Prisma on yksi tunnetuimmista hahmoista, joita opiskellaan toisen asteen umpigeometrian kurssilla. Jotta voit laskea erilaisia ominaisuuksia tämän luokan hahmoille, sinun on tiedettävä, minkä tyyppisiä prismoja on olemassa. Katsotaanpa tätä asiaa tarkemmin.
Prisma stereometriassa
Määritetään ensin mainittu hahmoluokka. Prisma on mikä tahansa monikulmio, joka koostuu kahdesta rinnakkaisesta monikulmiosta, jotka on liitetty toisiinsa suunnikasilla.
Voit saada tämän kuvan seuraavalla tavalla: valitse mieliv altainen monikulmio tasosta ja siirrä se minkä tahansa vektorin pituuteen, joka ei kuulu polygonin alkuperäiseen tasoon. Tällaisen yhdensuuntaisen liikkeen aikana monikulmion sivut kuvaavat tulevan prisman sivupintoja ja polygonin lopullisesta sijainnista tulee kuvion toinen kanta. Kuvatulla tavalla voidaan saada mieliv altainen prismatyyppi. Alla olevassa kuvassa on kolmiomainen prisma.
Mitä prismat ovat?
Kyse on muotojen luokittelustakyseinen luokka. Yleensä tämä luokitus suoritetaan ottaen huomioon monikulmion pohjan ja kuvan sivujen ominaisuudet. Yleensä erotetaan seuraavat kolme prismatyyppiä:
- Suora ja vino (vino).
- Oikea ja väärä.
- Kupera ja kovera.
Minkä tahansa mainitun luokitustyypin prismalla voi olla nelikulmainen, viisikulmainen, …, n-kulmainen kanta. Mitä tulee kolmiomaisen prisman tyyppeihin, se voidaan luokitella vain kahden ensimmäisen mainitun kohdan mukaan. Kolmion muotoinen prisma on aina kupera.
Alla tarkastellaan lähemmin kutakin näistä luokittelutyypeistä ja annamme hyödyllisiä kaavoja prisman geometristen ominaisuuksien (pinta-ala, tilavuus) laskemiseen.
Suorat ja vinot muodot
Voit erottaa suoran prisman vinosti yhdellä silmäyksellä. Tässä on vastaava luku.
Tässä näkyy kaksi prismaa (kuusikulmainen vasemmalla ja viisikulmainen oikealla). Kaikki sanovat luottavaisin mielin, että kuusikulmio on suora ja viisikulmainen on vino. Mikä geometrinen piirre erottaa nämä prismat? Tietysti sivupintatyyppi.
Suora prisma, sen pohjasta riippumatta, kaikki pinnat ovat suorakulmioita. Ne voivat olla keskenään samanlaisia tai erota toisistaan, ainoa tärkeä asia on, että ne ovat suorakulmioita ja niiden kaksikulmaiset kantakulmat ovat 90o.
Viistosta hahmosta on sanottava, että sen kaikki sivupinnat tai osa niistä ovatsuunnikkaat, jotka muodostavat epäsuorat kaksikulmaiset kulmat kantaan.
Kaikissa suorissa prismoissa korkeus on sivureunan pituus, vinoissa hahmoissa korkeus on aina pienempi kuin niiden sivureunat. Prisman korkeuden tunteminen on tärkeää laskettaessa sen pinta-alaa ja tilavuutta. Esimerkiksi tilavuuskaava on:
V=Soh
Missä h on korkeus, So on yhden kantakohdan alue.
Prismat oikein ja väärin
Jokainen prisma on väärä, jos se ei ole suora tai sen kanta ei ole oikea. Kysymystä suorista ja vinoista prismoista käsiteltiin edellä. Tässä pohditaan, mitä ilmaus "säännöllinen monikulmiokanta" tarkoittaa.
Monikulmio on säännöllinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä suuret (merkitkäämme niiden pituus kirjaimella a) ja myös sen kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Esimerkkejä säännöllisistä monikulmioista ovat tasasivuinen kolmio, neliö, kuusikulmio, jossa on kuusi kulmaa 120o ja niin edelleen. Minkä tahansa säännöllisen n-kulman pinta-ala lasketaan tällä kaavalla:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Alla on kaavamainen esitys säännöllisistä prismoista, joissa on kolmion, neliön, …, kahdeksankulmainen kanta.
Käyttäen yllä olevaa kaavaa V:lle, voimme kirjoittaa vastaavan lausekkeen säännöllisille muodoille:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Kokonaispinta-alan os alta se muodostuu säännöllisille prismoille kahden pinta-aloistaidenttiset kantat ja n identtistä suorakulmiota, joiden sivut ovat h ja a. Nämä tosiasiat antavat meille mahdollisuuden kirjoittaa kaavan minkä tahansa säännöllisen prisman pinta-alalle:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Tässä ensimmäinen termi vastaa kahden kannan pinta-alaa, toinen termi määrittää vain sivupinnan alueen.
Kaikista säännöllisistä prismotyypeistä vain nelikulmaisilla prismoilla on omat nimensä. Joten säännöllistä nelikulmaista prismaa, jossa a≠h, kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi suuntaissärmiöksi. Jos tällä luvulla on a=h, he puhuvat kuutiosta.
Koverat muodot
Olemme tähän asti tarkastelleet vain kuperatyyppisiä prismoja. Juuri heihin kiinnitetään päähuomio tarkasteltavana olevan hahmoluokan tutkimuksessa. On kuitenkin olemassa myös koveria prismoja. Ne eroavat kuperista siinä, että niiden kantat ovat koveria monikulmioita, jotka alkavat nelikulmiosta.
Kuvassa on esimerkkinä kaksi koveraa prismaa, jotka on valmistettu paperista. Vasen, joka on viisisakaraisen tähden muotoinen, on kymmenkulmainen prisma, ja oikeaa kuusisakaraisen tähden muotoista prismaa kutsutaan kaksikulmaiseksi koveraksi suoraksi prismaksi.
