Algebrassa on käsite kahden tyyppisistä yhtälöistä - identiteeteistä ja yhtälöistä. Identiteetit ovat sellaisia yhtäläisyyksiä, jotka ovat mahdollisia mille tahansa niihin sisältyvien kirjainten arvoille. Yhtälöt ovat myös yhtäläisyyksiä, mutta ne ovat toteutettavissa vain tietyille niihin sisältyvien kirjainten arvoille.
Kirjaimet ovat yleensä eriarvoisia tehtävän suhteen. Tämä tarkoittaa, että jotkut niistä voivat ottaa mitkä tahansa sallitut arvot, joita kutsutaan kertoimilla (tai parametreillä), kun taas toiset - niitä kutsutaan tuntemattomiksi - ottavat arvot, jotka on löydettävä ratkaisuprosessissa. Tuntemattomat suuret merkitään yhtälöissä pääsääntöisesti kirjaimilla, latinalaisten aakkosten viimeisillä kirjaimilla (x.y.z jne.) tai samoilla kirjaimilla, mutta indeksillä (x1, x 2 jne.), ja tunnetut kertoimet annetaan saman aakkoston ensimmäisillä kirjaimilla.
Tuntemattomien lukumäärän perusteella erotetaan yhtälöt, joissa on yksi, kaksi ja useita tuntemattomia. Siten kaikkia tuntemattomien arvoja, joille ratkaistava yhtälö muuttuu identiteetiksi, kutsutaan yhtälöiden ratkaisuiksi. Yhtälöä voidaan pitää ratkaistuna, jos kaikki sen ratkaisut löytyvät tai osoitetaan, ettei sillä ole yhtään ratkaisua. Tehtävä "ratkaise yhtälö" on käytännössä yleinen ja tarkoittaa, että sinun on löydettävä yhtälön juuri.
Määritelmä: yhtälön juuret ovat sallittujen arvojen alueen tuntemattomien arvot, joissa ratkaistavasta yhtälöstä tulee identiteetti.
Absoluuttisesti kaikkien yhtälöiden ratkaisemisen algoritmi on sama, ja sen tarkoitus on pelkistää tämä lauseke yksinkertaisempaan muotoon käyttämällä matemaattisia muunnoksia. Yhtälöitä, joilla on samat juuret, kutsutaan algebrassa ekvivalenteiksi.
Yksinkertaisin esimerkki: 7x-49=0, yhtälön juuri x=7;x-7=0, samoin juuri x=7, joten yhtälöt ovat ekvivalentteja. (Erikoistapauksissa vastaavilla yhtälöillä ei välttämättä ole juuria.)
Jos yhtälön juuri on myös toisen, yksinkertaisemman yhtälön juuri, joka on saatu alkuperäisestä muunnoksilla, niin jälkimmäistä kutsutaan edellisen yhtälön seuraukseksi.
Jos toinen kahdesta yhtälöstä on seurausta toisesta, niitä pidetään vastaavina. Niitä kutsutaan myös vastaaviksi. Yllä oleva esimerkki havainnollistaa tätä.
Yksinkertaistenkin yhtälöiden ratkaiseminen käytännössä on usein vaikeaa. Ratkaisun tuloksena voit saada yhtälön yhden juuren, kaksi tai useampia, jopa äärettömän määrän - se riippuu yhtälöiden tyypistä. On myös sellaisia, joilla ei ole juuria, niitä kutsutaan ratkaisemattomiksi.
Esimerkkejä:
1) 15x -20=10; x=2. Tämä on yhtälön ainoa juuri.
2) 7x - y=0. Yhtälöllä on ääretön määrä juuria, koska jokaisella muuttujalla voi olla lukemattomiaarvojen määrä.
3) x2=- 16. Toiseen potenssiin korotettu luku antaa aina positiivisen tuloksen, joten yhtälön juuria on mahdotonta löytää. Tämä on yksi edellä mainituista ratkaisemattomista yhtälöistä.
Ratkaisun oikeellisuus tarkistetaan korvaamalla löydetyt juuret kirjainten sijasta ja ratkaisemalla tuloksena oleva esimerkki. Jos identiteetti pätee, ratkaisu on oikea.
