Monet, jotka kohtaavat "todennäköisyysteorian" käsitteen, ovat peloissaan ja ajattelevat, että tämä on jotain ylivoimaista, hyvin monimutkaista. Mutta se ei todellakaan ole niin traagista. Tänään tarkastelemme todennäköisyysteorian peruskäsitettä, opimme ratkaisemaan ongelmia tiettyjen esimerkkien avulla.
Tiede
Mitä sellainen matematiikan haara kuin "todennäköisyysteoria" tutkii? Se panee merkille satunnaisten tapahtumien ja määrien kuviot. Ensimmäistä kertaa tiedemiehet kiinnostuivat tästä asiasta 1700-luvulla, kun he tutkivat uhkapelejä. Todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma. Se on mikä tahansa kokemuksella tai havainnolla todettu tosiasia. Mutta mitä on kokemus? Toinen todennäköisyysteorian peruskäsite. Se tarkoittaa, että tätä olosuhteiden koostumusta ei luotu sattum alta, vaan tiettyyn tarkoitukseen. Mitä tulee havaintoon, tässä tutkija itse ei osallistu kokeeseen, vaan on yksinkertaisesti näiden tapahtumien todistaja, hän ei vaikuta tapahtuvaan millään tavalla.
Tapahtumat
Opimme, että todennäköisyysteorian peruskäsite on tapahtuma, mutta emme ottaneet huomioon luokitusta. Kaikki ne on jaettu seuraaviin luokkiin:
- Luotettava.
- Mahdotonta.
- Satunnainen.
Ei väliäMillaisia tapahtumia havaitaan tai syntyy kokemuksen aikana, ne kaikki kuuluvat tämän luokituksen piiriin. Tarjoamme jokaiseen lajiin tutustumisen erikseen.
Tietty tapahtuma
Tämä on tilanne, jota ennen on toteutettu tarvittavat toimenpiteet. Ymmärtääksesi paremmin olemuksen, on parempi antaa muutama esimerkki. Fysiikka, kemia, taloustiede ja korkeampi matematiikka ovat tämän lain alaisia. Todennäköisyysteoria sisältää niin tärkeän käsitteen kuin tietty tapahtuma. Tässä muutamia esimerkkejä:
- Työskentelemme ja saamme palkkaa palkan muodossa.
- Läpäisimme kokeet hyvin, läpäisimme kilpailun, tästä saamme palkinnon oppilaitokseen pääsynä.
- Sijotimme rahaa pankkiin, saamme ne takaisin tarvittaessa.
Tällaiset tapahtumat ovat luotettavia. Jos olemme täyttäneet kaikki vaadittavat ehdot, saamme varmasti odotetun tuloksen.
Mahdottomia tapahtumia
Nyt tarkastelemme todennäköisyysteorian elementtejä. Ehdotamme siirtymistä seuraavan tyyppisen tapahtuman, nimittäin mahdottoman, selittämiseen. Ensin määritellään tärkein sääntö - mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.
Tästä sanamuodosta ei voi poiketa ongelmia ratkaistaessa. Selvyyden vuoksi tässä on esimerkkejä tällaisista tapahtumista:
- Vesi jäätyi pluskymmeneen (se on mahdotonta).
- Sähkön puute ei vaikuta tuotantoon millään tavalla (yhtä mahdotonta kuin edellisessä esimerkissä).
Lisää esimerkkejäSitä ei kannata mainita, koska yllä kuvatut heijastavat erittäin selvästi tämän luokan olemusta. Mahdoton tapahtuma ei koskaan tapahdu kokemuksen aikana missään olosuhteissa.
Satunnaiset tapahtumat
Todennäköisyysteorian elementtejä tutkiessa tulee kiinnittää erityistä huomiota tähän tapahtumatyyppiin. Sitä tiede tutkii. Kokemuksen seurauksena jotain voi tapahtua tai ei. Lisäksi testi voidaan toistaa rajoittamattoman määrän kertoja. Eläviä esimerkkejä ovat:
- Kolikon heittäminen on kokemus tai testi, otsikko on tapahtuma.
- Pallon vetäminen sokeasti pussista on testi, punaisen pallon kiinni jääminen on tapahtuma ja niin edelleen.
