Polyhedrat eivät vain ole merkittävällä paikalla geometriassa, vaan niitä esiintyy myös jokaisen ihmisen jokapäiväisessä elämässä. Puhumattakaan keinotekoisesti luoduista taloustavaroista eri monikulmioiden muodossa, alkaen tulitikkurasiasta ja päättyen arkkitehtonisiin elementteihin, kuution (suola), prisman (kide), pyramidin (scheeliitti), oktaedrin (timantin) muodossa, jne. e.
Moniedrin käsite, monitahojen tyypit geometriassa
Geometria tieteenä sisältää stereometrian osan, joka tutkii kolmiulotteisten kuvioiden ominaisuuksia ja ominaisuuksia. Geometrisiä kappaleita, joiden sivut kolmiulotteisessa avaruudessa muodostavat rajalliset tasot (pinnat), kutsutaan "polyhedreiksi". Polyhedratyypeissä on yli tusina edustajaa, jotka eroavat kasvojen lukumäärän ja muodon suhteen.
Kaikilla polyhedreillä on kuitenkin yhteisiä ominaisuuksia:
- Niissä kaikissa on 3 olennaista osaa: kasvot(monikulmion pinta), kärki (pintojen risteyskohtaan muodostuneet kulmat), reuna (kuvan tai janan sivu, joka muodostuu kahden pinnan risteyksessä).
- Jokainen monikulmion reuna yhdistää kaksi ja vain kaksi vierekkäistä pintaa.
- Kuperuus tarkoittaa, että vartalo sijaitsee kokonaan vain toisella puolella sitä tasoa, jolla toinen kasvoista sijaitsee. Sääntö pätee monitahoisen kaikkiin pintoihin. Tällaisia stereometrian geometrisia kuvioita kutsutaan kuperaksi monitahoksi. Poikkeuksena ovat tähden muotoiset polyhedrat, jotka ovat säännöllisten monitahoisten geometristen kiintoaineiden johdannaisia.
Polyhedrat voidaan jakaa ehdollisesti:
- Kuperien monitahojen tyyppejä, jotka koostuvat seuraavista luokista: tavallinen tai klassinen (prisma, pyramidi, suuntaissärmiö), säännöllinen (kutsutaan myös platonisiksi kappaleiksi), puolisäännölliset (toinen nimi - Arkhimedoksen kiinteät aineet).
- Ei-kupera polyhedra (tähden muotoinen).
Prisma ja sen ominaisuudet
Stereometria geometrian haarana tutkii kolmiulotteisten hahmojen ominaisuuksia, polyhedratyyppejä (prisma on yksi niistä). Prisma on geometrinen kappale, jolla on välttämättä kaksi täysin identtistä pintaa (niitä kutsutaan myös kantaviksi), jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja n:s lukumäärä sivupintoja suunnikkaiden muodossa. Prismassa puolestaan on myös useita lajikkeita, mukaan lukien seuraavat polyhedratyypit:
- Rinnakkaisputki - muodostetaan, jos kanta on suunnikas -monikulmio, jossa on 2 paria yhtä suuria vastakkaisia kulmia ja 2 paria yhteneviä vastakkaisia sivuja.
- Suorassa prismassa on reunat kohtisuorassa kantaan nähden.
- Kallistettu prisma on ominaista ei-suoraan kulmaan (muut kuin 90) pintojen ja pohjan välillä.
- Säännölliselle prismalle on tunnusomaista kantat, jotka ovat säännöllisen monikulmion muodossa, joilla on yhtäläiset sivupinnat.
Prisman perusominaisuudet:
- Yhdenmukaiset perusteet.
- Kaikki prisman reunat ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset toistensa kanssa.
- Kaikki sivupinnat ovat suunnikkaan muotoisia.
Pyramidi
Pyramidi on geometrinen kappale, joka koostuu yhdestä pohjasta ja n:nnestä määrästä kolmiomaisia pintoja, jotka on yhdistetty yhteen pisteeseen - huipulle. On huomattava, että jos pyramidin sivupinnat on välttämättä esitetty kolmioilla, niin pohja voi olla joko kolmion muotoinen monikulmio, nelikulmio tai viisikulmio ja niin edelleen loputtomiin. Tässä tapauksessa pyramidin nimi vastaa pohjassa olevaa monikulmiota. Esimerkiksi, jos kolmio on pyramidin pohjalla, se on kolmiopyramidi, nelikulmio on nelikulmainen jne.
