Todennäköisyysteoria toimii satunnaismuuttujien kanssa. Satunnaismuuttujille on olemassa niin sanotut jakautumislait. Tällainen laki kuvaa sen satunnaismuuttujan absoluuttisella täydellisyydellä. Kuitenkin, kun työskennellään todellisten satunnaismuuttujien joukkojen kanssa, on usein erittäin vaikeaa määrittää välittömästi niiden jakautumisen laki, ja ne rajoittuvat tiettyyn numeeristen ominaisuuksien joukkoon. Esimerkiksi satunnaismuuttujan keskiarvon ja varianssin laskeminen on usein erittäin hyödyllistä.
Miksi sitä tarvitaan
Jos matemaattisen odotuksen olemus on lähellä suuren keskiarvoa, niin tässä tapauksessa dispersio kertoo kuinka suureemme arvot ovat hajallaan tämän matemaattisen odotuksen ympärille. Jos esimerkiksi mittaamme ihmisryhmän älykkyysosamäärää ja haluamme tutkia mittaustuloksia (otosta), matemaattinen odotus näyttää älykkyysosamäärän likimääräisen keskiarvon tälle ihmisryhmälle ja jos laskemme otosvarianssin., saamme selville, kuinka tulokset ryhmitellään matemaattisen odotuksen ympärille: joukko sen lähellä (pieni vaihtelu älykkyysosamäärässä) tai tasaisemmin koko alueella minimituloksesta maksimitulokseen (suuri vaihtelu ja jossain puolivälissä - matemaattinen odotus).
Varianssin laskemiseksi tarvitset satunnaismuuttujan uuden ominaisuuden - arvon poikkeaman matemaattisestaodottaa.
Poikkeama
Ymmärtääksesi, kuinka varianssi lasketaan, sinun on ensin ymmärrettävä poikkeama. Sen määritelmä on ero satunnaismuuttujan saaman arvon ja sen matemaattisen odotuksen välillä. Karkeasti sanottuna, jotta ymmärrät, kuinka arvo "hajaantuu", sinun on tarkasteltava, kuinka sen poikkeama jakautuu. Eli korvaamme arvon arvon sen poikkeaman arvolla matosta. odotuksia ja tutustu sen jakelulakiin.
Diskreetin eli yksittäisiä arvoja saavan satunnaismuuttujan jakautumislaki kirjoitetaan taulukon muotoon, jossa arvon arvo korreloi sen esiintymistodennäköisyyden kanssa. Tällöin poikkeamajakauman laissa satunnaismuuttuja korvataan sen kaavalla, jossa on arvo (joka on säilyttänyt todennäköisyytensä) ja oma matto. odottaa.
Satunnaismuuttujan poikkeaman jakautumislain ominaisuudet
Olemme kirjoittaneet satunnaismuuttujan poikkeaman jakautumislain. Siitä voimme toistaiseksi poimia vain sellaisen ominaisuuden kuin matemaattinen odotus. Mukavuuden vuoksi on parempi ottaa numeerinen esimerkki.
Olkoon jonkin satunnaismuuttujan jakautumislaki: X - arvo, p - todennäköisyys.
Laskemme kaavan avulla matemaattisen odotuksen ja heti poikkeaman.
Uuden poikkeamajakaumataulukon piirtäminen.
Laskemme odotuksen myös täällä.
Se osoittautuu nollaksi. On vain yksi esimerkki, mutta niin se tulee aina olemaan: tätä ei ole vaikea todistaa yleisessä tapauksessa. Poikkeaman matemaattisen odotuksen kaava voidaan jakaa satunnaismuuttujan matemaattisten odotusten ja maton matemaattisten odotusten väliseksi eroksi, vaikka se kuulostaa kuinka vinolta tahansa. odotukset (rekursio kuitenkin), jotka ovat samat, joten niiden ero on nolla.
Tämä on odotettavissa: etumerkin poikkeamat voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia, joten niiden pitäisi keskimäärin antaa nolla.
Miten lasketaan diskreetin tapauksen varianssi. määrät
Jos mat. poikkeama-odotusten laskeminen on turhaa, täytyy etsiä jotain muuta. Voit yksinkertaisesti ottaa poikkeamien absoluuttiset arvot (modulo); mutta moduuleilla kaikki ei ole niin yksinkertaista, joten poikkeamat neliöidään ja sitten lasketaan niiden matemaattinen odotus. Itse asiassa tätä tarkoitetaan, kun he puhuvat varianssin laskemisesta.
Toisin sanoen otamme poikkeamat, neliöimme ne ja teemme taulukon satunnaismuuttujia vastaavista poikkeamista ja todennäköisyyksistä. Tämä on uusi jakelulaki. Laskeaksesi matemaattisen odotuksen, sinun on lisättävä poikkeaman neliön ja todennäköisyyden tulot.
Helppompi kaava
Artikkeli alkoi kuitenkin siitä tosiasiasta, että alkuperäisen satunnaismuuttujan jakautumislaki on usein tuntematon. Jotain kevyempää siis tarvitaan. On todellakin olemassa toinen kaava, jonka avulla voit laskea otosvarianssin käyttämällä vain mattoa.odottaa:
Dispersio - maton välinen ero. satunnaismuuttujan neliön odotus ja päinvastoin sen maton neliö. odottaa.
Tälle on todiste, mutta sitä ei ole järkevää esittää tässä, koska sillä ei ole käytännön arvoa (ja meidän tarvitsee vain laskea varianssi).
Miten lasketaan satunnaismuuttujan varianssi variaatiosarjoissa
Tositilastoissa on mahdotonta heijastaa kaikkia satunnaismuuttujia (koska niitä on karkeasti sanottuna pääsääntöisesti ääretön määrä). Siksi tutkimukseen tulee niin kutsuttu edustava otos jostain yleisestä populaatiosta. Ja koska minkä tahansa tällaisen yleisen perusjoukon satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet lasketaan otoksesta, niitä kutsutaan otos: otoskeskiarvo, vastaavasti otoksen varianssi. Voit laskea sen samalla tavalla kuin tavallisesti (poikkeamien neliöillä).
Tällaista dispersiota kutsutaan kuitenkin puolueelliseksi. Puolueeton varianssikaava näyttää hieman erilaiselta. Se on yleensä laskettava.
Pieni lisäys
Yksi numeerinen ominaisuus liittyy dispersioon. Sen avulla voidaan myös arvioida, kuinka satunnaismuuttuja hajoaa mattonsa ympärillä. odotuksia. Varianssin ja keskihajonnan laskemisessa ei ole paljon eroa: jälkimmäinen on edellisen neliöjuuri.