Tällaisia esimerkkejä voi olla rajoittamaton määrä, mutta yleisesti ottaen olemuksen pitäisi olla selvä. Tapahtumista saadun tiedon tiivistämiseksi ja systematisoimiseksi annetaan taulukko. Todennäköisyysteoria tutkii vain viimeistä tyyppiä kaikista esitetyistä.
| title | määritelmä | esimerkki |
| Luotettava | Tapahtumat, jotka tapahtuvat 100 %:n takuulla tietyissä olosuhteissa. | Pääsy oppilaitokseen hyvällä pääsykokeella. |
| Mahdotonta | Tapahtumia, joita ei koskaan tapahdu missään olosuhteissa. | Lumi sataa yli kolmekymmentä celsiusastetta. |
| Satunnainen | Tapahtuma, joka voi tapahtua tai ei ilmene kokeen/testin aikana. | Lyö tai missaa koripalloa heittäessäsi vanteeseen. |
Lait
Todennäköisyysteoria on tiede, joka tutkii tapahtuman mahdollisuutta. Kuten muillakin, sillä on joitain sääntöjä. On olemassa seuraavat todennäköisyysteorian lait:
- Satunnaismuuttujien sekvenssien konvergenssi.
- Suurten lukujen laki.
Kun lasket kompleksin mahdollisuutta, voit käyttää yksinkertaisten tapahtumien kompleksia saavuttaaksesi tuloksen helpommin ja nopeammin. Huomaa, että todennäköisyysteorian lait on helppo todistaa joidenkin lauseiden avulla. Aloitetaan ensimmäisestä laista.
Satunnaismuuttujien sekvenssien konvergenssi
Huomaa, että konvergenssityyppejä on useita:
- Satunnaismuuttujien sarja konvergoi todennäköisyydellä.
- Melkein mahdotonta.
- RMS-konvergenssi.
- Konvergenssi jakelussa.
Joten, lennossa on erittäin vaikea päästä asian ytimeen. Tässä on joitakin määritelmiä, jotka auttavat sinua ymmärtämään tätä aihetta. Aloitetaan ensimmäisestä katseesta. Jonoa kutsutaan todennäköisyydellä suppenevaksi, jos seuraava ehto täyttyy: n pyrkii äärettömään, luku, johon sekvenssi pyrkii, on suurempi kuin nolla ja lähellä yhtä.
Seuraavaan näkymään siirtyminen, melkein varmasti. He sanovat ettäsekvenssi konvergoi lähes varmasti satunnaismuuttujaan, jossa n pyrkii äärettömyyteen ja P pyrkii arvoon, joka on lähellä yhtä.
Seuraava tyyppi on keskiarvo-neliökonvergenssi. SC-konvergenssia käytettäessä vektorisatunnaisprosessien tutkimus pelkistyy niiden koordinaattisatunnaisprosessien tutkimiseen.
Jäljelle jää viimeinen tyyppi, katsotaanpa sitä lyhyesti, jotta voimme edetä suoraan ongelmien ratkaisemiseen. Jakelun konvergenssilla on toinen nimi - "heikko", selitämme miksi alla. Heikko konvergenssi on jakaumafunktioiden konvergenssi rajajakaumafunktion kaikissa jatkuvuuspisteissä.
Pidä lupaus: heikko konvergenssi eroaa kaikesta edellä mainitusta siinä, että satunnaismuuttujaa ei ole määritelty todennäköisyysavaruudessa. Tämä on mahdollista, koska ehto muodostetaan yksinomaan jakelufunktioiden avulla.
Suurten lukujen laki
Erittäin auttajia tämän lain todistamisessa ovat todennäköisyysteorian lauseet, kuten:
- Tšebyshevin eriarvoisuus.
- Tšebyševin lause.
- Yleistetty Tšebyševin lause.
- Markovin lause.
Jos tarkastelemme kaikkia näitä lauseita, tämä kysymys voi kestää useita kymmeniä arkkeja. Päätehtävänämme on soveltaa todennäköisyysteoriaa käytännössä. Kutsumme sinut tekemään tämän juuri nyt. Mutta ennen sitä tarkastellaan todennäköisyysteorian aksioomia, ne ovat tärkeimpiä avustajia ongelmien ratkaisemisessa.
