Matematiikassa on käsite "joukko" sekä esimerkkejä näiden samojen joukkojen vertailusta keskenään. Joukkojen vertailutyyppien nimet ovat seuraavat sanat: bijektio, injektio, surjektio. Jokainen niistä on kuvattu yksityiskohtaisemmin alla.
Bjektio on… mikä se on?
Yksi ensimmäisen joukon elementtiryhmä yhdistetään toisen joukon toiseen elementtiryhmään tässä muodossa: jokainen ensimmäisen ryhmän yksi elementti yhdistetään suoraan toisen ryhmän toiseen elementtiin, ja ei ole tilanne, jossa minkä tahansa tai kahden joukon ryhmän elementtejä on pulaa tai niiden luettelointi.
Pääominaisuuksien muotoilu:
- Yksi elementti yhteen.
- Ei ylimääräisiä elementtejä sovitettaessa ja ensimmäinen ominaisuus säilyy.
- Karttaus on mahdollista kääntää päinvastaiseksi, mutta yleisnäkymä säilyy.
- Bjektio on funktio, joka on sekä injektiivinen että surjektiivinen.
Bijektio tieteellisestä näkökulmasta
Bijektiiviset funktiot ovat täsmälleen isomorfismeja luokassa "funktiojoukko ja joukko". Bijektiot eivät kuitenkaan aina ole isomorfismeja monimutkaisemmille luokille. Esimerkiksi tietyssä ryhmäryhmässä morfismien on oltava homomorfismeja, koska niiden on säilytettävä ryhmän rakenne. Siksi isomorfismit ovat ryhmäisomorfismeja, jotka ovat bijektiivisiä homomorfismeja.
Konsepti "yksi-yhteen-vastaavuus" on yleistetty osittaisiksi funktioiksi, joissa niitä kutsutaan osittaisiksi esityksiksi, vaikka osittaisen bijektion pitäisi olla injektio. Syynä tähän rentoutumiseen on se, että osittaista (oikeaa) funktiota ei ole enää määritelty osalle sen toimialuetta. Siten ei ole mitään hyvää syytä rajoittaa sen käänteistä funktiota täydelliseen, eli määriteltyyn kaikkialla alueellaan. Kaikkien tietyn perusjoukon osittaisten bijektioiden joukkoa kutsutaan symmetriseksi käänteiseksi puoliryhmäksi.
Toinen tapa määritellä sama käsite: kannattaa sanoa, että joukkojen osittaisbijektio A:sta B:hen on mikä tahansa relaatio R (osittaisfunktio) sen ominaisuuden kanssa, että R on bijektiograafi f:A'→B ' missä A' on A:n osajoukko ja B' on B:n osajoukko.
Kun osittainen bijektio on samassa joukossa, sitä kutsutaan joskus yksi-yhteen-osittaismuunnokseksi. Esimerkki on juuri määritelty Möbius-muunnos kompleksitasolla, ei sen valmistuminen laajennetussa kompleksitasossa.
Injektio
Yksi ensimmäisen joukon elementtiryhmä yhdistetään toisen joukon toiseen elementtiryhmään tässä muodossa: jokainen ensimmäisen ryhmän elementti yhdistetään toiseen toisen ryhmän elementtiin, mutta ei kaikkia ne muunnetaan pareiksi. Parittomien elementtien määrä riippuu näiden juuri näiden alkioiden lukumäärän erosta kussakin joukossa: jos yksi joukko koostuu kolmestakymmenestäyhdestä alkiosta ja toisessa seitsemän enemmän, parittomien elementtien määrä on seitsemän. Suunnattu injektio sarjaan. Suunta ja ruiskutus ovat samanlaisia, mutta vain samank altaisia.
Surjektio
Ensimmäisen joukon yksi elementtiryhmä sovitetaan toisen joukon toiseen elementtiryhmään tällä tavalla: minkä tahansa ryhmän jokainen elementti muodostaa parin, vaikka alkioiden lukumäärässä olisi eroa. Tästä seuraa, että yksi elementti yhdestä ryhmästä voi muodostaa parin useiden toisen ryhmän elementtien kanssa.
Ei bijektiivinen, injektiivinen tai surjektiivinen funktio
Tämä on bijektiivisen ja surjektiivisen muodon funktio, mutta jäännös (pariton)=> injektio. Tällaisessa funktiossa on selvästi yhteys bijektion ja surjektion välillä, koska se sisältää suoraan nämä kaksi joukkovertailutyyppiä. Kaikenlaisten näiden funktioiden kokonaisuus ei siis ole yksi niistä erikseen.
Kaikenlaisten toimintojen selitykset
Esimerkiksi tarkkailijaa kiehtovat seuraavat asiat. Siellä on jousiammuntakilpailuja. Jokainenosallistuja haluaa osua kohteeseen (tehtävän helpottamiseksi: tarkkaa nuolen osumaa ei oteta huomioon). Vain kolme osallistujaa ja kolme tavoitetta - tämä on turnauksen ensimmäinen paikka (sivusto). Seuraavissa osissa jousimiesten lukumäärä säilyy, mutta maalien lukumäärää muutetaan: toisessa - neljä maalia, seuraavassa - myös neljä ja neljännessä - viisi. Jokainen osallistuja ampuu jokaiseen maalitauluun.
- Turnauksen ensimmäinen paikka. Ensimmäinen jousiampuja osuu vain yhteen maaliin. Toinen osuu vain yhteen kohteeseen. Kolmas toistuu muiden jälkeen, ja kaikki jousimiehet osuvat eri kohteisiin: niitä vastapäätä oleviin. Tuloksena 1 (ensimmäinen jousiampuja) osui maaliin (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Havaitaan seuraava riippuvuus: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Johtopäätös on arvio, että tällainen joukkojen vertailu on bijektio.
- Turnauksen toinen alusta. Ensimmäinen jousiampuja osuu vain yhteen maaliin. Toinen osuu myös vain yhteen kohteeseen. Kolmas ei oikein yritä ja toistaa kaikkea muiden perään, mutta ehto on sama - kaikki jousimiehet osuivat eri kohteisiin. Mutta kuten aiemmin mainittiin, toisella alustalla on jo neljä kohdetta. Riippuvuus: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - joukon pariton elementti. Tässä tapauksessa johtopäätös on, että tällainen joukkovertailu on injektio.
- Turnauksen kolmas paikka. Ensimmäinen jousiampuja osuu vain yhteen maaliin. Toinen osuu jälleen vain yhteen kohteeseen. Kolmas päättää vetää itsensä kasaan ja osuu kolmanteen ja neljänteen maaliin. Tämän seurauksena riippuvuus: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Tässä johtopäätös on tuomio, että tällainen joukkojen vertailu on oletus.
- Turnauksen neljäs alusta. Ensimmäisellä kaikki on jo selvää, hän osuu vain yhteen kohteeseen, jossa ei pian ole tilaa jo tylsille osumille. Nyt toinen ottaa vielä tuoreen kolmannen roolin ja osuu jälleen vain yhteen kohteeseen, toistaen ensimmäisen jälkeen. Kolmas hallitsee edelleen itseään eikä lakkaa esittelemästä nuoliaan kolmannelle ja neljännelle maalille. Viides oli kuitenkin edelleen hänen hallinnan ulkopuolella. Joten, riippuvuus: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - pariton elementti kohdejoukosta. Johtopäätös: tällainen joukkojen vertailu ei ole surjektio, ei injektio eikä bijektio.
Nyt bijektion, injektion tai surjektion rakentaminen ei ole ongelma, samoin kuin erojen löytäminen niiden välillä.
