuus;
- täytelmä;
- itsenäisyys.
Prosessin aikana syntyi tulkintamenetelmä, jota kehitettiin menestyksekkäästi. Tätä menetelmää kuvataan seuraavasti: kullekin teorian tuloskonseptille asetetaan matemaattinen objekti, jonka kokonaisuutta kutsutaan kentällä. Määriteltyjä elementtejä koskeva väite voi olla epätosi tai tosi. Tämän seurauksena lausunnot nimetään päätelmien mukaan.
Tulkintateorian piirteitä
Pääsääntöisesti kenttä ja ominaisuudet huomioidaan myös matemaattisessa järjestelmässä, ja se puolestaan voi muuttua aksiomaattiseksi. Tulkinta todistaa väitteet, joissa on suhteellista johdonmukaisuutta. Lisävaihtoehtona on joukko tosiasioita, joissa teoria tulee ristiriitaiseksi.
Itse asiassa ehto täyttyy joissakin tapauksissa. Tämän seurauksena käy ilmi, että jos yhden lausunnon lausumissa on kaksi väärää tai totta käsitettä, sitä pidetään negatiivisena tai positiivisena. Tätä menetelmää käytettiin todistamaan Euklidesin geometrian johdonmukaisuus. Tulkintamenetelmällä voidaan ratkaista kysymys aksioomijärjestelmien riippumattomuudesta. Jos jokin teoria pitää kumota, riittää, kun todistetaan, että yksi käsitteistä ei ole johdettu toisesta ja on virheellinen.
Menetelillä on kuitenkin onnistuneiden lausuntojen ohella myös heikkouksia. Aksioomijärjestelmien johdonmukaisuus ja riippumattomuus ratkaistaan kysymyksinä, jotka saavat suhteellisia tuloksia. Ainoa tärkeä tulkinnan saavutus onaritmetiikan roolin löytäminen rakenteena, jossa kysymys johdonmukaisuudesta rajoittuu useisiin muihin tieteisiin.
Aksiomaattisen matematiikan nykyaikainen kehitys
Aksiomaattinen menetelmä alkoi kehittyä Gilbertin työssä. Hänen koulussaan selvitettiin itse teorian ja muodollisen järjestelmän käsite. Tuloksena syntyi yleinen järjestelmä ja matemaattiset kohteet tarkentuivat. Lisäksi oli mahdollista ratkaista perustelukysymykset. Näin ollen muodollisen järjestelmän muodostaa tarkka luokka, joka sisältää kaavojen ja lauseiden osajärjestelmiä.
Tämän rakenteen rakentamiseksi tarvitset vain teknisen mukavuuden, koska niillä ei ole semanttista kuormaa. Niihin voidaan kirjoittaa merkkejä, symboleja. Eli itse järjestelmä on rakennettu siten, että muodollista teoriaa voidaan soveltaa riittävästi ja täydellisesti.
Tämän seurauksena tietty matemaattinen tavoite tai tehtävä kaadetaan teoriaksi, joka perustuu tosiasiasisältöön tai deduktiiviseen päättelyyn. Numeerisen tieteen kieli siirtyy muodolliseen järjestelmään, prosessissa mikä tahansa konkreettinen ja merkityksellinen ilmaisu määräytyy kaavalla.
Formalointimenetelmä
Asioiden luonnollisessa tilassa tällainen menetelmä pystyy ratkaisemaan globaaleja kysymyksiä, kuten johdonmukaisuuden, sekä rakentamaan positiivisen matemaattisten teorioiden olemuksen johdettujen kaavojen mukaisesti. Ja periaatteessa kaikki tämä ratkaistaan muodollisella järjestelmällä, joka perustuu todistettuihin lausuntoihin. Matemaattisia teorioita monimutkaisivat jatkuvasti perustelut jaGilbert ehdotti tämän rakenteen tutkimista äärellisillä menetelmillä. Mutta tämä ohjelma epäonnistui. Gödelin tulokset jo 1900-luvulla johtivat seuraaviin johtopäätöksiin:
- luonnollinen johdonmukaisuus on mahdotonta, koska formalisoitu aritmetiikka tai muu vastaava tiede tästä järjestelmästä on epätäydellinen;
- ratkaisemattomia kaavoja ilmestyi;
- väitteet eivät ole todistettavissa.
Todelliset arviot ja kohtuullinen rajallinen viimeistely katsotaan formalisoitaviksi. Tätä silmällä pitäen aksiomaattisella menetelmällä on tietyt ja selkeät rajat ja mahdollisuudet tässä teoriassa.
Aksioomien kehityksen tuloksia matemaatikoiden töissä
Huolimatta siitä, että jotkin tuomiot on kumottu ja niitä ei ole kehitetty kunnolla, vakiokäsitteiden menetelmällä on merkittävä rooli matematiikan perusteiden muovaamisessa. Lisäksi tulkinta ja aksiomaattinen menetelmä tieteessä ovat paljastaneet johdonmukaisuuden, valinnan riippumattomuuden väitteiden ja hypoteesien perustavanlaatuiset tulokset moniteoriassa.