Aksioomit
Tapasimme jo ensimmäisen, kun puhuimme mahdottomasta tapahtumasta. Muistakaamme: mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla. Annoimme erittäin elävän ja mieleenpainuvan esimerkin: lunta satoi kolmenkymmenen celsiusasteen lämpötilassa.
Toinen kuulostaa tältä: luotettava tapahtuma tapahtuu todennäköisyydellä yksi. Nyt näytetään kuinka se kirjoitetaan matemaattisella kielellä: P(B)=1.
Kolmas: Satunnainen tapahtuma voi tapahtua tai ei, mutta mahdollisuus vaihtelee aina nollasta yhteen. Mitä lähempänä arvo on yhtä, sitä suurempi mahdollisuus; jos arvo lähestyy nollaa, todennäköisyys on hyvin pieni. Kirjoitetaan tämä matemaattisella kielellä: 0<Р(С)<1.
Otetaan huomioon viimeinen, neljäs aksiooma, joka kuulostaa tältä: kahden tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa. Kirjoitamme matemaattisella kielellä: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Todennäköisyysteorian aksioomat ovat yksinkertaisimmat säännöt, jotka on helppo muistaa. Yritetään ratkaista joitakin ongelmia jo hankitun tiedon perusteella.
Lottolippu
Mieti ensin yksinkertaisin esimerkki - arpajaiset. Kuvittele, että ostit yhden arpalipun onnea varten. Mikä on todennäköisyys, että voitat vähintään kaksikymmentä ruplaa? Kaikkiaan kiertoon osallistuu tuhat lippua, joista yhden palkintona on viisisataa ruplaa, kymmenen sata ruplaa, viisikymmentä kaksikymmentä ruplaa ja sata viisi ruplaa. Todennäköisyysteorian ongelmat perustuvat mahdollisuuden löytämiseenonnea. Nyt analysoimme yhdessä yllä esitetyn tehtävän ratkaisua.
Jos merkitsemme kirjaimella A viidensadan ruplan voittoa, niin todennäköisyys saada A on 0,001. Miten saimme sen? Sinun tarvitsee vain jakaa "onnekkaiden" lippujen määrä niiden kokonaismäärällä (tässä tapauksessa: 1/1000).
B on sadan ruplan voitto, todennäköisyys on 0,01. Nyt toimimme samalla periaatteella kuin edellisessä toiminnassa (10/1000)
C - voitot ovat kaksikymmentä ruplaa. Etsi todennäköisyys, se on 0,05.
Muut liput eivät kiinnosta meitä, koska niiden palkintorahasto on pienempi kuin ehdossa mainittu. Sovelletaan neljättä aksioomaa: Todennäköisyys voittaa vähintään kaksikymmentä ruplaa on P(A)+P(B)+P(C). Kirjain P tarkoittaa tämän tapahtuman todennäköisyyttä, olemme jo löytäneet ne edellisissä vaiheissa. On vain lisättävä tarvittavat tiedot, vastauksessa saamme 0, 061. Tämä numero on vastaus tehtävän kysymykseen.
Korttipakka
Todennäköisyysteorian ongelmat voivat olla monimutkaisempia, ota esimerkiksi seuraava tehtävä. Ennen sinua on kolmenkymmenenkuuden kortin pakka. Sinun tehtäväsi on nostaa kaksi korttia peräkkäin sekoittamatta pinoa, ensimmäisen ja toisen kortin tulee olla ässää, maalla ei ole väliä.
Määritetään ensin todennäköisyys, että ensimmäinen kortti on ässä. Tätä varten jaetaan neljä kolmellakymmenelläkuudella. He laittoivat sen sivuun. Otamme toisen kortin, se on ässä, jonka todennäköisyys on kolme 3/5. Toisen tapahtuman todennäköisyys riippuu siitä, minkä kortin vedimme ensin, olemme kiinnostuneitaoliko se ässä vai ei. Tästä seuraa, että tapahtuma B riippuu tapahtumasta A.
