Jotta lukijan olisi helpompi kuvitella, mikä hyperboloidi - kolmiulotteinen objekti - on, sinun on ensin otettava huomioon samanniminen kaareva hyperboli, joka sopii kaksiulotteiseen avaruuteen.
Hyperbolalla on kaksi akselia: todellinen, joka tässä kuvassa osuu yhteen abskissa-akselin kanssa, ja kuvitteellinen, y-akselin kanssa. Jos alat henkisesti kääntää hyperbolin yhtälöä sen kuvitteellisen akselin ympäri, käyrän "näkemä" pinta on yksiarkkinen hyperboloidi.
Jos kuitenkin alamme pyörittää hyperbolaa sen todellisen akselin ympäri tällä tavalla, niin kumpikin käyrän "puolikas" muodostaa oman erillisen pinnansa, ja yhdessä sitä kutsutaan kaksi- päällystetty hyperboloidi.
Saadaan kiertämällä vastaavaa tasokäyrää, ja niitä kutsutaan vastaavasti rotaatiohyperboloideiksi. Niillä on parametrit kaikkiin suuntiin kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden,joka kuuluu kierrettyyn käyrään. Yleensä näin ei ole.
Hyperboloidiyhtälö
Yleensä pinta voidaan määritellä seuraavilla yhtälöillä suorakulmaisina koordinaatteina (x, y, z):
Kierroksen hyperboloidin tapauksessa sen symmetria sen akselin suhteen, jonka ympäri se pyörii, ilmaistaan kertoimien yhtäläisyydellä a=b.
Hyperboloidin ominaisuudet
Hänellä on temppu. Tiedämme, että tasossa olevilla käyrillä on polttopisteitä - esimerkiksi hyperbolin tapauksessa mieliv altaisen hyperbolin pisteen etäisyyksien eron moduuli yhteen fokukseen ja toiseen on määritelmän mukaan vakio, itse asiassa fokus. pistettä.
Kolmiulotteiseen avaruuteen siirryttäessä määritelmä ei käytännössä muutu: polttopisteet ovat taas kaksi pistettä, ja etäisyyksien ero niistä mieliv altaiseen hyperboloidin pintaan kuuluvaan pisteeseen on vakio. Kuten näet, vain kolmas koordinaatti ilmestyi kaikkien mahdollisten pisteiden muutoksista, koska nyt ne on asetettu avaruuteen. Yleisesti ottaen fokuksen määrittäminen vastaa käyrän tai pinnan tyypin tunnistamista: puhumalla siitä, kuinka pinnan pisteet sijaitsevat suhteessa pesäkkeisiin, vastaamme itse asiassa kysymykseen, mikä hyperboloidi on ja miltä se näyttää.
On syytä muistaa, että hyperbolalla on asymptootteja eli suoria viivoja, joihin sen haarat ulottuvat äärettömyyteen. Jos vallankumouksen hyperboloidia rakennettaessa kierretään mentaalisesti asymptootteja yhdessä hyperbolin kanssa, niin hyperboloidin lisäksi saadaan myös kartio, jota kutsutaan asymptoottiseksi. Asymptoottinen kartio onyksi- ja kaksiarkkisille hyperboloideille.
Toinen tärkeä ominaisuus, joka vain yksiarkisella hyperboloidilla on, ovat suoraviivaiset generaattorit. Kuten nimestä voi päätellä, nämä ovat viivoja, ja ne sijaitsevat kokonaan tietyllä pinnalla. Kaksi suoraviivaista generaattoria kulkee yksilevyisen hyperboloidin kunkin pisteen läpi. Ne kuuluvat vastaavasti kahteen riviperheeseen, jotka kuvataan seuraavilla yhtälöjärjestelmillä:
Näin ollen yksiarkkinen hyperboloidi voi koostua kokonaan kahden perheen äärettömästä määrästä suoria viivoja, ja jokainen niistä leikkaa toisen rivin kaikkien viivojen kanssa. Tällaisia ominaisuuksia vastaavia pintoja kutsutaan viivatuiksi; ne voidaan rakentaa yhden suoran kierron avulla. Määrittely viivojen (suorasuuntaisten generaattorien) keskinäisen järjestelyn kautta avaruudessa voi toimia myös yksiselitteisenä merkintänä siitä, mikä hyperboloidi on.
Hyperboloidin mielenkiintoisia ominaisuuksia
Toisen kertaluvun käyrillä ja niitä vastaavilla kierrospinnoilla on kullakin mielenkiintoisia polttopisteisiin liittyviä optisia ominaisuuksia. Hyperboloidin tapauksessa tämä muotoillaan seuraavasti: jos säde laukeaa yhdestä fokuksesta, niin se heijastuessaan lähimmästä "seinästä" ottaa sellaisen suunnan kuin se tulisi toisesta fokuksesta.
Hyperboloidit elämässä
Todennäköisesti useimmat lukijat aloittivat tutustumisensa analyyttiseen geometriaan ja toisen asteen pintoihin Aleksei Tolstoin tieteisromaanista."Hyperboloidi-insinööri Garin". Kirjoittaja itse ei kuitenkaan tiennyt hyvin, mitä hyperboloidi on, tai uhrasi tarkkuuden taiteellisuuden vuoksi: kuvattu keksintö on fysikaalisten ominaisuuksiensa puolesta pikemminkin paraboloidi, joka kerää kaikki säteet yhteen fokukseen (kun taas hyperboloidin optiset ominaisuudet liittyvät säteiden siroamiseen).
Ns. hyperboloidirakenteet ovat erittäin suosittuja arkkitehtuurissa: nämä ovat rakenteita, jotka ovat muodoltaan yksiarkkisia hyperboloidia tai hyperbolisia paraboloideja. Tosiasia on, että vain näillä toisen kertaluvun pyörimispinnoilla on suoraviivaiset generaattorit: näin ollen kaareva rakenne voidaan rakentaa vain suorista palkeista. Tällaisten rakenteiden etuja ovat kyky kestää raskaita kuormia, esimerkiksi tuulesta: hyperboloidimuotoa käytetään korkeiden rakenteiden, esimerkiksi televisiotornien, rakentamisessa.