Pyramidit ovat kartiomaisia monitahoisia. Tämän ryhmän polyhedratyyppeihin kuuluu edellä lueteltujen lisäksi myös seuraavat edustajat:
- Säännöllisen pyramidin pohjassa on säännöllinen monikulmio ja sen korkeus projisoidaan keskelleympyrä, joka on piirretty pohjaan tai sen ympärille.
- Suorakaiteen muotoinen pyramidi muodostuu, kun yksi sivureunoista leikkaa pohjan suorassa kulmassa. Tässä tapauksessa on myös reilua kutsua tätä reunaa pyramidin korkeudeksi.
Pyramidin ominaisuudet:
- Jos pyramidin kaikki sivureunat ovat yhteneväisiä (saman korkeita), ne kaikki leikkaavat pohjan kanssa samassa kulmassa ja pohjan ympärille voit piirtää ympyrän, jonka keskipiste osuu yhteen pyramidin projektion kanssa. pyramidin huippu.
- Jos pyramidin kanta on säännöllinen monikulmio, niin kaikki sivureunat ovat yhteneväisiä ja pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.
Säännöllinen polyhedron: monitahojen tyypit ja ominaisuudet
Stereometriassa erityinen paikka on geometrisilla kappaleilla, joilla on ehdottoman tasapinnat ja joiden kärjessä on yhdistetty sama määrä reunoja. Näitä kiinteitä aineita kutsutaan platonisiksi kiintoaineiksi tai säännöllisiksi monitahoiksi. Tällaisia ominaisuuksia omaavilla polyhedratyypeillä on vain viisi muotoa:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- dodekaedri.
- Icosahedron.
Säännölliset polyhedrat antavat nimensä antiikin kreikkalaiselle filosofille Platonille, joka kuvaili näitä geometrisia kappaleita kirjoituksissaan ja liitti ne luonnon elementteihin: maahan, veteen, tuleen, ilmaan. Viides hahmo palkittiin samank altaisuudesta maailmankaikkeuden rakenteen kanssa. Hänen mielestään luonnollisten alkuaineiden atomit muistuttavat muodoltaan säännöllisiä polyhedraja. Jännittävimmän ominaisuutensa ansiosta -symmetrian vuoksi nämä geometriset kappaleet kiinnostavat paitsi muinaisia matemaatikoita ja filosofeja myös kaikkien aikojen arkkitehtejä, taiteilijoita ja kuvanveistäjiä. Vain 5 absoluuttisen symmetrian omaavien polyhedratyyppien läsnäoloa pidettiin perustavanlaatuisena löytönä, ja niille myönnettiin jopa yhteys jumalalliseen periaatteeseen.
Heksaedri ja sen ominaisuudet
Platonin seuraajat olettivat kuusikulmion muodossa samank altaisuuden maan atomien rakenteen kanssa. Tietysti tällä hetkellä tämä hypoteesi on täysin kumottu, mikä ei kuitenkaan estä hahmoja houkuttelemasta kuuluisien hahmojen mieliä estetiikassaan nykyaikana.
Geometriassa heksaedria, joka tunnetaan myös kuutiona, pidetään suuntaissärmiön erikoistapauksena, joka puolestaan on eräänlainen prisma. Vastaavasti kuution ominaisuudet liittyvät prisman ominaisuuksiin, ainoana erona on, että kuution kaikki pinnat ja kulmat ovat yhtä suuret. Tästä seuraavat seuraavat ominaisuudet:
- Kaikki kuution reunat ovat yhteneväisiä ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa toistensa suhteen.
- Kaikki kasvot ovat yhteneväisiä neliöitä (kuutiossa on yhteensä 6), joista mikä tahansa voidaan ottaa pohjana.
- Kaikki liitäntäkulmat ovat 90.
- Jokaisesta kärjestä tulee yhtä suuri määrä reunoja, nimittäin 3.
- Kuutiossa on 9 symmetria-akselia, jotka kaikki leikkaavat heksaedrin diagonaalien leikkauspisteessä, jota kutsutaan symmetriakeskukseksi.
Tetrahedron
Tetraedri on tetraedri, jonka pinnat ovat yhtä suuret kolmioiden muodossa, joiden kukin kärki onon kolmen pinnan risteyspiste.
