Sylinteri on yksi yksinkertaisista kolmiulotteisista hahmoista, joita opiskellaan koulun geometrian kurssilla (leikkaus solid geometry). Tällöin sylinterin tilavuuden ja massan laskemisessa sekä sen pinta-alan määrittämisessä syntyy usein ongelmia. Tässä artikkelissa on vastaukset merkittyihin kysymyksiin.
Mikä on sylinteri?
Ennen kuin lähdetään vastaamaan kysymykseen, mikä on sylinterin massa ja tilavuus, kannattaa miettiä, mikä tämä tilaluku on. On heti huomattava, että sylinteri on kolmiulotteinen esine. Toisin sanoen avaruudessa voit mitata kolme sen parametria kutakin akselia pitkin suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Itse asiassa sylinterin mittojen yksiselitteiseen määrittämiseen riittää, että tiedät vain kaksi sen parametria.
Sylinteri on kolmiulotteinen kuvio, joka muodostuu kahdesta ympyrästä ja lieriömäisestä pinnasta. Tämän objektin kuvaamiseksi selkeämmin riittää, että otat suorakulmion ja aloitat pyörittämään sitä minkä tahansa sivun ympäri, joka on pyörimisakseli. Tässä tapauksessa pyörivä suorakulmio kuvaa muotoakierto - sylinteri.
Kahta pyöreää pintaa kutsutaan sylinterin pohjaksi, niille on ominaista tietty säde. Pohjien välistä etäisyyttä kutsutaan korkeudeksi. Nämä kaksi alustaa on yhdistetty toisiinsa sylinterimäisellä pinnalla. Molempien ympyröiden keskipisteiden läpi kulkevaa linjaa kutsutaan sylinterin akseliksi.
Tilavuus ja pinta-ala
Kuten yllä olevasta näkyy, sylinteri määritellään kahdella parametrilla: korkeus h ja sen kannan säde r. Tietäen nämä parametrit, on mahdollista laskea kaikki muut tarkasteltavan kappaleen ominaisuudet. Alla on tärkeimmät:
- Tukikohtien pinta-ala. Tämä arvo lasketaan kaavalla: S1=2pir2, jossa pi on pi 3, 14. Numero 2 kaavassa näkyy, koska sylinterissä on kaksi identtistä kantaa.
- Lieriömäinen pinta-ala. Se voidaan laskea seuraavasti: S2=2pirh. Tämä kaava on helppo ymmärtää: jos sylinterimäinen pinta leikataan pystysuunnassa alustasta toiseen ja laajennetaan, saadaan suorakulmio, jonka korkeus on yhtä suuri kuin sylinterin korkeus ja leveys vastaa kolmiulotteisen hahmon pohjan ympärysmitta. Koska tuloksena olevan suorakulmion pinta-ala on sen sivujen tulo, jotka ovat yhtä kuin h ja 2pir, saadaan yllä oleva kaava.
- Sylinterin pinta-ala. Se on yhtä suuri kuin S1 ja S2 alueiden summa, saamme: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Äänenvoimakkuus. Tämä arvo on helppo löytää, sinun tarvitsee vain kertoa yhden kannan pinta-ala kuvan korkeudella: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Sylinterin massan määrittäminen
Lopuksi kannattaa mennä suoraan artikkelin aiheeseen. Kuinka määrittää sylinterin massa? Tätä varten sinun on tiedettävä sen tilavuus, laskentakaava, joka esitettiin yllä. Ja sen aineen tiheys, josta se koostuu. Massa määritetään yksinkertaisella kaavalla: m=ρV, missä ρ on kohteen muodostavan materiaalin tiheys.
Tiheyden käsite kuvaa aineen massaa, joka on avaruuden yksikkötilavuudessa. Esimerkiksi. Tiedetään, että raudalla on suurempi tiheys kuin puulla. Tämä tarkoittaa, että kun rauta- ja puuainemäärät ovat yhtä suuret, ensimmäisellä on paljon suurempi massa kuin jälkimmäisellä (noin 16 kertaa).
Kuparisylinterin massan laskeminen
Harkitse yksinkertaista ongelmaa. On tarpeen löytää kuparista valmistetun sylinterin massa. Varmuuden vuoksi anna sylinterin halkaisija 20 cm ja korkeus 10 cm.
Ennen kuin aloitat ongelman ratkaisemisen, sinun tulee käsitellä lähdetietoja. Sylinterin säde on yhtä suuri kuin puolet sen halkaisijasta, mikä tarkoittaa r=20/2=10 cm, kun taas korkeus on h=10 cm. Koska tehtävässä käsitelty sylinteri on kuparia, niin viitaten vertailutiedot, kirjoitamme tämän materiaalin tiheysarvon: ρ=8, 96 g/cm3 (lämpötilalle 20 °C).
Nyt voit aloittaa ongelman ratkaisemisen. Lasketaan ensin tilavuus: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Tällöin sylinterin massa on: m=ρV=8,963140=28134 grammaa tai noin 28 kilogrammaa.
Sinun tulee kiinnittää huomiota yksiköiden mittoihin, kun niitä käytetään vastaavissa kaavoissa. Joten tehtävässä kaikki parametrit esitettiin senttimetreinä ja grammoina.
Homogeeniset ja ontot sylinterit
Yllä saadusta tuloksesta voidaan nähdä, että kuparisylinterillä, jonka mitat ovat suhteellisen pienet (10 cm), on suuri massa (28 kg). Tämä ei johdu vain siitä, että se on valmistettu raskaasta materiaalista, vaan myös siitä, että se on homogeeninen. Tämä seikka on tärkeää ymmärtää, koska yllä olevaa massan laskentakaavaa voidaan käyttää vain, jos sylinteri on kokonaan (ulkoa ja sisältä) valmistettu samasta materiaalista, eli se on homogeeninen.
Käytännössä käytetään usein onttoja sylintereitä (esimerkiksi lieriömäisiä tynnyriä vettä varten). Eli ne on valmistettu ohuista levyistä jostain materiaalista, mutta sisältä ne ovat tyhjiä. Ontolla sylinterillä ei voida käyttää ilmoitettua massan laskentakaavaa.
Onton sylinterin massan laskeminen
On mielenkiintoista laskea, mikä kuparisylinterin massa on, jos se on sisältä tyhjä. Tehdään se esimerkiksi ohuesta kuparilevystä, jonka paksuus on vain d=2 mm.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on löydettävä itse kuparin tilavuus, josta esine on valmistettu. Ei sylinterin tilavuus. Koska paksuuslevy on pieni verrattuna sylinterin mittoihin (d=2 mm ja r=10 cm), jolloin kuparin tilavuus, josta esine on valmistettu, saadaan kertomalla sylinterin koko pinta-ala kuparilevyn paksuus, saadaan: V=dS 3=d2pir(r+h). Korvaamalla edellisen tehtävän tiedot, saadaan: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 cm3. Onton sylinterin massa voidaan saada kertomalla saatu kuparin tilavuus, joka vaadittiin sen valmistukseen, kuparin tiheydellä: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g tai 2,3 kg. Eli kyseessä oleva ontto sylinteri painaa 12 (28, 1/2, 3) kertaa vähemmän kuin homogeeninen.
