Geometrian vallankumouskuvioihin kiinnitetään erityistä huomiota niiden ominaisuuksia ja ominaisuuksia tutkittaessa. Yksi niistä on katkaistu kartio. Tämän artikkelin tarkoituksena on vastata kysymykseen, millä kaavalla voidaan laskea katkaistun kartion pinta-ala.
Mistä hahmosta puhumme?
Ennen kuin kuvaat katkaistun kartion alueen, on tarpeen antaa tälle kuviolle tarkka geometrinen määritelmä. Katkaistu on sellainen kartio, joka saadaan leikkaamalla pois tavallisen kartion kärki tasolla. Tässä määritelmässä on syytä korostaa useita vivahteita. Ensinnäkin leikkaustason on oltava yhdensuuntainen kartion pohjan tason kanssa. Toiseksi alkuperäisen hahmon on oltava pyöreä kartio. Tietenkin se voi olla elliptinen, hyperbolinen ja muun tyyppinen hahmo, mutta tässä artikkelissa rajoitamme huomiomme vain pyöreän kartion. Jälkimmäinen näkyy alla olevassa kuvassa.
On helppo arvata, että se voidaan saada paitsi tason poikkileikkauksen, myös kiertotoiminnon avulla. vartenVoit tehdä tämän ottamalla puolisuunnikkaan, jossa on kaksi suoraa kulmaa, ja kiertämällä sitä sivun ympäri, joka on näiden suorien kulmien vieressä. Tämän seurauksena puolisuunnikkaan kantat muuttuvat katkaistun kartion kannan säteiksi ja puolisuunnikkaan sivuttain k alteva sivu kuvaa kartiomaista pintaa.
Muodon kehittäminen
Katkaistun kartion pinta-alan huomioon ottaen on hyödyllistä tuoda sen kehitys eli kuva kolmiulotteisen hahmon pinnasta tasossa. Alla on skannaus tutkitusta kuviosta mieliv altaisilla parametreilla.
Voidaan nähdä, että kuvion pinta-ala muodostuu kolmesta osasta: kahdesta ympyrästä ja yhdestä katkaistusta ympyräsegmentistä. Ilmeisesti vaaditun alueen määrittämiseksi on tarpeen laskea yhteen kaikkien nimettyjen lukujen pinta-alat. Ratkaistaan tämä ongelma seuraavassa kappaleessa.
Katkaistu kartioalue
Seuraavan päättelyn ymmärtämisen helpottamiseksi otamme käyttöön seuraavan merkinnän:
- r1, r2 - vastaavasti suuren ja pienen kannan säteet;
- h - figuurin korkeus;
- g - kartion generatriisi (puolisuunnikkaan vinon sivun pituus).
Katkaistujen kartioiden tyvipinta-ala on helppo laskea. Kirjoitetaan vastaavat lausekkeet:
So1=pir12;
So2=pir22.
Ympyrän muotoisen segmentin osan pinta-ala on hieman vaikeampi määrittää. Jos kuvittelemme, että tämän pyöreän sektorin keskustaa ei leikata, niin sen säde on yhtä suuri kuin arvo G. Sen laskeminen ei ole vaikeaa, jos otetaan huomioon vastaavasamanlaisia suorakulmaisia kartiokolmioita. Se on yhtä suuri kuin:
G=r1g/(r1-r2).
Sitten koko ympyräsektorin pinta-ala, joka on rakennettu säteelle G ja joka perustuu kaareen, jonka pituus on 2pir1, on yhtä suuri vastaanottaja:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Määritetään nyt pienen pyöreän sektorin S2 pinta-ala, joka on vähennettävä arvosta S1. Se on yhtä suuri kuin:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Kartiomaisen katkaistun pinnan pinta-ala Sb on yhtä suuri kuin S1 ja S erotus. 2. Saamme:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Vaikista laskelmista huolimatta saimme melko yksinkertaisen lausekkeen kuvion sivupinnan pinta-alalle.
Lisäksi timanttien pinta-alat ja Sb, saadaan katkaistun kartion pinta-alan kaava:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Siten laskeaksesi tutkitun kuvan S:n arvon, sinun on tiedettävä sen kolme lineaarista parametria.
Esimerkkiongelma
Pyöreä suora kartiojonka säde oli 10 cm ja korkeus 15 cm, leikattiin tasolla niin, että saatiin säännöllinen katkaistu kartio. Tietäen, että katkaistun hahmon kantojen välinen etäisyys on 10 cm, on tarpeen löytää sen pinta-ala.
Katkaistun kartion pinta-alan kaavan käyttämiseksi sinun on löydettävä kolme sen parametria. Yksi tiedämme:
r1=10 cm.
Kaksi muuta on helppo laskea, jos otetaan huomioon samanlaiset suorakulmaiset kolmiot, jotka saadaan kartion aksiaalileikkauksen tuloksena. Kun otetaan huomioon ongelman tila, saadaan:
r2=105/15=3,33 cm.
Lopuksi katkaistun kartion g ohjain on:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Nyt voit korvata arvot r1, r2 ja g kaavaan S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Kuvan haluttu pinta-ala on noin 852 cm2.