Säännöllisen tetraedrin ominaisuudet:
- Tetraedrin kaikki pinnat ovat tasasivuisia kolmioita, mikä tarkoittaa, että tetraedrin kaikki pinnat ovat yhteneväisiä.
- Koska kantaa edustaa säännöllinen geometrinen kuvio, eli sillä on yhtä suuret sivut, tetraedrin pinnat suppenevat samassa kulmassa, eli kaikki kulmat ovat yhtä suuret.
- Tasaisten kulmien summa kussakin kärjessä on 180, koska kaikki kulmat ovat yhtä suuret, silloin mikä tahansa säännöllisen tetraedrin kulma on 60.
- Jokainen kärki projisoidaan vastakkaisen (ortosenterisen) pinnan korkeuksien leikkauspisteeseen.
Oktaedri ja sen ominaisuudet
Säännöllisten monitahojen tyyppejä kuvattaessa ei voi jättää huomioimatta sellaista esinettä kuin oktaedri, joka voidaan visuaalisesti esittää kahtena nelikulmaisena säännöllisenä pyramidina, jotka on liimattu yhteen kannan kanssa.
Oktaedrin ominaisuudet:
- Geometrisen kappaleen nimi kertoo sen pintojen lukumäärän. Oktaedri koostuu kahdeksasta yhteneväisestä tasasivuisesta kolmiosta, joiden jokaisessa kärjessä yhtä monta pintaa konvergoi, nimittäin 4.
- Koska oktaedrin kaikki pinnat ovat yhtä suuret, myös sen rajapintakulmat ovat yhtä suuret, joista jokainen on yhtä suuri kuin 60, ja minkä tahansa kärjen tasokulmien summa on siis 240.
Dodekaedri
Jos kuvittelemme, että geometrisen kappaleen kaikki pinnat ovat säännöllisiä viisikulmioita, saamme dodekaedrin -12 monikulmion luku.
Dodekaedrin ominaisuudet:
- Kolme pintaa leikkaavat kussakin kärjessä.
- Kaikki pinnat ovat samanarvoisia ja niillä on sama reunan pituus ja sama pinta-ala.
- Dodekaedrissa on 15 akselia ja symmetriatasoa, ja mikä tahansa niistä kulkee kasvojen kärjen ja vastakkaisen reunan keskikohdan läpi.
Icosahedron
Ei vähemmän kiinnostava kuin dodekaedri, ikosaedrin hahmo on kolmiulotteinen geometrinen kappale, jossa on 20 yhtä suurta pintaa. Säännöllisen kaksikymmentäheedrin ominaisuuksista voidaan mainita seuraavat:
- Kaikki ikosaedrin pinnat ovat tasakylkisiä kolmioita.
- Viisi pintaa konvergoi monitahoisen jokaisessa kärjessä, ja kärjen vierekkäisten kulmien summa on 300.
- Ikosaedrilla, kuten dodekaedrilla, on 15 akselia ja symmetriatasoa, jotka kulkevat vastakkaisten pintojen keskipisteiden läpi.
Puolisäännölliset polygonit
Platonisten kiinteiden aineiden lisäksi kuperoiden monitahoisten aineiden ryhmään kuuluvat myös Arkhimedoksen kiintoaineet, jotka ovat katkaistuja säännöllisiä monitahoja. Tämän ryhmän polyhedratyypeillä on seuraavat ominaisuudet:
- Geometrisilla kappaleilla on pareittain yhtä suuret pinnat useita eri tyyppejä, esimerkiksi katkaistulla tetraedrillä on 8 pintaa, kuten tavallisella tetraedrillä, mutta Arkhimedeen kappaleen tapauksessa 4 pintaa on kolmion muotoisia ja 4 kuusikulmaisia.
- Yhden kärjen kaikki kulmat ovat yhteneväisiä.
Tähtipolyhedra
Ei-volumetristen geometristen kappaleiden edustajat ovat tähtikuvioita, joiden pinnat leikkaavat toisensa. Ne voidaan muodostaa yhdistämällä kaksi säännöllistä 3D-kappaletta tai laajentamalla niiden pintaa.
Tällaiset tähtikuvioiset polyhedrat tunnetaan siis seuraavasti: oktaedrin tähtimuodot, dodekaedri, ikosaedri, kuboktaedri, ikosododekaedri.
