Maclaurin-sarja ja joidenkin toimintojen laajennus

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Korkeamman matematiikan opiskelijoiden tulee huomioida, että joidenkin tietyn sarjan konvergenssiväliin kuuluvien potenssisarjojen summa osoittautuu jatkuvaksi ja rajattoman monta kertaa differentioituneeksi funktioksi. Herää kysymys: onko mahdollista väittää, että annettu mieliv altainen funktio f(x) on jonkin potenssisarjan summa? Eli missä olosuhteissa funktio f(x) voidaan esittää potenssisarjalla? Tämän kysymyksen tärkeys on siinä, että funktio f(x) voidaan likimäärin korvata potenssisarjan muutaman ensimmäisen termin summalla eli polynomilla. Tällainen funktion korvaaminen melko yksinkertaisella lausekkeella - polynomilla - on kätevää myös ratkaistaessa joitain matemaattisen analyysin ongelmia, nimittäin: ratkaistaessa integraaleja, laskettaessa differentiaaliyhtälöitä jne.

On todistettu, että jollekin funktiolle f(х), jossa (n+1) kertaluvun derivaatat, viimeinen mukaan lukien, voidaan laskea naapurustossa (α _{- R; x}0 _{+ R) jostain pisteestä x=α kaava on voimassa:}

Tämä kaava on nimetty kuuluisan tiedemiehen Brook Taylorin mukaan. Sarjaa, joka on saatu edellisestä, kutsutaan Maclaurin-sarjaksi:

Sääntö, joka mahdollistaa laajentamisen Maclaurin-sarjassa:

1. Määritä ensimmäisen, toisen, kolmannen… tilauksen johdannaiset.
2. Laske, mitä derivaatat kohdassa x=0 ovat yhtä suuret.
3. Tallenna Maclaurin-sarja tälle funktiolle ja määritä sitten sen lähentymisväli.
4. Määritä väli (-R;R), jossa Maclaurinin kaavan loppuosa

R (x) -> 0 n -> äärettömälle. Jos sellainen on olemassa, siinä olevan funktion f(x) on oltava sama kuin Maclaurin-sarjan summa.

Ajattele nyt Maclaurin-sarjaa yksittäisille toiminnoille.

1. Joten ensimmäinen on f(x)=e^x. Tietysti ominaisuuksiensa mukaan tällaisella funktiolla on eri asteisia derivaattoja, ja f^(k)(x)=e^x, missä k on kaikki luonnolliset luvut. Korvataan x=0. Saamme f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{näyttäisi tältä:}

2. Maclaurin-sarja funktiolle f(x)=sin x. Selvitä välittömästi, että kaikkien tuntemattomien funktiolla on derivaatat, paitsi f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), jossa k on yhtä suuri kuin mikä tahansa luonnollinen luku. Eli yksinkertaisten laskelmien tekemisen jälkeen voimme päätellä, että sarja f(x)=sin x näyttää tältä:}

3. Yritetään nyt tarkastella funktiota f(x)=cos x. Hän on kaikille tuntemattomilleon mieliv altaisen järjestyksen johdannaisia, ja |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Laskelmien jälkeen saadaan jälleen, että sarja f(x)=cos x näyttää tältä:

Olemme siis listanneet tärkeimmät toiminnot, joita voidaan laajentaa Maclaurin-sarjassa, mutta niitä on täydennetty Taylor-sarjalla joidenkin toimintojen os alta. Nyt luettelemme ne. On myös syytä huomata, että Taylor- ja Maclaurin-sarjat ovat tärkeä osa korkeamman matematiikan sarjanratkaisukäytäntöä. Joten, Taylor-sarja.

1. Ensimmäinen on sarja f-ii:lle f(x)=ln(1+x). Kuten edellisissä esimerkeissä, kun meille annetaan f (x)=ln (1 + x), voimme lisätä sarjan käyttämällä Maclaurin-sarjan yleistä muotoa. kuitenkin tätä toimintoa varten Maclaurin-sarja voidaan saada paljon yksinkertaisemmin. Kun on integroitu tietty geometrinen sarja, saadaan sarja tämän näytteen f(x)=ln(1+x):lle:

2. Ja toinen, joka on artikkelissamme lopullinen, on sarja f (x) u003d arctg x. Väliin [-1;1] kuuluvalle x:lle laajennus on voimassa:

Siinä se on. Tässä artikkelissa tarkasteltiin yleisimmin käytettyjä Taylor- ja Maclaurin-sarjoja korkeammassa matematiikassa, erityisesti talous- ja teknisissä yliopistoissa.