Johdonmukaisuuskysymystä käsiteltäessä tärkeintä ei ole soveltaa vain vakiintuneita käsitteitä. Niitä on myös täydennettävä ideoilla, käsitteillä ja viimeistelykeinoilla. Tässä tapauksessa otetaan huomioon erilaisia näkemyksiä, menetelmiä, teorioita, joiden looginen merkitys ja perustelut tulee ottaa huomioon.
Formaalisen järjestelmän johdonmukaisuus osoittaa samanlaisen aritmeettisen viimeistelyn, joka perustuu induktioon, laskentaan, äärellisiin lukuihin. Tieteellisesti aksiomatisointi on tärkeintätyökalu, jolla on kiistattomia käsitteitä ja väitteitä, jotka otetaan perustana.
Alkulauseiden olemus ja niiden rooli teorioissa
Aksiomaattisen menetelmän arviointi osoittaa, että jokin rakenne piilee sen olemuksessa. Tämä järjestelmä on rakennettu taustalla olevan käsitteen tunnistamisesta ja määrittelemättömistä perustavanlaatuisista lausunnoista. Sama tapahtuu lauseiden kanssa, joita pidetään alkuperäisinä ja hyväksytään ilman todisteita. Luonnontieteissä tällaisia väitteitä tukevat säännöt, olettamukset, lait.
Sitten tapahtuu vakiintuneiden päättelyperusteiden vahvistamisprosessi. Yleensä ilmoitetaan heti, että yhdestä paikasta päätetään toinen, ja prosessissa loput tulevat ulos, mikä pohjimmiltaan osuu yhteen deduktiivisen menetelmän kanssa.
Järjestelmän ominaisuudet nykyaikana
Aksiomaattinen järjestelmä sisältää:
- loogiset johtopäätökset;
- termit ja määritelmät;
- osittain virheellisiä väitteitä ja käsitteitä.
Nykyaikaisessa tieteessä tämä menetelmä on menettänyt abstraktisuutensa. Euklidinen geometrinen aksiomatisointi perustui intuitiivisiin ja todellisiin väitteisiin. Ja teoria tulkittiin ainutlaatuisella, luonnollisella tavalla. Nykyään aksiooma on säännös, joka on itsestään selvä, ja sopimus ja mikä tahansa sopimus voivat toimia alustavana käsitteenä, joka ei vaadi perusteluja. Tämän seurauksena alkuperäiset arvot voivat olla kaukana kuvailevista. Tämä menetelmä vaatii luovuutta, tietoa suhteista ja taustalla olevasta teoriasta.
Johtopäätösten tekemisen perusperiaatteet
Deduktiivisesti aksiomaattinen menetelmä on tietyn kaavion mukaan rakennettu tieteellinen tieto, joka perustuu oikein toteutuneisiin hypoteeseihin, johtaen väitteitä empiirisista faktoista. Tällainen johtopäätös on rakennettu loogisten rakenteiden pohjalle kovalla johdolla. Aksioomit ovat alun perin kiistämättömiä väitteitä, jotka eivät vaadi todisteita.
Välityksen aikana alkukäsitteisiin sovelletaan tiettyjä vaatimuksia: johdonmukaisuus, täydellisyys, riippumattomuus. Kuten käytäntö osoittaa, ensimmäinen ehto perustuu muodolliseen loogiseen tietoon. Toisin sanoen teorialla ei pitäisi olla totuuden ja valheen merkityksiä, koska sillä ei enää ole merkitystä ja arvoa.
Jos tämä ehto ei täyty, sitä pidetään yhteensopimattomana ja siinä menetetään kaikki merkitys, koska totuuden ja valheen välinen semanttinen kuorma menetetään. Deduktiivisesti aksiomaattinen menetelmä on tapa rakentaa ja perustella tieteellistä tietoa.
Menetelmän käytännön sovellus
Aksiomaattisella tieteellisen tiedon rakentamismenetelmällä on käytännön sovellus. Itse asiassa tämä tapa vaikuttaa ja sillä on globaali merkitys matematiikassa, vaikka tämä tieto on jo saavuttanut huippunsa. Esimerkkejä aksiomaattisesta menetelmästä ovat seuraavat:
- affinisissa tasoissa on kolme lausetta ja määritelmä;
- ekvivalenssiteorialla on kolme todistetta;
- binäärisuhteet on jaettu määritelmien, käsitteiden ja lisätehtävien järjestelmään.
Jos haluat muotoilla alkuperäisen merkityksen, sinun on tiedettävä joukkojen ja elementtien luonne. Pohjimmiltaan aksiomaattinen menetelmä muodosti perustan useille tieteenaloille.