Seuraava askel on löytää samanaikaisen toteutuksen todennäköisyys, eli kerrotaan A ja B. Niiden tulo saadaan seuraavasti: yhden tapahtuman todennäköisyys kerrotaan toisen ehdollisella todennäköisyydellä, jonka laskemme, olettaen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui, eli ensimmäisellä kortilla vedimme ässän.
Jotta kaikki tulisi selväksi, annetaan sellaiselle elementille nimitys kuin tapahtuman ehdollinen todennäköisyys. Se lasketaan olettaen, että tapahtuma A on tapahtunut. Lasketaan seuraavasti: P(B/A).
Jatka ongelmamme ratkaisemista: P(AB)=P(A)P(B/A) tai P (AB)=P(B)P(A/B). Todennäköisyys on (4/36)((3/35)/(4/36). Laske pyöristämällä sadasosiksi. Meillä on: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Todennäköisyys, että vedämme kaksi ässää peräkkäin, on yhdeksän sadasosaa Arvo on hyvin pieni, tästä seuraa, että tapahtuman todennäköisyys on erittäin pieni.
Unohtunut numero
Ehdotamme analysoida vielä muutamia vaihtoehtoja tehtäville, joita tutkitaan todennäköisyysteorian avulla. Olet jo nähnyt esimerkkejä joidenkin niistä ratkaisemisesta tässä artikkelissa, yritetään ratkaista seuraava ongelma: poika unohti ystävänsä puhelinnumeron viimeisen numeron, mutta koska puhelu oli erittäin tärkeä, hän alkoi soittaa kaikkea vuorotellen. Meidän on laskettava todennäköisyys, että hän soittaa enintään kolme kertaa. Ongelman ratkaisu on yksinkertaisin, jos todennäköisyysteorian säännöt, lait ja aksioomit tunnetaan.
Ennen katsomistaratkaisu, yritä ratkaista se itse. Tiedämme, että viimeinen numero voi olla nollasta yhdeksään, eli arvoja on yhteensä kymmenen. Todennäköisyys saada oikea on 1/10.
Seuraavaksi meidän on harkittava vaihtoehtoja tapahtuman alkuperälle, oletetaan, että poika arvasi oikein ja teki heti oikean maalin, tällaisen tapahtuman todennäköisyys on 1/10. Toinen vaihtoehto: ensimmäinen puhelu on epäonnistunut ja toinen on tavoite. Laskemme tällaisen tapahtuman todennäköisyyden: kerro 9/10 luvulla 1/9, jolloin saadaan myös 1/10. Kolmas vaihtoehto: ensimmäinen ja toinen soitto osoittautuivat väärään osoitteeseen, vasta kolmannesta poika pääsi minne halusi. Laskemme tällaisen tapahtuman todennäköisyyden: kerromme 9/10 luvulla 8/9 ja 1/8, saamme tuloksena 1/10. Ongelman tilanteen mukaan emme ole kiinnostuneita muista vaihtoehdoista, joten meidän on laskettava tulokset yhteen, tuloksena meillä on 3/10. Vastaus: Todennäköisyys, että poika soittaa enintään kolme kertaa, on 0,3.
Kortit numeroilla
Edessäsi on yhdeksän korttia, joista jokaiseen on kirjoitettu numero yhdestä yhdeksään, numerot eivät toistu. Ne laitettiin laatikkoon ja sekoitettiin huolellisesti. Sinun on laskettava todennäköisyys, että
- parillinen luku tulee esiin;
- kaksinumeroinen.
Ennen kuin siirrytään ratkaisuun, määrätään, että m on onnistuneiden tapausten lukumäärä ja n on vaihtoehtojen kokonaismäärä. Selvitä todennäköisyys, että luku on parillinen. Ei ole vaikeaa laskea, että parillisia lukuja on neljä, tämä on meidän m, vaihtoehtoja on yhteensä yhdeksän, eli m=9. Sitten todennäköisyyson 0, 44 tai 4/9.
Tarkastellaan toista tapausta: vaihtoehtoja on yhdeksän, eikä onnistuneita tuloksia voi olla ollenkaan, eli m on nolla. Todennäköisyys, että vedettävä kortti sisältää kaksinumeroisen luvun, on myös nolla.
