Kuusikulmainen prisma ja sen pääominaisuudet

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Avaruusgeometria on prismien tutkimus. Niiden tärkeitä ominaisuuksia ovat niiden sisältämä tilavuus, pinta-ala ja ainesosien lukumäärä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kaikkia näitä kuusikulmaisen prisman ominaisuuksia.

Mistä prismasta puhumme?

Kuusikulmioprisma on kuvio, joka muodostuu kahdesta monikulmiosta, joissa on kuusi sivua ja kuusi kulmaa, ja kuudesta suunnikkaasta, jotka yhdistävät merkityt kuusikulmiot yhdeksi geometriseksi muodostelmaksi.

Kuvassa on esimerkki tästä prismasta.

Punaisella merkittyä kuusikulmiota kutsutaan kuvion pohjaksi. Ilmeisesti sen emästen lukumäärä on kaksi, ja molemmat ovat identtisiä. Prisman kellanvihreitä pintoja kutsutaan sen sivuiksi. Kuvassa ne on esitetty neliöinä, mutta yleensä ne ovat suunnikkaita.

Kuusikulmainen prisma voi olla k alteva ja suora. Ensimmäisessä tapauksessa pohjan ja sivujen väliset kulmat eivät ole suoria, toisessa ne ovat 90o. Myös tämä prisma voi olla oikea ja väärä. Tavallinen kuusikulmainenprisman on oltava suora ja sen pohjassa on oltava säännöllinen kuusikulmio. Yllä oleva kuvan prisma täyttää nämä vaatimukset, joten sitä kutsutaan oikeaksi. Jatkossa artikkelissa tutkimme vain sen ominaisuuksia yleisenä tapauksena.

Elementit

Jokaisen prisman pääelementtejä ovat reunat, pinnat ja kärjet. Kuusikulmainen prisma ei ole poikkeus. Yllä olevasta kuvasta voit laskea näiden elementtien määrän. Joten saamme 8 pintaa tai sivua (kaksi kantaa ja kuusi lateraalista suuntaviivaa), kärkien lukumäärä on 12 (6 pistettä jokaiselle alustalle), kuusikulmainen prisman reunojen lukumäärä on 18 (kuusi lateraalista ja 12 kantaa).

1750-luvulla Leonhard Euler (sveitsiläinen matemaatikko) loi kaikille monitahoille, jotka sisältävät prisman, matemaattisen suhteen ilmoitettujen elementtien numeroiden välillä. Tämä suhde näyttää tältä:

reunojen määrä=pintojen lukumäärä + kärkien lukumäärä - 2.

Yllä olevat luvut täyttävät tämän kaavan.

Prisman diagonaalit

Kaikki kuusikulmaisen prisman diagonaalit voidaan jakaa kahteen tyyppiin:

• ne, jotka makaavat sen kasvojen tasoissa;
• ne, jotka kuuluvat koko kuvion volyymiin.

Alla olevassa kuvassa näkyvät kaikki nämä lävistäjät.

Voidaan nähdä, että D₁ on sivudiagonaali, D₂ ja D₃ ovat diagonaalit koko prisma, D₄ ja D_{5 - kannan diagonaalit.}

Sivujen diagonaalien pituudet ovat keskenään yhtä suuret. Ne on helppo laskea tunnetun Pythagoraan lauseen avulla. Olkoon a kuusikulmion sivun pituus, b sivureunan pituus. Sitten diagonaalin pituus on:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonaali D₄ on myös helppo määrittää. Jos muistamme, että säännöllinen kuusikulmio sopii ympyrään, jonka säde on a, niin D_{4 on tämän ympyrän halkaisija, eli saamme seuraavan kaavan:}

D_4=2a.

Diagonal D₅pohjia on hieman vaikeampi löytää. Tarkastellaan tätä varten tasasivuista kolmiota ABC (katso kuva). Hänelle AB=BC=a, kulma ABC on 120^{o. Jos laskemme korkeutta tästä kulmasta (se on myös puolittaja ja mediaani), puolet AC-kannasta on yhtä suuri kuin:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC-puoli on D_{5 diagonaali, joten saamme:}

D_5=AC=√3a.

Nyt on jäljellä löytää säännöllisen kuusikulmaisen prisman diagonaalit D₂ja D_{3. Tätä varten sinun on nähtävä, että ne ovat vastaavien suorakulmaisten kolmioiden hypotenoosit. Pythagoraan lauseella saadaan:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Siten suurin diagonaali a:n ja b:n arvoille onD_2.

Pinta-ala

Ymmärtääksesi, mikä on vaakalaudalla, helpoin tapa on harkita tämän prisman kehittämistä. Se näkyy kuvassa.

Voidaan nähdä, että tarkasteltavan kuvan kaikkien sivujen pinta-alan määrittämiseksi on tarpeen laskea nelikulmion pinta-ala ja kuusikulmion pinta-ala erikseen ja kertoa ne sitten vastaavilla kokonaisluvuilla, jotka ovat yhtä suuria kuin prisman kunkin n-kulmikon lukumäärä, ja laske tulokset. Kuusikulmiot 2, suorakulmiot 6.

Suorakulmion pinta-alalle saamme:

S_1=ab.

Sitten sivupinta-ala on:

S_2=6ab.

Kuusikulmion pinta-alan määrittämiseksi helpoin tapa on käyttää vastaavaa kaavaa, joka näyttää tältä:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Korvaamalla luvun n, joka on yhtä suuri kuin 6 tähän lausekkeeseen, saadaan yhden kuusikulmion pinta-ala:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Tämä lauseke tulee kertoa kahdella saadaksesi prisman kantojen pinta-alan:

S_os=3√3a^2.

Ei ole vielä lisätty S_os ja S_{2 saadaksesi kuvion kokonaispinta-alan:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prisman äänenvoimakkuus

Kaavan jälkeenkuusikulmaisen pohjan pinta-alasta, kyseessä olevan prisman sisältämän tilavuuden laskeminen on yhtä helppoa kuin päärynöiden kuoriminen. Tätä varten sinun tarvitsee vain kertoa yhden pohjan (kuusikulmio) pinta-ala kuvion korkeudella, jonka pituus on yhtä suuri kuin sivureunan pituus. Saamme kaavan:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Huomaa, että pohjan ja korkeuden tulo antaa absoluuttisen minkä tahansa prisman tilavuuden arvon, myös vinon prisman. Jälkimmäisessä tapauksessa korkeuden laskeminen on kuitenkin monimutkaista, koska se ei ole enää yhtä suuri kuin sivurivan pituus. Mitä tulee säännölliseen kuusikulmaiseen prismaan, sen tilavuuden arvo on kahden muuttujan funktio: sivut a ja b.